资源简介

3　探索三角形全等的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等 推理能力
2.了解三角形的稳定性 几何直观、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
三角形全等的条件 1.如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则可以由“SSS”直接判定 ≌ . 2.如图,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添加直接条件是 .
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】应用“SSS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P100T1拓展)如图,点D,A,E,B在同一直线上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明:∠F=∠C.
【举一反三】
1.如图所示,已知AB=DC,则再添加下列哪一个条件,可以判定△ABC≌△DCB( )
A.AO=DO B.BO=CO
C.AC=DB D.BC=CD
2.已知:如图,AC与BD交于点O,且AB=DC,AC=DB.求证:OA=OD.
【证明】在△ABD和△DCA中,
,所以△ABD≌△DCA(SSS),
所以∠BDA=∠CAD,即∠ODA=∠OAD,
所以OA=OD.
【技法点拨】
寻找线段相等的方法
(1)利用线段中点的定义说明线段相等.
(2)图形中的隐含条件,如公共边(也可添加辅助线构造公共边).
(3)多条线段共线时,通过计算线段的和差来寻找相等的线段.
(4)利用全等三角形的性质判断线段相等.
【重点2】三角形的稳定性(应用意识)
【典例2】如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是( )
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【举一反三】
1.(2024·石家庄期中)下列图形中,不具有稳定性的是( )
2.如图,生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架,这是利用三角形的 .
【技法点拨】
使多边形稳定的方法
四边形、五边形等多边形不具有稳定性,从一个顶点向与其不相邻的顶点引(n-3)条对角线能使该多边形稳定,无论怎样添加对角线,只要能保证把多边形分成若干个三角形即可.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·应用意识)如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的依据是( )
A.两点之间线段最短
B.长方形的对称性
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
2.(4分·推理能力)如图,在△ABC和△DEF中,点B,C,E,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A=95°,∠DEF=15°,则∠F的度数为( )
A.25° B.60° C.70° D.95°
3.(4分·推理能力)如图,点E在AB上,AC=AD,请添加一个条件,使图中存在全等三角形.所添加条件为 .
4.(8分·推理能力)已知,如图,F,C是AD上的两点,且AB=DE,AF=DC,BC=EF.
求证:AB∥ED.3　探索三角形全等的条件
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.借助尺规能作出三角形 应用意识、几何直观、推理能力
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
如图,已知AO=CO,若以“SAS”为依据说明△AOB≌△COD,还要添加的条件是 .
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】用尺规作三角形(几何直观、应用意识)
【典例1】作图题:已知∠α,∠β和线段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【举一反三】
1.下列所给的四组条件中,能作出唯一三角形的是( )
A.AB=2 cm,BC=6 cm,AC=3 cm
B.BC=3 cm,AC=5 cm,∠C=70°
C.∠A=∠B=∠C=60°
D.AB=4 cm,AC=6 cm,∠B=30°
2.现已知线段a,b(a嘉嘉:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点A为圆心、线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB,△ABO即为所求.
琪琪:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点O为圆心、线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB,△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是( )
A.嘉嘉的作法正确,琪琪的作法错误
B.琪琪的作法正确,嘉嘉的作法错误
C.两人的作法都正确
D.两人的作法都错误
3.已知:线段a(如图).
求作:△ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
【技法点拨】
尺规作图的基本思路
1.已知:将条件具体化.
2.求作:具体叙述所作图形应满足的条件.
3.作法:依次叙述作图过程.
4.说明:为了验证作图的正确性,作完图后根据已知的定义、定理,并结合作法说明所作的图形完全符合题设条件.一般不需要说明.
【重点2】利用“SAS”证明全等(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.试说明:∠D=∠ABC.
【举一反三】
　如图,已知BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,点B,F,C,E在同一条直线上.求证:∠A=∠D.
【重点3】三角形全等判定定理的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P106T5强化)如图,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)试说明:△ADE≌△ACB;
(2)判断线段DF与CF的数量关系,并说明理由.
【举一反三】
(2024·杭州一模)如图,点C,点E分别在线段AD,AB上,线段BC与DE交于点F,且满足AB=AD.下列添加的条件中不能推得△ABC≌△ADE的是( )
A.AC=AE B.BF=DF
C.BE=CD D.BC=DE
【技法点拨】
由已知说明两个三角形全等的一般思路
1.若已知两边
2.若已知一边一角
3.若已知两角
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如图,AC和BD交于O,OA=OD,用SAS证明△AOB≌△DOC还需添加的条件是( )
A.∠A=∠D　　　　B.AB=DC
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(3分·推理能力)如图,在△ABC和△BDE中,再添两个条件不能使△ABC和△BDE全等的是( )
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
3.(6分·推理能力、应用意识)作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
已知:如图,线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
4.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC上一点,AE=AB,连接DE.
