资源简介

1　认识三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
掌握三角形三条边之间的数量关系,会按边将三角形分类 空间观念、几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.三角形按边分类 特殊三角形等腰三角形等边三角形定义有　两边　相 等的三角形　三边　都相 等的三角形图形
1.如图是三角形按常见关系进行分类的图,则关于P,Q区域的说法正确的是(B) A.P是等边三角形,Q是等腰三角形 B.P是等腰三角形,Q是等边三角形 C.P是直角三角形,Q是锐角三角形 D.P是钝角三角形,Q是等腰三角形
2.三角形的三边关系 已知△ABC, (1)三角形任意两边之和　大于　第三边,即AB+AC>BC,　AB+BC>AC　,　AC+BC>AB　. (2)三角形任意两边之差　小于　第三边,即BC-AC重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】三角形的三边关系及应用
【典例1】(教材再开发·P93T5拓展)若a,b,c是△ABC三边的长,化简:|a+b-c|+|b-a-c|-|c-a-b|.
【自主解答】因为a,b,c为三角形的三边,
所以a+b-c>0,b-a-c<0,c-a-b<0,
所以|a+b-c|+|b-a-c|-|c-a-b|=a+b-c+(-b+a+c)-(-c+a+b)=a+b-c-b+a+c+c-a-b=a-b+c.
【举一反三】
1.有两根30 cm和50 cm长的木棒,再找一根木棒与这两根木棒构成一个三角形木架.可以选择的木棒长是(C)
A.10 cm B.20 cm
C.30 cm D.80 cm
2.已知a,b,c是△ABC的三边长,满足|a-7|+(b-2)2=0,c为奇数,则c=　7　.
【技法点拨】
三角形三边关系的应用
(1)判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法:①判断出最长的一边;②看较短的两边之和是否大于最长的一边,大于则能构成三角形,不大于则不能构成三角形.
(2)已知两边求第三边的取值范围,根据三角形三边关系定理可知:|已知两边之差|<第三边<已知两边之和.
【重点2】等腰三角形
【典例2】(教材再开发·P88“思考·交流”强化)已知x,y满足|4-x|+|y-6|=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(A)
A.14或16 B.14
C.16 D.以上答案均不对
【举一反三】
1.等腰三角形的周长为16,其中腰为x,则x不可能为(A)
A.4 B.5 C.6 D.7
2.等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长等于　15　.
【技法点拨】
等腰三角形周长问题中的三点注意
1.分清:已知数据是三角形的腰还是底.
2.分类:题目中没有明确腰或底时,要分类讨论.
3.满足:计算中一定要验算三边是否满足三角形的三边关系.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小木棒摆三角形,那么所摆成的三角形的周长不可能是(B)
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
2.(4分·推理能力、应用意识)如图,已知A,B两个城镇之间有两条线路,线路①:隧道公路线段AB;线路②:普通公路折线段AC-CB.我们知道,线路①的路程比线路②的路程短,理由既可以是两点之间,线段最短,还可以是(D)
A.垂线段最短
B.直角三角形,斜边大于直角边
C.两点之间,直线最短
D.三角形两边之和大于第三边
3.(4分·推理能力)小明有两根3 cm,7 cm的木棒,他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形,还需再选用一根　7　cm长的木棒.
4.(8分·推理能力、运算能力)已知△ABC的三边长是a,b,c.
(1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;
(2)化简|a+b-c|+|c-a-b|.
【解析】(1)因为a,b,c是△ABC的三边,a=6,b=8,所以2因为三角形的周长是小于22的偶数,
所以2(2)|a+b-c|+|c-a-b|=a+b-c-c+a+b=2a+2b-2c.
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第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素; 空间观念、几何直观
2.掌握三角形三个角的关系,会按角将三角形分类. 推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.三角形的定义 (1)定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形. (2)表示:用符号“△”表示,以A,B,C为顶点的三角形记作△ABC. 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是(D)
2.三角形的内角和定理 文字表述:三角形三个内角的和等于180°. 几何语言:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°. 2.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=40°,则∠C的度数为(A) A.65° B.70° C.75° D.80°
3.三角形的分类 3.(1)若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和70°,则这个三角形是(A) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 (2)在△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B,则∠B=　30°　.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】三角形的计数问题
【典例1】(教材再开发·P93T4拓展)图中有几个三角形
【自主解答】题图中一共有6个三角形,分别是△ACE,△AED,△ADB,△ACD,△ABE和△ABC.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AB上的点,则以D为顶点的三角形的个数为(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.请同学们认真观察,图中三角形有(A)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,连接BE,AD交于点F.
