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3　平行线的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的性质. 几何直观、推理能力
2.能应用平行线的性质并能解决实际问题. 推理能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点
平行线 的性质 性质 1 两直线平行,同位角
因为AB∥CD,所以∠1=
性质 2 两直线平行,内错角
因为AB∥CD,所以∠2=
性质 3 两直线平行,同旁内角
因为AB∥CD,所以∠3+ =180°
对点小练
1.如图,直线AB,CD被直线CE所截,AB∥CD,∠C=50°,则∠1的度数为( )
A.40°　 B.50°　 C.130°　 D.150°
2.如图,直线a∥b,c是截线,若∠1=50°,则∠2=( )
A.40°　 B.45°　 C.50°　 D.55°
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 平行线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P53习题T1拓展)如图,AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+25)°,求∠C的度数.
【举一反三】
1.如图,EF∥GH,∠ACF=55°,则∠GDB=( )
A.125° B.120° C.105° D.55°
2.(2024·广州期中)如图,已知直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=80°,则∠2等于( )
A.140° B.160° C.120° D.150°
【技法点拨】
直接应用平行线性质的关键和方法
1.关键:判断出所确定两个角的位置关系,然后确定两角相等或互补.
2.方法:两平行线是被截线,两角公共边(在同一直线上的边)是截线,依此可确定两个角的关系.
重点2 平行线性质的实际应用(几何直观、推理能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P50“思考·交流”拓展)美丽的徒骇河横穿江北水城,是聊城一道美丽的风景线.图中是地图上几条主干路形成的图形,若建设路AB、辽河路CF和东昌路DE平行,数学兴趣小组通过实际测量得到∠ABC=96°,∠BCD=144°,那么东昌路DE与光岳路CD的夹角∠CDE=( )
A.50° B.60° C.70° D.48°
【举一反三】
1.(2024·新余模拟)一把直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起,若∠1=28°,则∠2的度数是( )
A.62° B.56° C.45° D.28°
2.如图,A,B之间是一座山,要修一条铁路通过A,B两地,在A地测得铁路走向是北偏东58°11'.如果A,B两地同时开工修隧道,那么在B地按南偏西多少度施工,才能使铁路隧道在山腹中准确接通
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,已知AD∥BC,则( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠A=∠C D.∠2=∠3
2.(4分·几何直观)如图,若AB∥CD,∠1=126°,则∠2的度数为( )
A.130° B.126° C.122° D.108°
3.(4分·几何直观、应用意识)如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,现在要将两侧的管道对接,如果一侧铺设的角度为120°,那么另一侧铺设的角度大小应为( )
A.120° B.100° C.80° D.60°
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,若AB∥CD,EF⊥AB,∠1∶∠2=2∶3,求∠2的度数.3　平行线的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解几何推理的要领,分清推理中“因为”“ 所以”表达的意义,从而初步学会简单的几何推理. 推理能力
2.应用平行线的性质和判定直线平行的条件解决问题. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
平行线的性质应用的几何推理(如图)
(1)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,内错角　相等　”,所以∠1=　∠2　.
(2)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同位角　相等　”,所以∠3=　∠2　.
(3)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同旁内角　互补　”,所以　∠4+∠2　=180°.
对点小练
1.如图,已知点B,C,D在同一直线上,∠B=∠3,∠2=54°,则∠1=　54°　.
2.已知l1∥l2,一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放,则∠1+∠2的度数为　90　°.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 平行线的判定与性质的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例1】已知:如图,AE与BD相交于点F,∠B=∠C,∠1=∠2.试说明:AB∥CE.
【自主解答】因为∠1=∠2,所以AC∥BD,
所以∠C=∠BDE,
因为∠B=∠C,所以∠B=∠BDE,所以AB∥CE.
【举一反三】
1.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=55°,那么∠4的度数是(C)
A.35°　　 B.45°　　 C.55°　　 D.125°
2.如图,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=(D)
A.98°　　 B.62°　　 C.88°　　 D.102°
3.(2024·成都期中)如图,已知AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为点D,G,∠1=∠2,试说明:DE∥AC.
【解析】因为AD⊥BC,FG⊥BC,
所以AD∥FG,
所以∠1=∠CAD,
因为∠1=∠2,
所以∠CAD=∠2,
所以DE∥AC.
【技法点拨】
平行线的性质与判定的区别和联系
1.区别:
(1)性质:根据两条直线平行,来说明角的相等或互补.
(2)判定:根据两角相等或互补,来说明两条直线平行.
2.联系:它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提;它们的条件和结论是互逆的.
3.总结:已知平行用性质,要说明平行用判定.
重点2 平行线的判定与性质的实际应用(几何直观、应用意识)
【典例2】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景,已知∠MAC=120°,∠NBE=60°.
(1)已知驱逐舰在AC方向上航行,巡洋舰在BE方向上航行,假设在航行过程中各自航行方向保持不变,试判断这两艘舰艇会不会相撞.请说明理由.
