资源简介

1　两条直线的位置关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解两条直线相交和平行的关系,理解对顶角、补角、余角的概念. 几何直观
2.掌握对顶角相等、同角(或等角)的补角相等、同角(或等角)的余角相等这些性质,并能解决一些实际问题. 运算能力、应用意识、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
对点小练
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的是( )
2.已知∠A=50°,则∠A的余角的度数是 .
3.一个角的补角是40°,那么这个角的度数是 .
4.一个角和它的余角相等,则这个角的度数是 .
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 对顶角及性质应用(几何直观、运算能力)
【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,
(1)写出图中所有的对顶角;
(2)若∠AOC=35°,求∠DOE的度数;
(3)若∠BOE∶∠COE=1∶3,求∠AOC的度数.
【举一反三】
1. (2024·西安二模)如图,直线a,b相交,∠2+∠3=100°,则∠1的度数为( )
A.50° B.100° C.120° D.130°
2. (2024·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,且∠BOE∶∠EOD=3∶2,则∠EOD= .
【技法点拨】
对顶角的三大特征
1.数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.
3.成对出现:对顶角是两个角的关系,成对出现.
重点2 余角、补角及性质应用(运算能力)
【典例2】已知一个角的余角的两倍与这个角的补角的和是180°,求这个角的度数.
【举一反三】
1.若∠1=43°,则∠1的余角是( )
A.43° B.47° C.57° D.137°
2. (2024·金华期末)已知一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
3.(2024·扬州一模)将两块三角板如图叠放,若∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=132°,则∠BOC= .
【技法点拨】
余角和补角的计算方法
1.直接计算:
(1)∠α与∠β互余,则∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.
(2)∠α与∠β互补,则∠α=180°-∠β或∠β=180°-∠α.
2.方程思想:当问题中出现余角、补角之间的和差倍分关系时,可根据其中的相等关系,设未知数列方程求解.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形为( )
2.(3分·运算能力、推理能力)将一副三角板按如图所示的位置摆放,其中∠α与∠β一定互余的是( )
3.(3分·推理能力)如图,已知直线a,b相交,若∠β=40°,则∠α= .
4.(3分·运算能力、推理能力)如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=80°,则∠BOM等于 .
5.(8分·运算能力)如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数;
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数.1　两条直线的位置关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念,会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 几何直观
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理. 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点
对点小练
1.如图,O是直线AB上一点,OC⊥OD,∠BOC=20°,则∠AOD的大小是(C)
A.20°　 B.30° C.70° D.80°
2.如图,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm那么点B到AC的距离是8 cm,A,B两点的距离是　10 cm　.
3.如图,CB⊥AB,∠CBA与∠CBD的度数比是5∶1,则∠DBA=　72°　.
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1 垂直的定义及应用(几何直观、运算能力)
【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠BOE=50°,射线OF平分∠AOC,求∠AOF的大小.
【自主解答】因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°,因为∠BOE=50°,所以∠BOD=40°,
因为∠BOD=∠AOC,所以∠AOC=40°,
因为射线OF平分∠AOC,所以∠AOF=∠COF=20°.
【举一反三】
1.(2024·商丘模拟)如图是光的反射规律示意图,CO是入射光线,OD是反射光线,法线EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠EOD=∠COE.若∠AOC=2∠EOD,则∠COE的度数为(A)
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数为　55°　.
3.(2024·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.
(1)若∠COE=35°,则∠AOD的度数为　　　　°(直接写出结果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度数.
【解析】(1)因为EO⊥AB,所以∠EOB=90°,
因为∠COE=35°,所以∠COB=∠COE+∠EOB=125°,所以∠AOD=∠COB=125°;
答案:125
(2)因为∠AOD+∠COE=170°,
所以∠BOC+∠COE=170°,
所以∠BOE+∠COE+∠COE=170°,
所以∠BOE+2∠COE=170°,
因为∠BOE=90°,所以∠COE=40°.
【技法点拨】
垂直的两个应用
计算 垂直→90°角→互余,已知其中一角求另一角
证明 若出现两组互余的角,利用同角或等角的余角相等,证明两个角相等.
重点2 垂线、垂线段的性质及应用(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P37“尝试·交流”拓展)
已知直线BC及直线外一点A(如图),按要求完成下列问题:
(1)画出射线CA,线段AB,过C点画CD⊥AB,垂足为点D;
(2)比较线段CD和线段CA的大小,并说明理由;
(3)在以上的图中,互余的角为　　　　　,互补的角为　　　　　.(各写出一对即可)
【自主解答】(1)如图:
(2)因为CD⊥AD,
所以CA>CD;
(3)因为∠DAC+∠DCA=90°,
所以∠DAC与∠DCA互余,
因为∠ADC+∠BDC=90°+90°=180°,
所以∠ADC与∠BDC互补.