(1)图中共有多少个以AB为边的三角形 并把它们表示出来.
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有哪些
【解析】(1)以AB为边的三角形有4个,△ABF,△ABD,△ABE,△ABC.
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有△BDF,△AEF.
【技法点拨】
在复杂图形中数三角形个数的方法
1.按图形形成的过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序)去数;
2.按三角形的大小去数;
3.可从图中的某一条边开始沿着一定方向去数;
4.先固定一个顶点,再按照一定的顺序不断变换另两个顶点去数.
【重点2】三角形的内角和定理
【典例2】(教材再开发·P85“观察·交流”强化)如图,AB∥CD,∠ABE=84°.
(1)求∠EFC的大小;
(2)若∠ABE=3∠DCE,求∠E的大小.
【自主解答】(1)因为AB∥CD,
所以∠DFE=∠ABE=84°,
所以∠EFC=180°-∠DFE=96°;
(2)因为∠ABE=3∠DCE,
所以∠DCE=28°,
所以∠E=180°-∠EFC-∠DCE=56°.
【举一反三】
1.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线,其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,若AC∥DE,则∠BAE的度数为(C)
A.50° B.65° C.75° D.85°
【技法点拨】
三角形内角和定理的作用
1.能解决已知三角形两个内角求第三个角的问题;
2.能解决已知三个角的关系求三个角的问题.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·空间观念、几何直观)下列图形中,三角形是(C)
A. B.
C. D.
2. (4分·推理能力)如图,直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B,若∠C=30°,∠ABC=20°,∠DEF的大小为　50°　.
3.(6分·几何直观、空间观念)图中一共有多少个三角形 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个 用符号表示这些三角形.
【解析】共有6个三角形.
其中锐角三角形有2个:△ABE,△ABC;
直角三角形有3个:△ABD,△ADE,△ADC;
钝角三角形有1个:△AEC.
4.(6分·推理能力)如图,D是AB上一点,E是AC上一点,∠A+∠B+∠C=180°,∠ADE=70°,∠B=70°,∠AED=50°,求∠A的度数.
【解析】因为∠ADE=70°,∠B=70°,
所以DE∥BC,所以∠C=∠AED=50°,
因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠A=180°-∠B-∠C=60°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十一”1　认识三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
了解三角形的角平分线、高、中线,并能在具体的三角形中作出它们 空间观念、几何直观、推理能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
如图,(1)若AM是△ABC的中线,BC=12 cm,则BM=CM=　6　cm; (2)若AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=∠DAC= ∠BAC　; (3)若AH是△ABC的高,则△ABH是　直角　三角形.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】三角形三条重要线段的画法及辨识
【典例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是(C)
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△ABE的高
【举一反三】
1.如图所示,已知AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,D,C,F是垂足,下列说法中错误的是(D)
A.△ABC中,CF是AB边上的高
B.△AGC中,CF是AG边上的高
C.△GBC中,GC是BC边上的高
D.△BFC中,CG是BF边上的高
2.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论错误的是(D)
A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
【技法点拨】
三条重要线段在三角形中的位置
1.中线、角平分线:都在三角形的内部,均交于一点.
2.高:
(1)锐角三角形:三条高都在三角形内部(如图1),交点在内部.
(2)直角三角形:一条在内部,两条为直角边(如图2),交点为直角顶点.
(3)钝角三角形:一条在内部,两条在外部(如图3),三条高没有交点,但三条高所在的直线交于三角形外一点.
【重点2】三角形三条重要线段的作用
【典例2】如图,△ABC中,AB=6 cm,BC=10 cm,CE⊥AB,AD⊥BC,AD和CE交于点F.
(1)若∠B=55°,求∠AFC的度数;
(2)若AD=4 cm,求CE的长.
【自主解答】(1)因为CE⊥AB,
所以∠CEB=90°,
因为∠B=55°,
所以∠BCE=35°,
因为AD⊥BC,
所以∠FDC=90°,
所以∠DFC=90°-∠BCE=55°,
所以∠AFC=180°-∠DFC=125°.
(2)因为CE⊥AB,AD⊥BC,
所以S△ABC=·BC·AD=·AB·CE,
因为AB=6 cm,BC=10 cm,AD=4 cm,
所以CE===(cm).
