资源简介

4　利用三角形全等测距离
课时学习目标 素养目标达成
能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系 推理能力、应用意识
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
应用全等测距离是利用了“全等三角形的　对应边相等　”的性质. 如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,这时小明离地面的高度是　80　cm.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点】利用全等测距离(推理能力、应用意识)
【典例】(教材再开发·P109T1拓展)如图,某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20 m有一棵树C,继续前行20 m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走;
④测得DE的长为6 m.
根据他们的做法,回答下列问题:
(1)河的宽度是多少米
(2)请你说明他们做法的正确性.
【自主解答】(1)由数学兴趣小组的做法可知,AB=ED,
故河宽为6 m.
(2)由题意知∠ABC=∠CDE=90°,BC=CD=20 m,
又因为∠ACB=∠ECD,
在△ABC和△EDC中,
所以△ABC≌△EDC(ASA),
所以AB=ED.
即他们的做法是正确的.
【举一反三】
如图,小明和小华两家位于A,B两处,隔河相望.要测得两家之间的距离AB,两人分别设计了不同的方案:
小明设计的方案:如图,从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取CD=BC,过点D作DE∥AB,取点E使E,C,A在同一条直线上,则DE的长就是A,B两点间的距离;
小华设计的方案:如图,在B点同侧选择一点C,测得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M处立了标杆,使∠MBC=75°,∠MCB=35°,此时测得MB的长就是A,B两点间的距离.请你分别说明两人设计方案的道理.
【解析】小明设计的方案:因为DE∥AB,所以∠A=∠E,
在△ABC和△EDC中,
,
所以△ABC≌△EDC(AAS),
所以DE=AB.
即DE的长就是A,B两点之间的距离.
小华设计的方案:在△ABC和△MBC中,
,
所以△ABC≌△MBC(ASA),
所以AB=MB.
即MB的长就是A,B两点之间的距离.
素养当堂测评　　(10分钟·16分) 全解全析P247
1. (4分·推理能力、应用意识)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过程中,总有△ADM≌△AEM,其判定依据是(C)
A.ASA　 B.AAS　 C.SSS　D.SSA
2.(4分·推理能力、应用意识)小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若点B距离地面的高度为1.5 m,点B到OA的距离BD为1.7 m,点C距离地面的高度是1.6 m,∠BOC=90°,则点C到OA的距离CE为(D)
A.1 m B.1.6 m C.1.4 m D.1.8 m
3.(8分·推理能力、应用意识)某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD(∠ABD=90°,BD=BA),点B在CE上,点A和D分别与木墙的顶端重合.
(1)试说明:△ACB≌△BED;
(2)求两堵木墙之间的距离.
【解析】(1)由题意得AB=BD,∠ABD=90°,AC⊥CE,DE⊥CE,
所以∠BED=∠ACB=90°,
所以∠BDE+∠DBE=90°,∠DBE+∠ABC=90°,
所以∠BDE=∠ABC,
在△ACB和△BED中,
,
所以△ACB≌△BED(AAS);
(2)由题意得AC=5×3=15(cm),DE=7×5=35(cm),
因为△ACB≌△BED,
所以DE=BC=35 cm,BE=AC=15 cm,
所以CE=BC+BE=50(cm),
答:两堵木墙之间的距离为50 cm.
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课时学习目标 素养目标达成
能利用三角形的全等解决实际问题,体会数学与实际生活的联系 推理能力、应用意识
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
应用全等测距离是利用了“全等三角形的 ”的性质. 如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,这时小明离地面的高度是 cm.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点】利用全等测距离(推理能力、应用意识)
【典例】(教材再开发·P109T1拓展)如图,某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的:
①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A;
②沿河岸直走20 m有一棵树C,继续前行20 m到达D处;
③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走;
④测得DE的长为6 m.
根据他们的做法,回答下列问题:
(1)河的宽度是多少米
(2)请你说明他们做法的正确性.
【举一反三】
如图,小明和小华两家位于A,B两处,隔河相望.要测得两家之间的距离AB,两人分别设计了不同的方案:
小明设计的方案:如图,从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取CD=BC,过点D作DE∥AB,取点E使E,C,A在同一条直线上,则DE的长就是A,B两点间的距离;
小华设计的方案:如图,在B点同侧选择一点C,测得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M处立了标杆,使∠MBC=75°,∠MCB=35°,此时测得MB的长就是A,B两点间的距离.请你分别说明两人设计方案的道理.
素养当堂测评　　(10分钟·16分) 全解全析P247
1. (4分·推理能力、应用意识)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图,伞骨AB=AC,点D,E分别是AB,AC的中点,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过程中,总有△ADM≌△AEM,其判定依据是( )
A.ASA　 B.AAS　 C.SSS　D.SSA
2.(4分·推理能力、应用意识)小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若点B距离地面的高度为1.5 m,点B到OA的距离BD为1.7 m,点C距离地面的高度是1.6 m,∠BOC=90°,则点C到OA的距离CE为( )
A.1 m B.1.6 m C.1.4 m D.1.8 m
3.(8分·推理能力、应用意识)某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD(∠ABD=90°,BD=BA),点B在CE上,点A和D分别与木墙的顶端重合.
(1)试说明:△ACB≌△BED;
(2)求两堵木墙之间的距离.

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