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期末复习（二）勾股定理
核心考点1 勾股定理的证明
【例1】某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1，B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB得到Rt△ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【方法讲解】勾股定理的证明常采用面积法，通过用不同的式子表示同一个图形的面积，再对两个恒等的式子进行整理.
证明：如图，连接BF，
∵AC=b，
∴正方形ACDE的面积为b2.
∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a，
∴BD=CD-BC=b-a，DF=DE+EF=a+b.
∵∠CAE=90 °，
∴∠BAC+∠BAE=90 °. 答图
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90 °.
∴△BAF为等腰直角三角形.
∴S四边形ABDF=c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2).
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b22=c22+(b2-a2).
∴b2=c2+b2-1a2.
∴a2+b2=c2.
∴a2+b2=c2．
【针对训练】
1.以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2验证勾股定理.
解：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC.
又∵∠EDC+∠DEC=90 °，
∴∠AEB+∠DEC=90 °.
∴∠AED=90 °．
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2．
整理，得a2+b2=c2．
核心考点2 勾股定理及其逆定理
【例2】如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
求证：AB⊥BC．
【方法讲解】正方形网格中，两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路.
证明：AB==25,BC==5,AC==5.
∵AC2=25,BC2=5,AB2=20,
∴AB2+BC2=AC2.
∴△ABC是直角三角形，且
AB⊥BC.
【针对训练】
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，连接AC．
（1）求AC的长；
（2）证明：△ACD是直角三角形．
(1)解：∵∠B=90 °，AB=3，BC=4，
∴AC===5.
∴AC的长为5；
(2)证明：在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+522=50，AD2=(5)2=50，
∴AC2+CD2=AD2.
∴△ACD是直角三角形．
核心考点3 勾股定理的实际应用
【例3】如图,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m.
现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD.求商店与公交车站之间的距离CD的长.
【方法讲解】利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键在于构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解.
解：根据题意，得AB⊥BD,AB=300 m,AD=500 m.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
BD===400(m).
设CD=x m，则BC=(400-x)m,AC=x m,
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2=BC2+AB2,
即x2=(400-x)2+3002.
解得x=312.5.
即商店与公交车站之间的距离为312.5 m.
【针对训练】
3.（8分）如图，一架梯子AB斜靠在左边的墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在右边的墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2 m，OB为1.5 m．
（1）求梯子的长；
（2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的长．
解：(1)在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90 °，AO=2 m，
OB=1.5 m，
∴AB===2.5(m).
即梯子的长为2.5 m；
(2)由题意得CD=AO+0.4=2.4 m，BC=AB=2.5 m，
∴BD===0.7(m).
∴OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m).
核心考点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为 (D)
A．12
B．25
C．20
D．15
【方法讲解】解决有关折叠的问题时，通常利用角平分线、全等三角形的性质找出各线段的长度关系，再灵活设出未知数，利用勾股定理建立方程.
【针对训练】
4.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为2．
一、选择题
1.下列各组数据，是勾股数的为 (D)
A．1，1， B．0.6，0.8，1
C．4，5，6 D．8，15，17
2.最短边长是4的直角三角形，它的另外两条边可能是 (C)
A．5，6 B．12，16
C．2，6 D．4，4
3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，则AD的长为 (C)
A．10
B．11
C．12
D．13
4.如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1.过点B作BC⊥AB，使BC=1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是(A)
A．-1 B．+1 C． D．
5.在如图所示的正方形网格中，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE的度数为(B)
A．30° B．45° C．60° D．75°
第5题图 第6题图
6.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，则S2为 (C)
A．18 B．20 C．22 D．24
7.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上安装了一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生的头顶C到门铃A的距离为 (C)
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
第7题图 第8题图
8.如图，“赵爽弦图”是三国时期吴国人赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成.在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”图片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，则阴影部分的面积是 (C)
A．169 cm2 B．25 cm2
C．49 cm2 D．64 cm2
二、填空题（每题4分，共16分）
9.在平面直角坐标系中，点P（-3，5）到原点的距离是．
10.一个直角三角形的两边长分别是6，10，则第三边的长是2或8．
11.如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD．若E是AD的中点，则CE=1．
第11题图 第12题图
12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AB=3，CD=2，则AD2+BC2的值为13．
三、解答题（共32分）
13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：如图，连接AC，
∵AB=20，BC=15，∠B=90 °，
∴AC===25.
∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=72+242=625=252=AC2.
∴△ADC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB·BC+AD·DC=×20×15+×24×7=234.
即四边形ABCD的面积是234．
答图
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中线，BE=2，AD=5，求AB的长.
解：设CE=x，CD=y，
∵AD,BE是
Rt△ABC的中线，
∴AC=2x，BC=2y.
在Rt△ACD中，∵CD2+AC2=AD2,
∴(2x)2+y2=52,
即4x2+y2=25①.