【举一反三】
1.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是△ABD中AD边上的中线,若△ABC的面积是24,则△ABE的面积为(B)
A.5 B.6 C.9 D.12
2.如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高线,下列结论不一定成立的是(D)
A.BC=2CE B.∠BAD=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)如图,在△ABC中,边AB上的高是(C)
A.AF B.BE C.CE D.BD
2.(4分·推理能力)如图,△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O.有下列两个结论:①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD的中线.其中(A)
A.只有①正确 B.只有②正确
C.①和②都正确 D.①和②都不正确
3.(8分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O.
(1)若CD是中线,BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为　　　　;
(2)若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数;
(3)若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数.
【解析】(1)因为CD是中线,
所以BD=AD,
因为BC=4,AC=3,
所以C△BCD=BC+BD+CD=4+AD+CD,C△ACD=AD+CD+AC=3+AD+CD,
所以C△BCD-C△ACD=1;
答案:1
(2)因为CD是△ABC的高,所以∠CDB=90°,
因为∠ABC=64°,BE是△ABC的角平分线,
所以∠ABE=∠ABC=×64°=32°,
所以∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+32°=122°;
(3)因为∠A=80°,
所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°,
因为BE,CD是△ABC的角平分线,
所以∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
所以∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°,
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十三”1　认识三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
掌握三角形三条边之间的数量关系,会按边将三角形分类 空间观念、几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.三角形按边分类 特殊三角形等腰三角形等边三角形定义有 相 等的三角形 都相 等的三角形图形
1.如图是三角形按常见关系进行分类的图,则关于P,Q区域的说法正确的是( ) A.P是等边三角形,Q是等腰三角形 B.P是等腰三角形,Q是等边三角形 C.P是直角三角形,Q是锐角三角形 D.P是钝角三角形,Q是等腰三角形
2.三角形的三边关系 已知△ABC, (1)三角形任意两边之和 第三边,即AB+AC>BC, , . (2)三角形任意两边之差 第三边,即BC-AC重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】三角形的三边关系及应用
【典例1】(教材再开发·P93T5拓展)若a,b,c是△ABC三边的长,化简:|a+b-c|+|b-a-c|-|c-a-b|.
【举一反三】
1.有两根30 cm和50 cm长的木棒,再找一根木棒与这两根木棒构成一个三角形木架.可以选择的木棒长是( )
A.10 cm B.20 cm
C.30 cm D.80 cm
2.已知a,b,c是△ABC的三边长,满足|a-7|+(b-2)2=0,c为奇数,则c= .
【技法点拨】
三角形三边关系的应用
(1)判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法:①判断出最长的一边;②看较短的两边之和是否大于最长的一边,大于则能构成三角形,不大于则不能构成三角形.
(2)已知两边求第三边的取值范围,根据三角形三边关系定理可知:|已知两边之差|<第三边<已知两边之和.
【重点2】等腰三角形
【典例2】(教材再开发·P88“思考·交流”强化)已知x,y满足|4-x|+|y-6|=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.14或16 B.14
C.16 D.以上答案均不对
【举一反三】
1.等腰三角形的周长为16,其中腰为x,则x不可能为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长等于 .
【技法点拨】
等腰三角形周长问题中的三点注意
1.分清:已知数据是三角形的腰还是底.
2.分类:题目中没有明确腰或底时,要分类讨论.
3.满足:计算中一定要验算三边是否满足三角形的三边关系.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·推理能力)用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小木棒摆三角形,那么所摆成的三角形的周长不可能是( )
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
2.(4分·推理能力、应用意识)如图,已知A,B两个城镇之间有两条线路,线路①:隧道公路线段AB;线路②:普通公路折线段AC-CB.我们知道,线路①的路程比线路②的路程短,理由既可以是两点之间,线段最短,还可以是( )
A.垂线段最短
B.直角三角形,斜边大于直角边
C.两点之间,直线最短
D.三角形两边之和大于第三边
3.(4分·推理能力)小明有两根3 cm,7 cm的木棒,他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形,还需再选用一根 cm长的木棒.
4.(8分·推理能力、运算能力)已知△ABC的三边长是a,b,c.
