资源简介

2　探索直线平行的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会识别由“三线八角”构成的同位角,会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 几何直观
2. 掌握基本事实:同位角相等,两直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点
对点小练
1.如图,在所标识的角中,同位角是( )
A.∠2和∠4　B.∠1和∠3　
C.∠1和∠4　D.∠2和∠3
2.如图,已知∠1=65°,要使a∥b,则须具备另一个条件( )
A.∠3=65° B.∠3=115° C.∠4=65° D.∠2=65°
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
重点1 同位角的识别(几何直观)
【典例1】如图,三条直线两两相交,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠4
C.∠3 D.∠5
【举一反三】
1.(2024·福州期中)∠1 的同位角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
2.(2024·金华期中)如图,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠A C.∠3 D.∠C
3.如图,图中标示的五个角中,与∠1是同位角的是 .
【技法点拨】
判断两个角是否为同位角的三个技巧
1.若两个角的两边都不在同一条直线上,则这样的角不是同位角.
2.若两个角各有一边在同一条直线上,这条直线叫截线,这两个角的另一边所在直线为被截直线,若两个角都在截线的同旁,被截直线的同一方,则这两个角为同位角,否则不是.
3.为同位角关系的两角的两边组成的图形,如字母“F ”.
重点2 由同位角相等判断两直线平行(推理能力、几何直观)
【典例2】将一副直角三角尺拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F,试判断CF与AB是否平行,并说明理由.
【举一反三】
　(2024·重庆期中)如图,已知∠B=∠AEF,则( )
A.EF∥BC
B.AD∥EF
C.AD∥BC
D.AB∥CD
重点3 平行线的基本性质
【典例3】如图,有直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
【自主解答】(1)如图,过直线a外的一点B画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行;
(2)如图,过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:
如图,因为b∥a,c∥a,所以c∥b.
【举一反三】
若AB∥CD,AB∥EF,则 ∥ ,理由是 .
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
2.(3分·几何直观)如图,下列各角中,与∠1是同位角的是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
3.(3分·几何直观、应用意识)如图,AB∥l,AC∥l,则A,B,C三点共线,理由是: .
4.(3分·几何直观、应用意识)如图,点A,B,E在同一条直线上,添加一个条件 ,即可判断AD∥BC.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,在三角形ABC中,∠B=∠ACB,D在BC的延长线上,CD平分∠ECF,试说明:AB∥CE.2　探索直线平行的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会识别内错角和同旁内角. 几何直观
2.掌握平行线的判定定理:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行. 几何直观、推理能力
3.能借助尺规作角,得到两直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点
1.
类型 内错角 同旁内角
定义 两条直线被第三条直线所截,其中两角都在两条直线之间且分别在第三条直线的　两侧　 两条直线被第三条直线所截,两角都在两条直线之间且在第三条直线的　同侧　
图示
性质 内错角　相等　, 两直线平行 同旁内角　互补　,两直线平行
2.通过作已知角的同位角或内错角,可以得到两条直线　平行　.
对点小练
1.如图,与∠1是内错角的是　∠2　,与∠1是同旁内角的是　∠5　.
2.如图,AE平分∠BAC,∠CAE=∠CEA.
试说明:AB∥CD.
【解析】因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE,因为∠CAE=∠CEA,
所以∠BAE=∠CEA,所以AB∥CD.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1 内错角、同旁内角的识别(几何直观)
【典例1】如图,指出图中直线AC,BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角.
【自主解答】因为直线AC,BC被直线AB所截,所以∠1与∠2,∠4与∠DBC是同位角;∠1与∠3,∠4与∠5是内错角;∠3与∠4,∠1与∠5是同旁内角.
【举一反三】
1. (2024·惠州期中)如图所示,下列说法中,错误的是(C)
A.∠1与∠B是同位角
B.∠2与∠A是同旁内角
C.∠3与∠C是同位角
D.∠2与∠3是内错角
2.(2022·青海中考)数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示(D)
A.同旁内角、同位角、内错角　
B.同位角、内错角、对顶角　
C.对顶角、同位角、同旁内角　
D.同位角、内错角、同旁内角
3.如图所示,图中用数字标出的角中,∠2的内错角是　∠6　.
【技法点拨】
“三线八角”的识别
如图,∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8均为同位角;∠2与∠8,∠3与∠5均为内错角;∠2与∠5,∠3与∠8均为同旁内角.
特别提醒
每种角共由三条直线组成,涉及这个角是哪两条直线被哪条直线所截要分清.
重点2 平行线的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(2024·上海期中)如图,CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2.请判断DF与AE的位置关系,并说明理由.
【自主解答】DF∥AE,
理由如下:
因为CD⊥DA,AB⊥DA(已知),
所以∠CDA=∠DAB=90°(垂直的定义),
所以∠1+∠FDA=90°,∠2+∠EAD=90°(互为余角),
因为∠1=∠2(已知),
所以∠FDA=∠EAD(等角的余角相等),
所以DF∥AE.