(1)求证:△ABD≌△AED.
(2)已知AB=9,△CDE的周长为15,求△ABC的周长.3　探索三角形全等的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 模型观念、几何直观、推理能力
2.能证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是( ) A.AB=DE　　　　B.∠A=∠D C.BF=CE D.∠B=∠D 2.如图,已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,则根据“ ”,就可判断△ABD≌△ABC.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用“ASA”判定三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P102随堂练习T1·2022·乐山中考)如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE.试说明:△ABD≌△BCE.
【举一反三】
1.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要用ASA判定这两个三角形全等,还需要条件( )
A.BC=ED B.AB=FD
C.∠A=∠F D.以上条件都不正确
2.(2024·佛山期中)已知:如图,点A,C,F,D在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,AB=DE,证明:△ABC≌△DEF.
【证明】因为AB∥DE,
所以∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
【重点2】利用“AAS”判定三角形全等(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P102“思考·交流”强化)如图,在△ABC和△AED中,AC=DE,∠B=90°,点C在AD上,AB∥DE,连接CE,CE⊥AD.试说明:AB=DC.
【举一反三】
(2024·西安四模)如图,在△ABC中,D是BC边上一点,过点A作AE∥BC,且AE=CD,连接DE交AC于点F.求证:AF=CF.
【技法点拨】
判定三角形全等的三类条件
(1)直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角;
(2)隐含条件:即已知中没有给出,但通过读图得到的条件,如公共边、公共角、对顶角;
(3)间接条件:即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角,需要进一步推理.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1. (4分·推理能力)如图,AB=AC,∠B=∠C则△ABE≌△ACF的判定依据为( )
A.ASA　 B.AAS　 C.SAS　 D.SSS
2.(8分·推理能力)如图,点C在线段BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACB=∠CED,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△CDE;
(2)若AB=2,DE=4,求BD的长.
3.(8分·推理能力)在△ABC中,D是BC的中点,AC∥BF.
(1)证明:DE=DF;
(2)若∠BAC=110°,BD平分∠ABF,求∠C的度数.3　探索三角形全等的条件
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 模型观念、几何直观、推理能力
2.能证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF,那么需要补充的条件是(B) A.AB=DE　　　　B.∠A=∠D C.BF=CE D.∠B=∠D 2.如图,已知AB平分∠DAC,∠D=∠C,则根据“　AAS　”,就可判断△ABD≌△ABC.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】利用“ASA”判定三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P102随堂练习T1·2022·乐山中考)如图,B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE.试说明:△ABD≌△BCE.
【自主解答】因为点B为线段AC的中点,所以AB=BC,因为AD∥BE,所以∠A=∠EBC,因为BD∥CE,所以∠C=∠DBA,
在△ABD和△BCE中,,
所以△ABD≌△BCE(ASA).
【举一反三】
1.在△ABC和△DEF中,已知∠C=∠D,∠B=∠E,要用ASA判定这两个三角形全等,还需要条件(A)
A.BC=ED B.AB=FD
C.∠A=∠F D.以上条件都不正确
2.(2024·佛山期中)已知:如图,点A,C,F,D在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,AB=DE,证明:△ABC≌△DEF.
【证明】因为AB∥DE,
所以∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(ASA).
【重点2】利用“AAS”判定三角形全等(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P102“思考·交流”强化)如图,在△ABC和△AED中,AC=DE,∠B=90°,点C在AD上,AB∥DE,连接CE,CE⊥AD.试说明:AB=DC.
【自主解答】因为AB∥DE,
所以∠BAC=∠D,
因为CE⊥AD,
所以∠B=∠DCE=90°,
因为AC=DE,
所以△ABC≌△DCE(AAS),
所以AB=DC.
【举一反三】
(2024·西安四模)如图,在△ABC中,D是BC边上一点,过点A作AE∥BC,且AE=CD,连接DE交AC于点F.求证:AF=CF.
【证明】因为AE∥BC,所以∠E=∠CDF,
在△AEF和△CDF中,,
所以△AEF≌△CDF(AAS),所以AF=CF.
