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第八章　实数
8.1　平方根（第 1 课时）
新知探究
　　问题 1　当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度 υ（单
位：m/s）时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．υ 的大
小满足 υ2＝2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g≈9.8（单位：m/s2），
R 是地球半径，R≈6.4×106（单位：m）．
　　怎样求 υ 呢？
　　υ2＝2gR
　　υ2≈2×9.8×6.4×106
　　已知一个数的平方，怎样求这个数呢？
　　思考：如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
　　除了 3 以外，有没有别的数的平方等于 9 呢？
新知探究
9
3
32＝9
－3
(－3)2＝9
　　3 和－3 的平方等于 9，可以记为(±3)2＝9.
　　问题 2　根据上面的探究过程填写下表：
新知探究
2 1 16 36 49
x
±1
±4
±6
±7
平方根
　　你能归纳出平方根的概念吗？
　　一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，
　　那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根．
新知探究
　　　　　　　平方根的概念
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，
那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根．
求一个数的平方根的运算，叫作开平方．
总结
新知探究
x
＋1
－1
＋2
－2
＋3
－3
x2
____
____
____
平方
图 1
1
4
9
x2
1
4
9
x
____
____
____
____
____
____
图 2
＋1
－1
＋2
－2
＋3
－3
开平方
求一个数的平方根的运算，叫作开平方．
　　问题 3　请完成图 1，2，并说明两图中的运算有什么关系．
平方与开平方
互为逆运算
例题精讲
　　例 1　求下列各数的平方根：
　　（1）64；　　　　（2） ；　　　　（3）0.01．
　　解：（1）因为(±8)2＝64，
　　所以 64 的平方根是±8；
　　（2）因为　　　 ＝　　，
　　所以　　的平方根是　　；
利用平方与开平方互为逆运算，可
以求一个数的平方根．
例题精讲
　　例 1　求下列各数的平方根：
　　（1）64；　　　　（2） ；　　　　（3）0.01．
　　解：（3）方法一：因为(±0.1)2＝0.01，
　　所以 0.01 的平方根是±0.1．
　　方法二：因为 0.01＝ 　，　　　＝ ，
　　所有 0.01 的平方根是± ．
利用平方与开平方互为逆运算，可
以求一个数的平方根．
　　思考：正数的平方根有什么特点？
　　（1）64 的平方根是±8；
　　（2） 的平方根是 ；
　　（3）0.01 的平方根是±0.1.
　　正数有两个平方根，它们互为相反数.
新知探究
　　思考：正数的平方根有什么特点？
　　正数有两个平方根，它们互为相反数.
　　追问 1　0 的平方根是多少？
　　因为 02＝0，
　　所以 0 的平方根是 0.
新知探究
　　思考：正数有两个平方根，它们互为相反数.
　　0 的平方根是 0.
　　追问 2　负数有平方根吗？为什么？
　　在我们所认识的数中，
　　任何一个数的平方都不是负数，
　　所以负数没有平方根．
新知探究
＋1
－1
＋2
－2
＋3
－3
____
____
____
平方
1
4
9
　　随着数的进一步扩充，负数可以进行
开方运算，这是我们在高中要学习的．
新知探究
　　　　　平方根的特征
正数有两个平方根，它们互为相反数．
0 的平方根是 0．负数没有平方根．
总结
　　问题 4　你能表示正数 a 的平方根吗？
　　正数 a 的正的平方根记为“　 ”；
　　正数 a 的负的平方根可以用“－　 ”表示；
　　故正数 a 的平方根可以用“ ”表示.
　　特别地，0 的平方根记为 .
新知探究
读作“根号 a”，
a 叫作被开方数；
读作“正、负根号 a”．
也可以写成 ，读作“二次根号 a”．
　　追问 1　 表示什么？
　　 表示 9 的平方根．
新知探究
9 的正的平方根为 ＝3，
9 的负的平方根为－ ＝－3，
9 的平方根为± ＝±3．
　　追问 2　 什么时候有意义？为什么？
　　 表示一个数的正的平方根，而负数没有平方根，且 0 的平方根是
0，所以当 a≥0 时， 有意义．　
新知探究
正数有两个平方根，它们互为相反数.
正数 a 的平方根可以用“ ”表示．
0 的平方根是 0．负数没有平方根．
总结
　　例 2　下列各数有平方根吗？
　　如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
　　（1）0.36；　　　　（2）－5；　　　　（3） (－4)2．
　　解：（1）因为 0.36 是正数，所以 0.36 有两个平方根，
　　　 ＝±0.6；
　　（2）因为－5 是负数，所有－5 没有平方根；
　　（3）因为(－4)2＝16 是正数，所以(－4)2 有两个平方根，
　 　　 ＝ ＝±4．
例题精讲
利用平方根的符号语言准确地表达．
课堂小结
　　回顾本节课所学内容，思考下面问题并回答：
　　（1）什么是平方根？
　　一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数 x 叫作
a 的平方根或二次方根.
　　（2）平方根具有什么特征？如何用符号语言表示一个正数的平方根？
　　正数有两个平方根且互为相反数，正数 a 的平方根可以用“± ”
表示；
　　0 的平方根是 0；负数没有平方根.
课堂小结
　　回顾本节课所学内容，思考下面问题并回答：
　　（3）如何求一个非负数的平方根？
　　利用开平方运算与平方运算的互逆关系，求一个非负数的平方根并
用符号语言进行表示．
课后任务
　　教科书第 41 页练习第 1，2 ，3 题．

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