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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破六：乘法公式与几何图形结合
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练2】图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【题组训练3】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A． B． C． D．
【题组训练4】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）

A． B．
C． D．
【题组训练5】图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ．
【题组训练6】如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
根据这样的等积法，我们可以得出结论：．
请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ．
【题组训练7】从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）．
（1）图①中阴影部分的面积为 ；
（2）图②的面积可以表示为 ；
（3）这验证了平方差公式： ．
【题组训练8】如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是 ．
【题组训练9】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．

【题组训练10】三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）

【题组训练11】（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
【题组训练12】图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
【题组训练13】如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
【题组训练14】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【题组训练15】实践探究题
某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号）；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
【题组训练16】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”）
A． B． C．
(2)已知，，则的值为 ．
(3)计算：．
【题组训练17】【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图中________，图中________；
（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（3）已知，，则的值为：________；
计算；
【拓展】计算
（4）的结果为________．
【题组训练18】数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）；
A.
B.
C.
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若，求的值为____________；
②计算：____________；
构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________．
构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积．
【题组训练19】【探究】
如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）；
【应用】请应用这个公式解决下列各题：
（2）已知，求的值；
（3）计算的值．
【题组训练20】如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025七年级下册数学新浙教版 能力提升
专题突破六：乘法公式与几何图形结合
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：C．
【题组训练2】图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形，
根据面积不变性质，建立等式得．
故选：D．
【题组训练3】如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，
∵长方形的周长是，长方形的面积是，
∴，，
∴，
故选C．
【题组训练4】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为．
故选：A．
【题组训练5】图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ．
【答案】6
【详解】解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴；
∴；
故答案为：6．
【题组训练6】如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
根据这样的等积法，我们可以得出结论：．
请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ．
【答案】
【详解】解：整体上是边长为的正方形，
因此面积为，
拼成大正方形的9个部分的面积和为，
∴，
故答案为：．
【题组训练7】从一个边长为a的大正方形纸板中挖出一个边长为b的小正方形，将其裁成四个相同的梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②）．
（1）图①中阴影部分的面积为 ；
（2）图②的面积可以表示为 ；
（3）这验证了平方差公式： ．
【答案】
【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为；
（2）图②的面积可以表示为；
（3）这验证了平方差公式：．
【题组训练8】如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，
由于大正方形与小正方形的面积之差是17，即，
．
故答案为：．
【题组训练9】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．

【答案】12
【详解】解：∵，
∴还需取丙纸片12块，
故答案为：12．
【题组训练10】三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、C类各若干块，B类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是 ．（用含m，n的代数式表示）

【答案】或
【详解】解：设A类需用a块，C类需用c块，
这些地砖拼成的正方形的面积为：，
根据题意，是一个完全平方式，，
所以或者；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
当，时，，
此时正方形的边长为：；
故答案为：或．
【题组训练11】（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）
（2）①1，，②
【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为；
∴；
故答案为：；
（2）①由（1）可知
∵，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴．
②∵，
∴
即，
∴．
【题组训练12】图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ；
(2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，求：的值；
②已知：，求：的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①1；②9
【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积：
方法1：，
方法2：；
故答案为：；；
（2）解：；
（3）解：①∵，
∴；
②．
【题组训练13】如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，将图中阴影部分剪裁后拼成一个长方形，如图所示．
(1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请直接用含，的代数式表示，；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；
(3)试利用此公式计算：．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：依题意得，；
（2）解：依据阴影部分的面积相等，可得；
（3）解：原式，
，
，
，
，
．
【题组训练14】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个)
A．
B．
C．
(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值．
②计算：．
【答案】(1)B
(2)①3；②
【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故答案为：B；
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②原式
．
【题组训练15】实践探究题
某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填序号）；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)①、②、③(2)1(3)
【详解】（1）解：图①中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，
∴，能验证“平方差公式”；
图②中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，
∴，能验证“平方差公式”；
图③中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，
∴，能验证“平方差公式”；
图④中，左边图形阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，
∴不能验证“平方差公式”；
综上所述，能验证“平方差公式”的有①、②、③，
故答案为：①、②、③；
（2）解：
；
（3）解：
．
【题组训练16】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．（请选择“A”“B”“C”）
A． B． C．
(2)已知，，则的值为 ．
(3)计算：．
【答案】(1)B(2)3(3)
【详解】（1）解：由题知，
图①中阴影部分的面积为，
图②中阴影部分的面积为，
又图②由图①中的阴影部分剪拼而得，
所以．
故选：B．
（2）解：由（1）可知，
，
又，，
所以．
故答案为：3．
（3）解：原式
．
【题组训练17】【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．
（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：
图中________，图中________；
（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（3）已知，，则的值为：________；
计算；
【拓展】计算
（4）的结果为________．
【答案】（），；（）；（）；；（）．
【详解】解：（）图中，图中，
故答案为：，；
（）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：，
故答案为：；
（）由，
∵，，
∴原式，
故答案为：；
；
（）解：
．
故答案为：．
【题组训练18】数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数时，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式．以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请解决以下问题．
构图一：（1）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证下列选项中的公式____________（填选项即可）；
A.
B.
C.
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①若，求的值为____________；
②计算：____________；
构图二：如图3表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________．
构图三：某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图4，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为a，求八边形的面积．
【答案】构图一：（1）B；（2）①3；②1；构图二：；构图三：
【详解】解：构图一：（1）图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，根据阴影部分面积不变得到，
故选：B；
（2）①，即，
，
故答案为：3；
②，
故答案为：1；
构图二：根据体积不变得；
构图三：由题意知小长方形的短边为，
八边形的面积为，
故答案为：．
【题组训练19】【探究】
如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含字母的式子表示）；
【应用】请应用这个公式解决下列各题：
（2）已知，求的值；
（3）计算的值．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，
根据两个图中阴影部分的面积相等得，
即可以得到乘法公式；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）
．
【题组训练20】如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示．
(1)通过观察图1和图2中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式是______；（用含a，b的等式表示）
(2)应用上述乘法公式解答下列问题：
①计算：；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②5
【详解】（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积，
得到的公式为：；
故答案为；
（2）解：①；
②∵
∴，
∴，
∴，
∴．

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