【技法点拨】
判定三角形全等的三类条件
(1)直接条件:即已知中直接给出的三角形的对应边或对应角;
(2)隐含条件:即已知中没有给出,但通过读图得到的条件,如公共边、公共角、对顶角;
(3)间接条件:即已知中所给条件不是三角形的对应边和对应角,需要进一步推理.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1. (4分·推理能力)如图,AB=AC,∠B=∠C则△ABE≌△ACF的判定依据为(A)
A.ASA　 B.AAS　 C.SAS　 D.SSS
2.(8分·推理能力)如图,点C在线段BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,∠ACB=∠CED,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△CDE;
(2)若AB=2,DE=4,求BD的长.
【解析】(1)因为AB⊥BD,ED⊥BD,
所以∠B=∠D=90°,
在△ABC和△CDE中,
,
所以△ABC≌△CDE(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△CDE,
所以AB=CD=2,BC=DE=4,
所以BD=BC+CD=4+2=6,
所以BD的长是6.
3.(8分·推理能力)在△ABC中,D是BC的中点,AC∥BF.
(1)证明:DE=DF;
(2)若∠BAC=110°,BD平分∠ABF,求∠C的度数.
【解析】(1)因为AC∥BF,
所以∠C=∠FBD,∠F=∠CED,
因为点D是BC的中点,
所以CD=BD,
在△CDE和△BDF中,
,
所以△CDE≌△BDF(AAS),
所以DE=DF;
(2)因为AC∥BF,
所以∠BAC+∠ABF=180°,∠C=∠FBD,
因为∠BAC=110°,
所以∠ABF=180°-∠BAC=70°,
因为BD平分∠ABF,
所以∠C=∠FBD=∠ABF=35°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十六”3　探索三角形全等的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等 推理能力
2.了解三角形的稳定性 几何直观、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
三角形全等的条件 1.如图,在△ABC中,AB=AC,EB=EC,则可以由“SSS”直接判定　△ABE　≌　△ACE　. 2.如图,已知AD=CB,若利用“SSS”来判定△ABC≌△CDA,则添加直接条件是　AB=CD　.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】应用“SSS”判定两个三角形全等(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P100T1拓展)如图,点D,A,E,B在同一直线上,EF=BC,DF=AC,DA=EB.试说明:∠F=∠C.
【自主解答】因为DA=EB,
所以DA+AE=AE+EB,
所以DE=AB.
在△DEF和△ABC中,
因为DE=AB,DF=AC,EF=BC,
所以△DEF≌△ABC(SSS),
所以∠F=∠C.
【举一反三】
1.如图所示,已知AB=DC,则再添加下列哪一个条件,可以判定△ABC≌△DCB(C)
A.AO=DO B.BO=CO
C.AC=DB D.BC=CD
2.已知:如图,AC与BD交于点O,且AB=DC,AC=DB.求证:OA=OD.
【证明】在△ABD和△DCA中,
,所以△ABD≌△DCA(SSS),
所以∠BDA=∠CAD,即∠ODA=∠OAD,
所以OA=OD.
【技法点拨】
寻找线段相等的方法
(1)利用线段中点的定义说明线段相等.
(2)图形中的隐含条件,如公共边(也可添加辅助线构造公共边).
(3)多条线段共线时,通过计算线段的和差来寻找相等的线段.
(4)利用全等三角形的性质判断线段相等.
【重点2】三角形的稳定性(应用意识)
【典例2】如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是(A)
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
【举一反三】
1.(2024·石家庄期中)下列图形中,不具有稳定性的是(A)
2.如图,生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架,这是利用三角形的　稳定性　.
【技法点拨】
使多边形稳定的方法
四边形、五边形等多边形不具有稳定性,从一个顶点向与其不相邻的顶点引(n-3)条对角线能使该多边形稳定,无论怎样添加对角线,只要能保证把多边形分成若干个三角形即可.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·应用意识)如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的依据是(D)
A.两点之间线段最短
B.长方形的对称性
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
2.(4分·推理能力)如图,在△ABC和△DEF中,点B,C,E,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,∠A=95°,∠DEF=15°,则∠F的度数为(C)
A.25° B.60° C.70° D.95°
3.(4分·推理能力)如图,点E在AB上,AC=AD,请添加一个条件,使图中存在全等三角形.所添加条件为　CE=DE(答案不唯一)　.
4.(8分·推理能力)已知,如图,F,C是AD上的两点,且AB=DE,AF=DC,BC=EF.