【举一反三】
1.(2024·镇江期中)如图,下列选项中,正确的是(C)
A.因为∠1=∠2,所以AD∥BC
B.因为∠2+∠3+∠5=180°,所以AD∥BC
C.因为∠4=∠5,所以AB∥CD
D.因为∠4+∠5=180°,所以AB∥DC
2.(2024·泉州期末)如图,小明利用两块相同的三角板,分别在三角板的边缘画直线AB和CD,并由此判定AB∥CD,这是根据　内错角相等　,两直线平行.
3.(2023·六盘水质检)如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,∠EAC+∠ACE=90°.判断l1与l2的位置关系并说明理由.
【解析】l1∥l2.
理由:因为AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,
所以∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,
因为∠EAC+∠ACE=90°,
所以∠BAC+∠ACD=180°,
所以l1∥l2.
【技法点拨】
由两个角的数量关系判定两条直线平行的四步法
1.描边:描出两个角的两边.
2.定三线:确定截线和被截线,共线的边是截线,另外两边是被截线.
3.定关系:确定两角的位置关系和数量关系.
4.判定:同位角或内错角相等→两直线平行;同旁内角互补→两直线平行.
重点3 用尺规作角(几何直观、推理能力)
【典例3】如图,在△ABC中,D是AB边上的一点.请用尺规作图法,在△ABC内,作出∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于点E.(保留作图痕迹不写作法)
【解析】如图,∠ADE即为所求.
【举一反三】
用直尺和圆规作图:已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于∠1+∠2.
【解析】如图,∠AOB即为所求.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,下列说法中,错误的是(C)
A.∠2与∠4是同位角
B.∠2与∠3是同旁内角
C.∠1与∠2是内错角
D.∠1与∠A是内错角
2.(3分·几何直观、应用意识)如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,所画痕迹是(D)
A.以点B为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DC长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DC长为半径的弧
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,直线a,b被直线c所截,∠1=102°,若要使a∥b,则∠2=　78°　.
4.(4分·几何直观、推理能力)如图,已知∠1=51°.当∠2=　129°　时,a∥b.
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,直线DE经过点A.
(1)写出∠B的内错角是　　　　,同旁内角是　　　　　　.
(2)若∠EAC=∠C,AC平分∠BAE,∠B=44°,求∠C的度数.
【解析】(1)∠B的内错角是∠BAD,∠B的同旁内角是∠BAC,∠EAB和∠C;
答案:∠BAD　∠BAC,∠EAB和∠C
(2)因为∠EAC=∠C,所以DE∥BC,
所以∠BAE=180°-44°=136°,
因为AC平分∠BAE,所以∠EAC=68°,
所以∠C=∠EAC=68°.2　探索直线平行的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会识别内错角和同旁内角. 几何直观
2.掌握平行线的判定定理:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行. 几何直观、推理能力
3.能借助尺规作角,得到两直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点
1.
类型 内错角 同旁内角
定义 两条直线被第三条直线所截,其中两角都在两条直线之间且分别在第三条直线的 两条直线被第三条直线所截,两角都在两条直线之间且在第三条直线的
图示
性质 内错角 , 两直线平行 同旁内角 ,两直线平行
2.通过作已知角的同位角或内错角,可以得到两条直线 .
对点小练
1.如图,与∠1是内错角的是 ,与∠1是同旁内角的是 .
2.如图,AE平分∠BAC,∠CAE=∠CEA.
试说明:AB∥CD.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1 内错角、同旁内角的识别(几何直观)
【典例1】如图,指出图中直线AC,BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角.
【举一反三】
1. (2024·惠州期中)如图所示,下列说法中,错误的是( )
A.∠1与∠B是同位角
B.∠2与∠A是同旁内角
C.∠3与∠C是同位角
D.∠2与∠3是内错角
2.(2022·青海中考)数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左至右依次表示( )
A.同旁内角、同位角、内错角　
B.同位角、内错角、对顶角　
C.对顶角、同位角、同旁内角　
D.同位角、内错角、同旁内角
3.如图所示,图中用数字标出的角中,∠2的内错角是 .
【技法点拨】
“三线八角”的识别
如图,∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8均为同位角;∠2与∠8,∠3与∠5均为内错角;∠2与∠5,∠3与∠8均为同旁内角.
特别提醒
每种角共由三条直线组成,涉及这个角是哪两条直线被哪条直线所截要分清.
重点2 平行线的判定(几何直观、推理能力)
【典例2】(2024·上海期中)如图,CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2.请判断DF与AE的位置关系,并说明理由.
【举一反三】
1.(2024·镇江期中)如图,下列选项中,正确的是( )
A.因为∠1=∠2,所以AD∥BC
B.因为∠2+∠3+∠5=180°,所以AD∥BC
C.因为∠4=∠5,所以AB∥CD
D.因为∠4+∠5=180°,所以AB∥DC
2.(2024·泉州期末)如图,小明利用两块相同的三角板,分别在三角板的边缘画直线AB和CD,并由此判定AB∥CD,这是根据 ,两直线平行.