答案:∠DAC,∠DCA(答案不唯一)　∠ADC,∠BDC
【举一反三】
1.(2024·合肥期中)过点P作AB的垂线CD,下列选项中,三角板的放法正确的是(C)
2.自来水公司为某小区A改造供水系统,如图沿路线AO铺设管道,与主管道BO衔接(AO⊥BO),路线最短,工程造价最低,根据是(B)
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.(2024·北京期中)如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,则BD的长度的值可能是　4(答案不唯一)　,依据是　垂线段最短　.
【技法点拨】
认识垂线及其性质的三点注意事项
1.线段和射线都有垂线.
2.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是一个图形,对此要分清楚.
3.在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实际问题转化成数学问题,然后作出垂线,并求出具体数值.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·运算能力、几何直观)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOC=35°,则∠BOD等于(C)
A.35° B.45° C.55° D.60°
2.(4分·应用意识)如图,现要在李庄附近建一高铁站,为了使李庄的人乘车最方便,那么选高铁线上的点A来建高铁站,理由是(C)
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
3.(4分·几何直观、应用意识)如图,点P是直线a外的一点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.下列关于距离的语句:
①线段PB的长是点P到直线a的距离;
②PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
③线段AC的长是点A到直线PC的距离;
④线段PC是点C到直线PA的距离.
其中正确的个数为　2　.
4.(8分·几何直观、应用意识)如图,C是河岸AB外一点.
(1)过点C修一条与河岸AB平行的绿化带(绿化带用直线l表示),请画图表示;
(2)现用水管从河岸AB将水引到C处,问:从河岸AB上的何处开口,才能使所用的水管最短 画图表示,并说明设计的理由.
【解析】(1)如图,过点C画一条平行于AB的直线l,则l为绿化带.
(2)如图,过点C作CD⊥AB于点D,从河岸AB上的点D处开口,才能使所用的水管最短.
设计的理由是垂线段最短.1　两条直线的位置关系
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解两条直线相交和平行的关系,理解对顶角、补角、余角的概念. 几何直观
2.掌握对顶角相等、同角(或等角)的补角相等、同角(或等角)的余角相等这些性质,并能解决一些实际问题. 运算能力、应用意识、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
对点小练
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的是(B)
2.已知∠A=50°,则∠A的余角的度数是　40°　.
3.一个角的补角是40°,那么这个角的度数是　140°　.
4.一个角和它的余角相等,则这个角的度数是　45°　.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 对顶角及性质应用(几何直观、运算能力)
【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,
(1)写出图中所有的对顶角;
(2)若∠AOC=35°,求∠DOE的度数;
(3)若∠BOE∶∠COE=1∶3,求∠AOC的度数.
【自主解答】(1)∠AOC与∠BOD是对顶角,∠AOD与∠BOC是对顶角;
(2)因为∠AOC=35°,
所以∠DOB=∠AOC=35°,
又因为OB平分∠DOE,
所以∠DOE=2∠DOB=70°;
(3)因为OB平分∠DOE,
所以∠BOD=∠BOE=∠DOE,
因为∠BOE∶∠COE=1∶3,
所以∠BOD=180°×=36°,
所以∠AOC=∠BOD=36°.
【举一反三】
1. (2024·西安二模)如图,直线a,b相交,∠2+∠3=100°,则∠1的度数为(D)
A.50° B.100° C.120° D.130°
2. (2024·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE把∠BOD分成两部分,且∠BOE∶∠EOD=3∶2,则∠EOD=　28°　.
【技法点拨】
对顶角的三大特征
1.数量关系:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
2.位置关系:有公共顶点,两边互为反向延长线,也可看作两边形成两条相交的直线.
3.成对出现:对顶角是两个角的关系,成对出现.
重点2 余角、补角及性质应用(运算能力)
【典例2】已知一个角的余角的两倍与这个角的补角的和是180°,求这个角的度数.
【自主解答】设这个角为x,则这个角的余角为90°-x,这个角的补角为180°-x,
因为一个角的余角的两倍与这个角的补角的和是180°,
所以2(90°-x)+180°-x=180°,
解得x=60°,
所以这个角的度数是60°.
