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3　等可能事件的概率　
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解可转化为等可能事件的几何类型的特点,会判断试验结果是否具有等可能性 数据观念、几何直观
2.掌握可转化为等可能事件的几何类型的概率计算方法 数据观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点
与面积相关的等可能事件概率的求法:
事件A的概率等于事件A所包含的图形面积m与图形总面积n的比,P(A)= 　.
对点小练
如图,小亮有一张卡片藏在9块瓷砖中的某一块下面(每块瓷砖除图案外其他均相同),那么卡片藏在瓷砖下的概率为(C)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 与面积有关的概率问题(数据观念、几何直观)
【典例1】如图,在4×4的正方形网格飞镖游戏板中,每块小正方形除颜色外都相同,小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,假设飞镖击中游戏板的每一处都是等可能的(击中边界或没有击中游戏板,则重投一次),任意投掷飞镖一次,飞镖击中阴影部分的概率是 　.
【举一反三】
1.(2023·烟台中考)如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与P2的大小关系为(B)
A.P1C.P1>P2 D.无法判断
2.(2024·济南一模)如图,在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形,一只青蛙在该图案内任意跳动,则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 　.
【技法点拨】
解答与面积相关的概率问题的三步骤
重点2 与转盘有关的概率问题(数据观念)
【典例2】(教材再开发·P75尝试·思考拓展)如图所示,一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),则指针指向红色的概率为 　.
【举一反三】
(2024·菏泽一模)如图,一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形,其中蓝、黄扇形的圆心角度数分别为60°,90°,转动转盘,停止后指针落在红色扇形区域的概率是 　.
【技法点拨】
　　　在转盘中求指针落在某个扇形区域的概率时,若各部分扇形面积不相等,通过用该扇形面积与转盘的面积之比来表示.也可用扇形的圆心角度数和整个圆周角360°的比来表示.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·数据观念·2023·连云港中考)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为(B)
A.　 B. C. D.
2.(4分·数据观念)如图,转盘中8个扇形的面积都相等,涂色的为灰色部分,其余为白色部分,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针落在灰色区域的概率是(B)
A. B. C. D.
3.(4分·数据观念·2024·苏州中考)如图,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,任意转动这个转盘一次,当转盘停止转动时,指针落在阴影部分的概率是 　.
4.(8分·数据观念)(1)转动如图1所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转盘停止转动时指针落在红、黄、绿某一颜色区域内(若指针落在交界线上,则重新转动).
下列事件:①指针指向红色区域;②指针指向绿色区域;③指针指向黄色区域;④指针不指向黄色区域.将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列:　　　　　　　.
(2)请你在图2中设计一个转盘,使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大,且指针落在绿色区域的可能性最大.
【解析】(1)由于转盘被等分成6份,其中红色占3份,黄色占2份,绿色占1份,则
①指针指向红色区域的概率为=;
②指针指向绿色区域的概率为;
③指针指向黄色区域的概率为=;
④指针不指向黄色区域的概率为1-=.
因为>>>,
所以这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为②<③<①<④.
答案:②<③<①<④.
(2)如图所示:
(答案不唯一)3　等可能事件的概率
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解等可能事件的特点,会判断试验结果是否具有等可能性 数据观念
2.掌握等可能事件的概率计算方法 数据观念
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点
对点小练
1.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球,它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为( )
A. B. C. D.
2.某学校组织创城知识竞赛,共设有20道试题,其中有:社会主义核心价值观试题3道,文明校园创建标准试题6道,文明礼貌试题11道.学生小宇从中任选一道试题作答,他选中文明校园创建标准试题的概率是( )
A. B. C. D.
3.从一批节能灯中随机抽取40只进行检查,发现次品2只,则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 .
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1 简单的等可能事件的概率(数据观念)
【典例1】(教材再开发·P73例拓展)某校某次外出社会实践活动分为三类,因资源有限,七年级7班分配到20个名额,其中甲类2个、乙类8个、丙类10个,已知该班有50名学生,班主任准备了50个签,其中甲类、乙类、丙类按名额设置以及30个空签.采取抽签的方式来确定名额分配,请解决下列问题:
(1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少
(2)该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率是多少
(3)若要求抽到甲类名额的概率要达到20%,则还要争取甲类名额多少个
【举一反三】
1.(2023·成都中考)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神,某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定让每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目,老师提供6张背面完全相同的卡片,其中蔬菜类有4张,正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案;水果类有2张,正面分别印有草莓、西瓜图案,每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀,小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是( )
A. 　 B. C. 　 D.
2.(2023·嘉兴、舟山中考)现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片,则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 .