(2)已知驱逐舰到达点C后沿CD继续航行,巡洋舰到达点E后沿EF继续航行,且MN∥EF,∠ACD=140°.若驱逐舰在原航向上向左转动α(0°<α<180°)后,才能与巡洋舰航向相同,求α的值.
【自主解答】(1)不会.理由:
因为∠MAC=120°,
所以∠CAN=60°,
因为∠NBE=60°,
所以∠CAN=∠NBE,
所以AC∥BE,
所以这两艘舰艇不会相撞.
(2)如图,
若要驱逐舰与巡洋舰航向相同,则EF∥CG,
因为MN∥EF,
所以CG∥MN,
所以∠ACG=∠MAC=120°,
因为∠ACD=140°,
所以α=∠ACD-∠ACG=20°.
【举一反三】
1.(2024·杭州三模)如图是一款手推车的平面示意图,其中AB∥CD.已知∠1=40°,∠2=140°,则∠3的度数为　80°　.
2.近几年中学生近视的现象越来越严重,为响应国家的号召,某公司推出了护眼灯,其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现,当∠DCB=140°时,台灯光线最佳.则此时∠EDC的度数为(A)
A.130° B.120° C.110° D.100°
【技法点拨】
平行线的判定与性质的实际应用
1.将实际问题数学化,结合已知在图形中标注,分析确定是解决角的问题,还是线的问题.
2.平行线与角的关系:已知平行,可得两个角的数量关系(即相等或互补);已知两个角的数量关系(即相等或互补),可推证两条直线平行.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,下列说法正确的是(D)
A.若∠3=∠2,则AD∥BC
B.若∠B=∠1,则AB∥CD
C.若∠D=∠1,则AD∥BC
D.若AD∥BC,∠D=∠B,则AB∥CD
2.(3分·几何直观)如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=42°,则∠2的度数是(B)
A.42° B.48° C.58° D.84°
3.(4分·几何直观、应用意识)如图,已知∠1=43°,∠2=43°,∠3=92°,则∠4的度数是　92°　.
4.(4分·几何直观、应用意识)如图,平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=155°,∠CDF=165°,则∠EPF的度数是　40°　.
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,已知∠1+∠2=180°,且∠1=∠D,试说明:BC∥DE.
【解析】因为∠1+∠2=180°,∠1=∠3,
所以∠2+∠3=180°,
所以AB∥CD,
所以∠4=∠1,
又因为∠1=∠D,
所以∠D=∠4,
所以BC∥DE.3　平行线的性质
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.经历探索平行线性质的过程,掌握平行线的性质. 几何直观、推理能力
2.能应用平行线的性质并能解决实际问题. 推理能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点
平行线 的性质 性质 1 两直线平行,同位角　相等　
因为AB∥CD,所以∠1=　∠3　
性质 2 两直线平行,内错角　相等　
因为AB∥CD,所以∠2=　∠3　
性质 3 两直线平行,同旁内角　互补　
因为AB∥CD,所以∠3+　∠4　=180°
对点小练
1.如图,直线AB,CD被直线CE所截,AB∥CD,∠C=50°,则∠1的度数为(C)
A.40°　 B.50°　 C.130°　 D.150°
2.如图,直线a∥b,c是截线,若∠1=50°,则∠2=(C)
A.40°　 B.45°　 C.50°　 D.55°
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 平行线的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P53习题T1拓展)如图,AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+25)°,求∠C的度数.
【自主解答】因为AB∥CD,EC∥FB,
所以∠B+∠EGB=180°,∠EGB=∠C,
所以∠B+∠C=180°,
因为∠C=(85-x)°,∠B=(3x+25)°,
所以85-x+3x+25=180,
解得x=35,
所以∠C=(85-35)°=50°.
【举一反三】
1.如图,EF∥GH,∠ACF=55°,则∠GDB=(D)
A.125° B.120° C.105° D.55°
2.(2024·广州期中)如图,已知直线AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠1=80°,则∠2等于(A)
A.140° B.160° C.120° D.150°
【技法点拨】
直接应用平行线性质的关键和方法
1.关键:判断出所确定两个角的位置关系,然后确定两角相等或互补.
2.方法:两平行线是被截线,两角公共边(在同一直线上的边)是截线,依此可确定两个角的关系.
重点2 平行线性质的实际应用(几何直观、推理能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P50“思考·交流”拓展)美丽的徒骇河横穿江北水城,是聊城一道美丽的风景线.图中是地图上几条主干路形成的图形,若建设路AB、辽河路CF和东昌路DE平行,数学兴趣小组通过实际测量得到∠ABC=96°,∠BCD=144°,那么东昌路DE与光岳路CD的夹角∠CDE=(B)
A.50° B.60° C.70° D.48°
【举一反三】
1.(2024·新余模拟)一把直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起,若∠1=28°,则∠2的度数是(A)
A.62° B.56° C.45° D.28°
2.如图,A,B之间是一座山,要修一条铁路通过A,B两地,在A地测得铁路走向是北偏东58°11'.如果A,B两地同时开工修隧道,那么在B地按南偏西多少度施工,才能使铁路隧道在山腹中准确接通
【解析】作DB的延长线BF,
因为AC∥BD,
所以∠A+∠DBA=180°,
因为∠A=58°11',
所以∠DBA=121°49',
所以∠ABF=58°11'.