【举一反三】
1.若∠1=43°,则∠1的余角是(B)
A.43° B.47° C.57° D.137°
2. (2024·金华期末)已知一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角的度数是(C)
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
3.(2024·扬州一模)将两块三角板如图叠放,若∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=132°,则∠BOC=　48°　.
【技法点拨】
余角和补角的计算方法
1.直接计算:
(1)∠α与∠β互余,则∠α=90°-∠β或∠β=90°-∠α.
(2)∠α与∠β互补,则∠α=180°-∠β或∠β=180°-∠α.
2.方程思想:当问题中出现余角、补角之间的和差倍分关系时,可根据其中的相等关系,设未知数列方程求解.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的图形为(C)
2.(3分·运算能力、推理能力)将一副三角板按如图所示的位置摆放,其中∠α与∠β一定互余的是(C)
3.(3分·推理能力)如图,已知直线a,b相交,若∠β=40°,则∠α=　40°　.
4.(3分·运算能力、推理能力)如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=80°,则∠BOM等于　140°　.
5.(8分·运算能力)如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数;
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数.
【解析】(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角,所以∠BOC+∠BOD=90°.因为∠BOC=4∠BOD,所以∠BOC=×90°=72°;
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角,所以∠AOC+∠BOC=180°.所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°.
因为OE平分∠AOC,所以∠COE=∠AOC=×108°=54°,
所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.1　两条直线的位置关系
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解垂直是相交的特殊情况,理解垂线的概念,会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 几何直观
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理. 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点
对点小练
1.如图,O是直线AB上一点,OC⊥OD,∠BOC=20°,则∠AOD的大小是( )
A.20°　 B.30° C.70° D.80°
2.如图,BC⊥AC,BC=8 cm,AC=6 cm,AB=10 cm那么点B到AC的距离是 ,A,B两点的距离是 .
3.如图,CB⊥AB,∠CBA与∠CBD的度数比是5∶1,则∠DBA= .
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1 垂直的定义及应用(几何直观、运算能力)
【典例1】如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠BOE=50°,射线OF平分∠AOC,求∠AOF的大小.
【举一反三】
1.(2024·商丘模拟)如图是光的反射规律示意图,CO是入射光线,OD是反射光线,法线EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠EOD=∠COE.若∠AOC=2∠EOD,则∠COE的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
2.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数为 .
3.(2024·天津期中)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.
(1)若∠COE=35°,则∠AOD的度数为 °(直接写出结果);
(2)若∠AOD+∠COE=170°,求∠COE的度数.
【技法点拨】
垂直的两个应用
计算 垂直→90°角→互余,已知其中一角求另一角
证明 若出现两组互余的角,利用同角或等角的余角相等,证明两个角相等.
重点2 垂线、垂线段的性质及应用(几何直观)
【典例2】(教材再开发·P37“尝试·交流”拓展)
已知直线BC及直线外一点A(如图),按要求完成下列问题:
(1)画出射线CA,线段AB,过C点画CD⊥AB,垂足为点D;
(2)比较线段CD和线段CA的大小,并说明理由;
(3)在以上的图中,互余的角为 ,互补的角为 .(各写出一对即可)
【举一反三】
1.(2024·合肥期中)过点P作AB的垂线CD,下列选项中,三角板的放法正确的是( )
2.自来水公司为某小区A改造供水系统,如图沿路线AO铺设管道,与主管道BO衔接(AO⊥BO),路线最短,工程造价最低,根据是( )
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.(2024·北京期中)如图,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5,BC=3,则BD的长度的值可能是 ,依据是 .
【技法点拨】
认识垂线及其性质的三点注意事项
1.线段和射线都有垂线.
2.点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是一个图形,对此要分清楚.
3.在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实际问题转化成数学问题,然后作出垂线,并求出具体数值.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·运算能力、几何直观)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOC=35°,则∠BOD等于( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
2.(4分·应用意识)如图,现要在李庄附近建一高铁站,为了使李庄的人乘车最方便,那么选高铁线上的点A来建高铁站,理由是( )
A.两点之间,线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
3.(4分·几何直观、应用意识)如图,点P是直线a外的一点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC.下列关于距离的语句:
①线段PB的长是点P到直线a的距离;
②PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
③线段AC的长是点A到直线PC的距离;
④线段PC是点C到直线PA的距离.
其中正确的个数为 .
4.(8分·几何直观、应用意识)如图,C是河岸AB外一点.
(1)过点C修一条与河岸AB平行的绿化带(绿化带用直线l表示),请画图表示;
(2)现用水管从河岸AB将水引到C处,问:从河岸AB上的何处开口,才能使所用的水管最短 画图表示,并说明设计的理由.

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