【技法点拨】
解答与数量相关概率问题的四步骤
重点2 设计游戏(数据观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P74尝试·思考强化)小军与小玲共同发明了一种“字母棋”,进行比胜负的游戏.他们用四个字母做成10枚棋子,如图,棋子A有1枚,棋子B有2枚,棋子C有3枚,棋子D有4枚.“字母棋”的游戏规则如下:①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛,先摸者摸出的棋子不放回;②棋子A胜棋子B、棋子C,棋子B胜棋子C、棋子D,棋子C胜棋子D,棋子D胜棋子A;③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸,则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)如何设计小玲先摸到棋子,使小玲胜小军的概率最大
【举一反三】
1.晓刚用瓶盖设计了一个游戏:任意掷出一个瓶盖,如果盖面朝上则甲胜,如果盖面朝下则乙胜,你认为这个游戏 (填“公平”或“不公平”);如果用硬币代替瓶盖,同样进行上述游戏,你认为这个游戏 (填“公平”或“不公平”).
2.用6个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏:摸到白球的概率为,摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为.则应设 个白球, 个红球, 个黄球.
3.设计摸球游戏如下:
(1)若袋中装有完全相同的10个红球,则从中随机摸出1球是红球的概率为 ;
(2)若袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5个黑球,则从中随机摸出1球,得到黑球的概率为 ;
(3)若袋中装有除颜色外完全相同的2个绿球、7个红球和1个黑球,则从中随机摸出1球,摸到绿球的概率为 ;
(4)若袋中装有除颜色外完全相同的2个绿球、7个红球和1个黑球,再向袋中放入4个黄球,则从中随机摸出1球是黄球的概率为 .
【技法点拨】
概率在游戏和摸球试验中的作用
1.判断游戏是否公平,关键是看双方在游戏中关注的事件所发生的概率是否相同.
2.在摸球试验中,某种颜色球出现的概率等于该种颜色的球的数量与球的总数的比,利用这个结论可以列方程计算球的个数.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·数据观念·2023·丽水中考)某校准备组织红色研学活动,需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学,选中梅歧红色教育基地的概率是( )
A. 　　 B. C. 　　 D.
2.(4分·数据观念)有6片形状大小完全一样的正方形卡片,其中每个上面标有数字1,2,2,3,4,6,从中随机抽一张,抽出标有数字是偶数的卡片的概率为( )
A. B. C. D.
3.(4分·数据观念)不透明袋子中装有6个球,其中有1个粉色球和5个蓝色球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是蓝色球的概率为 .
4.(8分·数据观念)一副扑克牌(大、小王除外)有四种花色,且每种花色皆有13种点数,分别为2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A,共52张.
某扑克牌游戏中,玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌值点数大小.“牌值”的计算方式为:未发牌时先设“牌值”为0;当发出的牌点数为2至10时,表示发出点数小的牌,则“牌值”加2;当发出的牌点数为J,Q,K,A时,表示发出点数大的牌,则“牌值”减2.
例如:从该副扑克牌中发出了6张牌,点数依序为3,A,8,9,Q,5,则此时的“牌值”为0+2-2+2+2-2+2=4.
请根据上述信息回答下列问题:
(1)若从该副扑克牌中发出了1张牌,求此时的“牌值”为-2的概率;
(2)已知从该副扑克牌中已发出32张牌,且此时的“牌值”为24.若剩下的牌中每一张牌被发出的机会均相等,求下一张发出的牌是点数大的牌的概率.3　等可能事件的概率　
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解可转化为等可能事件的几何类型的特点,会判断试验结果是否具有等可能性 数据观念、几何直观
2.掌握可转化为等可能事件的几何类型的概率计算方法 数据观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点
与面积相关的等可能事件概率的求法:
事件A的概率等于事件A所包含的图形面积m与图形总面积n的比,P( )= .
对点小练
如图,小亮有一张卡片藏在9块瓷砖中的某一块下面(每块瓷砖除图案外其他均相同),那么卡片藏在瓷砖下的概率为( )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1 与面积有关的概率问题(数据观念、几何直观)
【典例1】如图,在4×4的正方形网格飞镖游戏板中,每块小正方形除颜色外都相同,小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,假设飞镖击中游戏板的每一处都是等可能的(击中边界或没有击中游戏板,则重投一次),任意投掷飞镖一次,飞镖击中阴影部分的概率是 .