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2=BE2,
∴(2y)2+x2=(2)2，
即4y2+x2=40②.
由①②得x2+y2=13.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB===2.
15.（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求证：∠BAC=90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
(1)证明：∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB2=AD2+BD2=20.
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC2=CD2+AD2=80.
∵BC=CD+BD=10，
∴BC2=100.
∴AC2+AB2=100=BC2.
∴∠BAC=90 °，△ABC是直角三角形;
(2)解：分两种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB===2.
∴BP=AB=25；
②当AP=AB时，BP=2BD=4．
综上所述,BP的长为2或4．
16.（10分）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到点M处的距离为100海里．
（1）求灯塔A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点M航行到点B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）
解：(1)如图，过点A作AT⊥MN于点T，
∴∠ATM=90 °.
由题意可得∠MAT=60 °，AM=100海里，
∴∠AMT=30 °.
∴AT=AM=50海里，
即灯塔A到航线MN的距离是50海里；
(2)∵∠AMB=30 °，∠BAM=15 °，
∴∠ABT=∠AMB+∠BAM=45 °.
∵∠ATM=90 °， 答图
∴∠ABT=∠BAT.
∴AT=BT=50海里.
在Rt△AMT中，∠ATM=90 °，根据勾股定理，得
MT===50(海里)，
∴BM=MT-BT=(50-50)海里.
(50-50)÷50=(-1)小时,
故轮船从点M航行到点B处所用的时间为(-1)小时．期末复习（二）勾股定理
核心考点1 勾股定理的证明
【例1】某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1，B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB得到Rt△ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
【方法讲解】勾股定理的证明常采用面积法，通过用不同的式子表示同一个图形的面积，再对两个恒等的式子进行整理.
【针对训练】
1.以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a,b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2验证勾股定理.
核心考点2 勾股定理及其逆定理
【例2】如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
求证：AB⊥BC．
【方法讲解】正方形网格中，两个格点之间的距离可以用勾股定理求出.勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路.
【针对训练】
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，AD＝5，∠B=90°，连接AC．
（1）求AC的长；
（2）证明：△ACD是直角三角形．
核心考点3 勾股定理的实际应用
【例3】如图,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m.
现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD.求商店与公交车站之间的距离CD的长.
【方法讲解】利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键在于构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解.
【针对训练】
3.（8分）如图，一架梯子AB斜靠在左边的墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在右边的墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面的高度AO为2 m，OB为1.5 m．
（1）求梯子的长；
（2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4 m，求OD的长．
核心考点4 图形的折叠与勾股定理
【例4】如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40．将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为 ()
A．12
B．25
C．20
D．15
【方法讲解】解决有关折叠的问题时，通常利用角平分线、全等三角形的性质找出各线段的长度关系，再灵活设出未知数，利用勾股定理建立方程.
【针对训练】
4.如图，正方形纸片ABCD的边长为6，G是BC的中点，沿着AG折叠该纸片，得点B的对应点为点F，延长GF交DC于点E，则线段DE的长为 ．
一、选择题
1.下列各组数据，是勾股数的为 ()
A．1，1， B．0.6，0.8，1
C．4，5，6 D．8，15，17
2.最短边长是4的直角三角形，它的另外两条边可能是 ()
A．5，6 B．12，16
C．2，6 D．4，4
3.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ()
A．10
B．11
C．12
D．13
4.如图，数轴上的点A对应的实数是-1，点B对应的实数是1.过点B作BC⊥AB，使BC=1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是()
A．-1 B．+1 C． D．
5.在如图所示的正方形网格中，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE的度数为()
A．30° B．45° C．60° D．75°
第5题图 第6题图
6.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1=40，S3=18，则S2为 ()
A．18 B．20 C．22 D．24
7.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上安装了一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生的头顶C到门铃A的距离为 ()
A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m
第7题图 第8题图
8.如图，“赵爽弦图”是三国时期吴国人赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成.在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”图片，其中∠AEB=90°，AB=13 cm，BE=5 cm，则阴影部分的面积是 ()
A．169 cm2 B．25 cm2
C．49 cm2 D．64 cm2
二、填空题（每题4分，共16分）
9.在平面直角坐标系中，点P（-3，5）到原点的距离是 ．
10.一个直角三角形的两边长分别是6，10，则第三边的长是 ．
11.如图，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足为D，BD=2CD．若E是AD的中点，则CE= ．
第11题图 第12题图
12.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AB=3，CD=2，则AD2+BC2的值为 ．
三、解答题（共32分）
13.（6分）如图，在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD，BE是中线，BE=2，AD=5，求AB的长.
15.（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求证：∠BAC=90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
16.（10分）如图，已知射线MN表示一艘轮船东西方向的航行路线，在点M的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到点M处的距离为100海里．
（1）求灯塔A到航线MN的距离；
（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，则轮船从点M航行到点B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）

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