3.(2023·六盘水质检)如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,∠EAC+∠ACE=90°.判断l1与l2的位置关系并说明理由.
【技法点拨】
由两个角的数量关系判定两条直线平行的四步法
1.描边:描出两个角的两边.
2.定三线:确定截线和被截线,共线的边是截线,另外两边是被截线.
3.定关系:确定两角的位置关系和数量关系.
4.判定:同位角或内错角相等→两直线平行;同旁内角互补→两直线平行.
重点3 用尺规作角(几何直观、推理能力)
【典例3】如图,在△ABC中,D是AB边上的一点.请用尺规作图法,在△ABC内,作出∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于点E.(保留作图痕迹不写作法)
【举一反三】
用直尺和圆规作图:已知∠1,∠2,求作一个角,使它等于∠1+∠2.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,下列说法中,错误的是( )
A.∠2与∠4是同位角
B.∠2与∠3是同旁内角
C.∠1与∠2是内错角
D.∠1与∠A是内错角
2.(3分·几何直观、应用意识)如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,所画痕迹是( )
A.以点B为圆心,OD长为半径的弧
B.以点C为圆心,DC长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DC长为半径的弧
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,直线a,b被直线c所截,∠1=102°,若要使a∥b,则∠2= .
4.(4分·几何直观、推理能力)如图,已知∠1=51°.当∠2= 时,a∥b.
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,直线DE经过点A.
(1)写出∠B的内错角是 ,同旁内角是 .
(2)若∠EAC=∠C,AC平分∠BAE,∠B=44°,求∠C的度数.2　探索直线平行的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.会识别由“三线八角”构成的同位角,会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 几何直观
2. 掌握基本事实:同位角相等,两直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点
对点小练
1.如图,在所标识的角中,同位角是(C)
A.∠2和∠4　B.∠1和∠3　
C.∠1和∠4　D.∠2和∠3
2.如图,已知∠1=65°,要使a∥b,则须具备另一个条件(A)
A.∠3=65° B.∠3=115° C.∠4=65° D.∠2=65°
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
重点1 同位角的识别(几何直观)
【典例1】如图,三条直线两两相交,∠1的同位角是(B)
A.∠2 B.∠4
C.∠3 D.∠5
【举一反三】
1.(2024·福州期中)∠1 的同位角是(D)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
2.(2024·金华期中)如图,∠1的同位角是(C)
A.∠2 B.∠A C.∠3 D.∠C
3.如图,图中标示的五个角中,与∠1是同位角的是　∠5　.
【技法点拨】
判断两个角是否为同位角的三个技巧
1.若两个角的两边都不在同一条直线上,则这样的角不是同位角.
2.若两个角各有一边在同一条直线上,这条直线叫截线,这两个角的另一边所在直线为被截直线,若两个角都在截线的同旁,被截直线的同一方,则这两个角为同位角,否则不是.
3.为同位角关系的两角的两边组成的图形,如字母“F ”.
重点2 由同位角相等判断两直线平行(推理能力、几何直观)
【典例2】将一副直角三角尺拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F,试判断CF与AB是否平行,并说明理由.
【自主解答】CF与AB平行,理由如下:
根据题意,可知∠B=45°,∠DCE=90°,
因为CF平分∠DCE,
所以∠FCE=∠DCE=×90°=45°,
所以∠B=∠FCE,
所以CF∥AB.
【举一反三】
　(2024·重庆期中)如图,已知∠B=∠AEF,则(A)
A.EF∥BC
B.AD∥EF
C.AD∥BC
D.AB∥CD
重点3 平行线的基本性质
【典例3】如图,有直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗
【自主解答】(1)如图,过直线a外的一点B画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行;
(2)如图,过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:
如图,因为b∥a,c∥a,所以c∥b.
【举一反三】
若AB∥CD,AB∥EF,则　CD　∥　EF　,理由是　平行于同一条直线的两条直线平行　.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,∠1的同位角是(B)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
2.(3分·几何直观)如图,下列各角中,与∠1是同位角的是(D)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
3.(3分·几何直观、应用意识)如图,AB∥l,AC∥l,则A,B,C三点共线,理由是:　过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行　.
4.(3分·几何直观、应用意识)如图,点A,B,E在同一条直线上,添加一个条件　∠A=∠CBE　,即可判断AD∥BC.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,在三角形ABC中,∠B=∠ACB,D在BC的延长线上,CD平分∠ECF,试说明:AB∥CE.
【解析】因为CD平分∠ECF,
所以∠DCF=∠DCE,
又因为∠DCF=∠ACB,
所以∠ACB=∠DCE,
又因为∠B=∠ACB,
所以∠B=∠DCE,
所以AB∥CE.

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