【举一反三】
1.(2023·烟台中考)如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与P2的大小关系为( )
A.P1C.P1>P2 D.无法判断
2.(2024·济南一模)如图,在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形,一只青蛙在该图案内任意跳动,则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 .
【技法点拨】
解答与面积相关的概率问题的三步骤
重点2 与转盘有关的概率问题(数据观念)
【典例2】(教材再开发·P75尝试·思考拓展)如图所示,一个转盘被分成7个相同的扇形,颜色分为红、黄、绿三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,当作指向右边的扇形),则指针指向红色的概率为 .
【举一反三】
(2024·菏泽一模)如图,一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形,其中蓝、黄扇形的圆心角度数分别为60°,90°,转动转盘,停止后指针落在红色扇形区域的概率是 .
【技法点拨】
　　　在转盘中求指针落在某个扇形区域的概率时,若各部分扇形面积不相等,通过用该扇形面积与转盘的面积之比来表示.也可用扇形的圆心角度数和整个圆周角360°的比来表示.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·数据观念·2023·连云港中考)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为( )
A.　 B. C. D.
2.(4分·数据观念)如图,转盘中8个扇形的面积都相等,涂色的为灰色部分,其余为白色部分,任意转动这个转盘1次,当转盘停止转动时,指针落在灰色区域的概率是( )
A. B. C. D.
3.(4分·数据观念·2024·苏州中考)如图,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,任意转动这个转盘一次,当转盘停止转动时,指针落在阴影部分的概率是 .
4.(8分·数据观念)(1)转动如图1所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转盘停止转动时指针落在红、黄、绿某一颜色区域内(若指针落在交界线上,则重新转动).
下列事件:①指针指向红色区域;②指针指向绿色区域;③指针指向黄色区域;④指针不指向黄色区域.将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列: .
(2)请你在图2中设计一个转盘,使指针落在红色区域和黄色区域的可能性一样大,且指针落在绿色区域的可能性最大.3　等可能事件的概率
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解等可能事件的特点,会判断试验结果是否具有等可能性 数据观念
2.掌握等可能事件的概率计算方法 数据观念
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点
对点小练
1.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球,它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为(D)
A. B. C. D.
2.某学校组织创城知识竞赛,共设有20道试题,其中有:社会主义核心价值观试题3道,文明校园创建标准试题6道,文明礼貌试题11道.学生小宇从中任选一道试题作答,他选中文明校园创建标准试题的概率是(B)
A. B. C. D.
3.从一批节能灯中随机抽取40只进行检查,发现次品2只,则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 　.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1 简单的等可能事件的概率(数据观念)
【典例1】(教材再开发·P73例拓展)某校某次外出社会实践活动分为三类,因资源有限,七年级7班分配到20个名额,其中甲类2个、乙类8个、丙类10个,已知该班有50名学生,班主任准备了50个签,其中甲类、乙类、丙类按名额设置以及30个空签.采取抽签的方式来确定名额分配,请解决下列问题:
(1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率是多少
(2)该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率是多少
(3)若要求抽到甲类名额的概率要达到20%,则还要争取甲类名额多少个
【自主解答】(1)该班小明同学恰好抽到丙类名额的概率为=;
(2)该班小丽同学能有幸去参加实践活动的概率为=;
(3)设还要争取甲类名额x个,根据题意得=20%,解得x=8.
答:还要争取甲类名额8个.
【举一反三】
1.(2023·成都中考)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神,某学校积极开设种植类劳动教育课.某班决定让每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目,老师提供6张背面完全相同的卡片,其中蔬菜类有4张,正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案;水果类有2张,正面分别印有草莓、西瓜图案,每个图案对应该种植项目.把这6张卡片背面朝上洗匀,小明随机抽取一张,他恰好抽中水果类卡片的概率是(B)
A. 　 B. C. 　 D.
2.(2023·嘉兴、舟山中考)现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀,从中随机抽取一张卡片,则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 　.