即在B地按南偏西58°11'施工,才能使铁路隧道在山腹中准确接通.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)如图,已知AD∥BC,则(A)
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠A=∠C D.∠2=∠3
2.(4分·几何直观)如图,若AB∥CD,∠1=126°,则∠2的度数为(B)
A.130° B.126° C.122° D.108°
3.(4分·几何直观、应用意识)如图所示,要在一条公路的两侧铺设平行管道,现在要将两侧的管道对接,如果一侧铺设的角度为120°,那么另一侧铺设的角度大小应为(D)
A.120° B.100° C.80° D.60°
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,若AB∥CD,EF⊥AB,∠1∶∠2=2∶3,求∠2的度数.
【解析】因为AB∥CD,EF⊥AB,
所以∠2=∠GFD,EF⊥CD,
所以∠EFD=90°,
所以∠1+∠GFD=∠1+∠2=90°,
因为∠1∶∠2=2∶3,
所以∠2=90°×=54°.3　平行线的性质
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解几何推理的要领,分清推理中“因为”“ 所以”表达的意义,从而初步学会简单的几何推理. 推理能力
2.应用平行线的性质和判定直线平行的条件解决问题. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
平行线的性质应用的几何推理(如图)
(1)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,内错角 ”,所以∠1= .
(2)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同位角 ”,所以∠3= .
(3)因为AB∥CD, 根据“两直线平行,同旁内角 ”,所以 =180°.
对点小练
1.如图,已知点B,C,D在同一直线上,∠B=∠3,∠2=54°,则∠1= .
2.已知l1∥l2,一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放,则∠1+∠2的度数为 °.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 平行线的判定与性质的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例1】已知:如图,AE与BD相交于点F,∠B=∠C,∠1=∠2.试说明:AB∥CE.
【举一反三】
1.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=55°,那么∠4的度数是( )
A.35°　　 B.45°　　 C.55°　　 D.125°
2.如图,已知∠1=∠2,∠D=78°,则∠BCD=( )
A.98°　　 B.62°　　 C.88°　　 D.102°
3.(2024·成都期中)如图,已知AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为点D,G,∠1=∠2,试说明:DE∥AC.
【技法点拨】
平行线的性质与判定的区别和联系
1.区别:
(1)性质:根据两条直线平行,来说明角的相等或互补.
(2)判定:根据两角相等或互补,来说明两条直线平行.
2.联系:它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提;它们的条件和结论是互逆的.
3.总结:已知平行用性质,要说明平行用判定.
重点2 平行线的判定与性质的实际应用(几何直观、应用意识)
【典例2】如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景,已知∠MAC=120°,∠NBE=60°.
(1)已知驱逐舰在AC方向上航行,巡洋舰在BE方向上航行,假设在航行过程中各自航行方向保持不变,试判断这两艘舰艇会不会相撞.请说明理由.
(2)已知驱逐舰到达点C后沿CD继续航行,巡洋舰到达点E后沿EF继续航行,且MN∥EF,∠ACD=140°.若驱逐舰在原航向上向左转动α(0°<α<180°)后,才能与巡洋舰航向相同,求α的值.
【举一反三】
1.(2024·杭州三模)如图是一款手推车的平面示意图,其中AB∥CD.已知∠1=40°,∠2=140°,则∠3的度数为 .
2.近几年中学生近视的现象越来越严重,为响应国家的号召,某公司推出了护眼灯,其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现,当∠DCB=140°时,台灯光线最佳.则此时∠EDC的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.100°
【技法点拨】
平行线的判定与性质的实际应用
1.将实际问题数学化,结合已知在图形中标注,分析确定是解决角的问题,还是线的问题.
2.平行线与角的关系:已知平行,可得两个角的数量关系(即相等或互补);已知两个角的数量关系(即相等或互补),可推证两条直线平行.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,下列说法正确的是( )
A.若∠3=∠2,则AD∥BC
B.若∠B=∠1,则AB∥CD
C.若∠D=∠1,则AD∥BC
D.若AD∥BC,∠D=∠B,则AB∥CD
2.(3分·几何直观)如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=42°,则∠2的度数是( )
A.42° B.48° C.58° D.84°
3.(4分·几何直观、应用意识)如图,已知∠1=43°,∠2=43°,∠3=92°,则∠4的度数是 .
4.(4分·几何直观、应用意识)如图,平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若∠ABE=155°,∠CDF=165°,则∠EPF的度数是 .
5.(6分·几何直观、推理能力)如图,已知∠1+∠2=180°,且∠1=∠D,试说明:BC∥DE.

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