求证:AB∥ED.
【证明】因为AF=DC,
所以AF+FC=DC+FC.
所以AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
所以∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
所以AB∥ED.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十五”3　探索三角形全等的条件
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.借助尺规能作出三角形 应用意识、几何直观、推理能力
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
如图,已知AO=CO,若以“SAS”为依据说明△AOB≌△COD,还要添加的条件是　BO=DO　.
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】用尺规作三角形(几何直观、应用意识)
【典例1】作图题:已知∠α,∠β和线段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【自主解答】如图,△ABC为所作.
【举一反三】
1.下列所给的四组条件中,能作出唯一三角形的是(B)
A.AB=2 cm,BC=6 cm,AC=3 cm
B.BC=3 cm,AC=5 cm,∠C=70°
C.∠A=∠B=∠C=60°
D.AB=4 cm,AC=6 cm,∠B=30°
2.现已知线段a,b(a嘉嘉:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点A为圆心、线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB,△ABO即为所求.
琪琪:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点O为圆心、线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB,△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是(A)
A.嘉嘉的作法正确,琪琪的作法错误
B.琪琪的作法正确,嘉嘉的作法错误
C.两人的作法都正确
D.两人的作法都错误
3.已知:线段a(如图).
求作:△ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
【解析】作射线PN,在PN上截取PQ=3a,作射线AM,在AM上截取AB=2a,分别以A,B为圆心,PQ的长为半径作弧交于C,连接AC,BC,如图,△ABC即为所求.
【技法点拨】
尺规作图的基本思路
1.已知:将条件具体化.
2.求作:具体叙述所作图形应满足的条件.
3.作法:依次叙述作图过程.
4.说明:为了验证作图的正确性,作完图后根据已知的定义、定理,并结合作法说明所作的图形完全符合题设条件.一般不需要说明.
【重点2】利用“SAS”证明全等(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.试说明:∠D=∠ABC.
【自主解答】因为BD∥AC,
所以∠ACB=∠EBD.
在△ABC和△EDB中,
所以△ABC≌△EDB(SAS),
所以∠ABC=∠D.
【举一反三】
　如图,已知BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,点B,F,C,E在同一条直线上.求证:∠A=∠D.
【证明】因为BF=EC,
所以BF+CF=EC+CF,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
所以△ABC≌△DEF(SAS),
所以∠A=∠D.
【重点3】三角形全等判定定理的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P106T5强化)如图,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)试说明:△ADE≌△ACB;
(2)判断线段DF与CF的数量关系,并说明理由.
【自主解答】(1)因为∠DAB=∠CAE,
所以∠DAE=∠CAB,
在△ADE与△ACB中,,
所以△ADE≌△ACB(SAS).
(2)DF=CF,理由如下:
在△ADB与△ACE中,,
所以△ADB≌△ACE(SAS) ,
所以∠DBA=∠CEA,DB=CE,
因为△ADE≌△ACB,所以∠AED=∠ABC,所以∠DBF=∠CEF,
在△DBF与△CEF中,,
所以△DBF≌△CEF(AAS),所以DF=CF.
【举一反三】
(2024·杭州一模)如图,点C,点E分别在线段AD,AB上,线段BC与DE交于点F,且满足AB=AD.下列添加的条件中不能推得△ABC≌△ADE的是(D)
A.AC=AE B.BF=DF
C.BE=CD D.BC=DE
【技法点拨】
由已知说明两个三角形全等的一般思路
1.若已知两边
2.若已知一边一角
3.若已知两角
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如图,AC和BD交于O,OA=OD,用SAS证明△AOB≌△DOC还需添加的条件是(C)
A.∠A=∠D　　　　B.AB=DC
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(3分·推理能力)如图,在△ABC和△BDE中,再添两个条件不能使△ABC和△BDE全等的是(B)
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
3.(6分·推理能力、应用意识)作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
已知:如图,线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
【解析】如图:
△ABC即为所求.
4.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC上一点,AE=AB,连接DE.
(1)求证:△ABD≌△AED.
(2)已知AB=9,△CDE的周长为15,求△ABC的周长.
【解析】(1)因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△AED中,
,
所以△ABD≌△AED(SAS);
(2)因为△ABD≌△AED,
所以DE=BD,
所以△CDE的周长=DE+CD+CE=BD+CD+CE=BC+CE=15,
因为AE=AB=9,
所以△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC=9+9+15=33.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十七”

展开更多......

收起↑