(1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22的偶数,求c的值;
(2)化简|a+b-c|+|c-a-b|.1　认识三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素; 空间观念、几何直观
2.掌握三角形三个角的关系,会按角将三角形分类. 推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.三角形的定义 (1)定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形. (2)表示:用符号“△”表示,以A,B,C为顶点的三角形记作△ABC. 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中符合三角形概念的是( )
2.三角形的内角和定理 文字表述:三角形三个内角的和等于180°. 几何语言:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°. 2.在△ABC中,若∠A=75°,∠B=40°,则∠C的度数为( ) A.65° B.70° C.75° D.80°
3.三角形的分类 3.(1)若一个三角形的两个内角的度数分别为30°和70°,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 (2)在△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B,则∠B= .
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】三角形的计数问题
【典例1】(教材再开发·P93T4拓展)图中有几个三角形
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AB上的点,则以D为顶点的三角形的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.请同学们认真观察,图中三角形有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
3.如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,连接BE,AD交于点F.
(1)图中共有多少个以AB为边的三角形 并把它们表示出来.
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有哪些
【技法点拨】
在复杂图形中数三角形个数的方法
1.按图形形成的过程(即重新画一遍图形,按照三角形形成的先后顺序)去数;
2.按三角形的大小去数;
3.可从图中的某一条边开始沿着一定方向去数;
4.先固定一个顶点,再按照一定的顺序不断变换另两个顶点去数.
【重点2】三角形的内角和定理
【典例2】(教材再开发·P85“观察·交流”强化)如图,AB∥CD,∠ABE=84°.
(1)求∠EFC的大小;
(2)若∠ABE=3∠DCE,求∠E的大小.
【举一反三】
1.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线,其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,若AC∥DE,则∠BAE的度数为( )
A.50° B.65° C.75° D.85°
【技法点拨】
三角形内角和定理的作用
1.能解决已知三角形两个内角求第三个角的问题;
2.能解决已知三个角的关系求三个角的问题.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·空间观念、几何直观)下列图形中,三角形是( )
A. B.
C. D.
2. (4分·推理能力)如图,直尺经过一副三角板DCB的直角顶点B,若∠C=30°,∠ABC=20°,∠DEF的大小为 .
3.(6分·几何直观、空间观念)图中一共有多少个三角形 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个 用符号表示这些三角形.
4.(6分·推理能力)如图,D是AB上一点,E是AC上一点,∠A+∠B+∠C=180°,∠ADE=70°,∠B=70°,∠AED=50°,求∠A的度数.1　认识三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
了解三角形的角平分线、高、中线,并能在具体的三角形中作出它们 空间观念、几何直观、推理能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
如图,(1)若AM是△ABC的中线,BC=12 cm,则BM=CM= cm; (2)若AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=∠DAC= ; (3)若AH是△ABC的高,则△ABH是 三角形.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】三角形三条重要线段的画法及辨识
【典例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是( )
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△ABE的高
【举一反三】
1.如图所示,已知AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,D,C,F是垂足,下列说法中错误的是( )
A.△ABC中,CF是AB边上的高
B.△AGC中,CF是AG边上的高
C.△GBC中,GC是BC边上的高
D.△BFC中,CG是BF边上的高
2.如图,若∠1=∠2,∠3=∠4,则下列结论错误的是( )
A.AD是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
【技法点拨】
三条重要线段在三角形中的位置
1.中线、角平分线:都在三角形的内部,均交于一点.
2.高:
(1)锐角三角形:三条高都在三角形内部(如图1),交点在内部.
(2)直角三角形:一条在内部,两条为直角边(如图2),交点为直角顶点.
(3)钝角三角形:一条在内部,两条在外部(如图3),三条高没有交点,但三条高所在的直线交于三角形外一点.
【重点2】三角形三条重要线段的作用
【典例2】如图,△ABC中,AB=6 cm,BC=10 cm,CE⊥AB,AD⊥BC,AD和CE交于点F.
(1)若∠B=55°,求∠AFC的度数;
(2)若AD=4 cm,求CE的长.
【举一反三】
1.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,BE是△ABD中AD边上的中线,若△ABC的面积是24,则△ABE的面积为( )
A.5 B.6 C.9 D.12
2.如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高线,下列结论不一定成立的是( )
A.BC=2CE B.∠BAD=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)如图,在△ABC中,边AB上的高是( )
A.AF B.BE C.CE D.BD
2.(4分·推理能力)如图,△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O.有下列两个结论:①AO是△ABE的角平分线;②BO是△ABD的中线.其中( )
A.只有①正确 B.只有②正确
C.①和②都正确 D.①和②都不正确
3.(8分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O.
(1)若CD是中线,BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为 ;
(2)若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数;
(3)若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数.

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