【技法点拨】
解答与数量相关概率问题的四步骤
重点2 设计游戏(数据观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P74尝试·思考强化)小军与小玲共同发明了一种“字母棋”,进行比胜负的游戏.他们用四个字母做成10枚棋子,如图,棋子A有1枚,棋子B有2枚,棋子C有3枚,棋子D有4枚.“字母棋”的游戏规则如下:①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛,先摸者摸出的棋子不放回;②棋子A胜棋子B、棋子C,棋子B胜棋子C、棋子D,棋子C胜棋子D,棋子D胜棋子A;③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸,则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C,小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)如何设计小玲先摸到棋子,使小玲胜小军的概率最大
【自主解答】(1)根据题意,可能出现的结果有A,B,B,C,C,C,D,D,D,D,共有10个等可能的结果,小玲摸到棋子C的结果有3个,所以若小玲先摸,则小玲摸到棋子C的概率是;
(2)因为小玲先摸到了棋子C,若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚,那小军摸到棋子的等可能结果有9个,只有当小军摸到棋子D时,小玲胜小军,所以这一轮小玲胜小军的概率为;
(3)①若小玲摸到棋子A,小军摸到棋子B、棋子C,小玲胜,所以小玲胜小军的概率是;
②若小玲摸到棋子B,小军摸到棋子D、棋子C,小玲胜,所以小玲胜小军的概率是;
③若小玲摸到棋子C,小军摸到棋子D,小玲胜,所以小玲胜小军的概率是;
④若小玲摸到棋子D,小军摸到棋子A,小玲胜,所以小玲胜小军的概率是;
因为>>>,所以小玲先摸到棋子B,小玲胜小军的概率最大.
【举一反三】
1.晓刚用瓶盖设计了一个游戏:任意掷出一个瓶盖,如果盖面朝上则甲胜,如果盖面朝下则乙胜,你认为这个游戏　不公平　(填“公平”或“不公平”);如果用硬币代替瓶盖,同样进行上述游戏,你认为这个游戏　公平　(填“公平”或“不公平”).
2.用6个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏:摸到白球的概率为,摸到红球的概率为,摸到黄球的概率为.则应设　3　个白球,　2　个红球,　1　个黄球.
3.设计摸球游戏如下:
(1)若袋中装有完全相同的10个红球,则从中随机摸出1球是红球的概率为　1　;
(2)若袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5个黑球,则从中随机摸出1球,得到黑球的概率为 　;
(3)若袋中装有除颜色外完全相同的2个绿球、7个红球和1个黑球,则从中随机摸出1球,摸到绿球的概率为 　;
(4)若袋中装有除颜色外完全相同的2个绿球、7个红球和1个黑球,再向袋中放入4个黄球,则从中随机摸出1球是黄球的概率为 　.
【技法点拨】
概率在游戏和摸球试验中的作用
1.判断游戏是否公平,关键是看双方在游戏中关注的事件所发生的概率是否相同.
2.在摸球试验中,某种颜色球出现的概率等于该种颜色的球的数量与球的总数的比,利用这个结论可以列方程计算球的个数.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·数据观念·2023·丽水中考)某校准备组织红色研学活动,需要从梅歧、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学,选中梅歧红色教育基地的概率是(B)
A. 　　 B. C. 　　 D.
2.(4分·数据观念)有6片形状大小完全一样的正方形卡片,其中每个上面标有数字1,2,2,3,4,6,从中随机抽一张,抽出标有数字是偶数的卡片的概率为(D)
A. B. C. D.
3.(4分·数据观念)不透明袋子中装有6个球,其中有1个粉色球和5个蓝色球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是蓝色球的概率为 　.
4.(8分·数据观念)一副扑克牌(大、小王除外)有四种花色,且每种花色皆有13种点数,分别为2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A,共52张.
某扑克牌游戏中,玩家可以利用“牌值”来评估尚未发出的牌值点数大小.“牌值”的计算方式为:未发牌时先设“牌值”为0;当发出的牌点数为2至10时,表示发出点数小的牌,则“牌值”加2;当发出的牌点数为J,Q,K,A时,表示发出点数大的牌,则“牌值”减2.
例如:从该副扑克牌中发出了6张牌,点数依序为3,A,8,9,Q,5,则此时的“牌值”为0+2-2+2+2-2+2=4.
请根据上述信息回答下列问题:
(1)若从该副扑克牌中发出了1张牌,求此时的“牌值”为-2的概率;
(2)已知从该副扑克牌中已发出32张牌,且此时的“牌值”为24.若剩下的牌中每一张牌被发出的机会均相等,求下一张发出的牌是点数大的牌的概率.
【解析】(1)因为该副扑克牌中,点数大的牌共有16张,且 =,
所以“牌值”为-2的概率是;
(2)设从该副扑克牌已发出的32张牌中点数大的张数为x,依题意得,2(32-x)-2x=24,
解得x=10,所以已发出的32张牌中点数大的张数为10,所以剩余的20张牌中点数大的张数为6.因为剩下的牌中每一张牌被发出的机会均相等,所以下一张发出的牌是点数大的牌的概率是.

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