资源简介

2　简单的轴对称图形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质 推理能力、几何直观
2.经历探索简单图形的轴对称性的过程,进一步理解轴对称的性质积累数学活动经验 空间观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.如图,AD是等腰△ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(B) A.10 B.5 C.4 D.3 2.两边长为4和8的等腰三角形的周长为(B) A.16　 　　　 B.20　 C.16或20　 　 D.16或18 3.在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A的大小为　80°　. 4.如图,BD,CE是等边△ABC的中线,则∠EFD=　120°　.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1等腰三角形的性质
【典例1】 (教材再开发·P128随堂练习T2拓展)如图,D是△ABC中BC边上的一点,AB=AC=BD,若∠2=24°,则∠1的度数为　68°　.
【举一反三】
1.苏州素有“园林之城”美誉,以拙政园、留园为代表的苏州园林被誉为“咫尺之内再造乾坤”,是中华园林文化的翘楚和骄傲.如图,某园林中一亭子的顶端可看作等腰△ABC,其中AB=AC,若D是BC边上的一点,则下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是(C)
A.∠ADB=∠ADC
B.BD=CD
C.AD=BC
D.以上都不能
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是(A)
A.40° B.45° C.50° D.70°
【技法点拨】
“三线合一”性质的应用
1.等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又便捷的方法;
2.“三线合一”的性质是等腰三角形特有的性质,它实际上是一组定理,应用过程中,在等腰三角形的前提下,“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”就可以说明是其他“两线”.
重点2等边三角形的性质
【典例2】(教材再开发·P128“思考·交流”强化)如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且BD=2BE,DE⊥BC于点E.若AB=1,求DB的长.
【自主解答】因为∠DEB=90°,
所以∠BDE=90°-60°=30°,
所以∠ADF=180°-30°-60°=90°,
同理∠EFC=90°,
又因为∠A=∠B=∠C,DE=DF=EF,
所以△BED≌△ADF≌△CFE,
所以AD=BE,
因为BD=2BE,
所以AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1,
所以BD=.
【举一反三】
1.(2024·清远一模)如图,a∥b,等边△ABC的顶点B在直线b上,∠1=20°,则∠2的度数为(C)
A.60° B.45° C.40° D.30°
2.如图,在等边△ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,则∠POQ的度数为　120°　.
【技法点拨】
等边三角形性质的应用
1.已知等边三角形一边,可知另两边及周长.
2.已知等边三角形,可知每个内角是60°.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(5分·几何直观、推理能力)已知等腰三角形的两边长是4和9,则等腰三角形的周长为　22　.
2.(10分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,已知DE∥BC且DB=DE.
(1)求证:BE是△ABC的角平分线;
(2)若∠A=65°,∠C=45°,求∠AEB的度数.
【解析】(1)因为DE∥BC,
所以∠DEB=∠CBE,
因为DB=DE,
所以∠DBE=∠DEB,
所以∠CBE=∠DBE,
所以BE是△ABC的角平分线;
(2)因为∠A=65°,∠C=45°,
所以∠ABC=70°,
因为BE是△ABC的角平分线,
所以∠ABE=35°,
所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=80°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 三十”2　简单的轴对称图形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并了解线段的轴对称性及其相关性质 推理能力、几何直观
2.经历探索简单图形的轴对称性的过程,进一步理解轴对称的性质 空间观念
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.如图,已知AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是( ) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.∠ABC=∠ADC D.∠BAD=∠BCD 2.三角形三条边垂直平分线的交点到三角形的 距离都相等.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1线段垂直平分线的性质
【典例1】(教材再开发·P129“尝试·思考”拓展)如图所示,在△ABC中,∠BAC=105°,EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,点E,N在BC上,则∠EAN= .
【举一反三】
(2024·梅州期中)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=15 cm,△BCD的周长等于25 cm.
(1)求BC的长;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC,求证:BC=BD.
重点2用尺规作线段的垂直平分线
【典例2】(2024·盐城期末)如图,已知在△ABC中,AB=4,AC=7.
(1)用尺规作BC边的垂直平分线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若BC边的垂直平分线交AC于D,交BC于E;
①连接BD,求△ABD的周长;
②若∠ADB=52°,求∠DBC的度数.
【举一反三】
如图,△ABC中,AB=AC.
尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
作AB边的垂直平分线,垂足为点D.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,直线MN交AC于点D,连接BD,若AC=55,AD=15,则BD的长为( )
A.15 B.40 C.55 D.70
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=38°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以D,B为圆心,大于DB长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则∠BCF的度数为( )
A.38° B.39° C.40° D.52°
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠B=30°,分别以点B,C为圆心,以大于BC长为半径画弧,交于点M,N,连接MN交AB于点D,连接CD,则∠ADC的度数为( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,已知△ABC.
(1)实践与操作:利用尺规作边AC的垂直平分线,交边BC于点D(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)应用与计算:连接AD,若∠B=50°,∠C=30°,求∠BAD的度数.2　简单的轴对称图形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解角是轴对称图形,掌握角平分线的性质,能应用角平分线的性质解决简单的问题 几何直观、推理能力
2.能借助尺规作出一个角的平分线 几何直观、空间观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足是E.若AC=5,DE=2,则AD的长为( ) A.4 　　B.3　　C.2　　D.1
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1角平分线
【典例1】(教材再开发·P126想一想强化)已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.试说明:PM=PN.
【举一反三】
如图,MC是∠AMB的平分线,P为MC上任意一点,PD⊥MA,垂足为点D,且PD=3,则点P到射线MB的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.不能确定
【技法点拨】
应用角平分线的性质的两点注意
1.应用角平分线的性质时,角平分线、角平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可,不能错用为角平分线上的点到角两边任意点的距离相等;
2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得到线段相等,这是证明线段相等的一个简便方法.
重点2用尺规作角的平分线
【典例2】(2024·防城港二模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=76°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
【举一反三】
1.观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是( )
A.OA=OB
B.PA=PB
C.E是OP的中点
D.点P在点O的北偏东25°方向上
2.(2023·福建中考)阅读以下作图步骤:
①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;
②分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点M;
③作射线OM,连接CM,DM,如图所示.
根据以上作图,一定可以推得的结论是( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
3.(2024·西安质检)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
在△ABC的AB边上找一点D,使点D到AC边和BC边的距离相等.
【技法点拨】
用尺规作角平分线的“三弧”“三交点”
1.三弧:作角的平分线共作三条弧,以角的顶点为圆心作一条弧,再以两个交点为圆心作两条弧.
2.三交点:作交点平分线要作三个交点,与角的两边有2个交点,以两交点为圆心作的两条弧有1个交点.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,那么作法的合理顺序是( )
①作射线OC.
②在射线OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
③分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径在∠AOB内作弧,两弧交于点C.
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,点D是OB上的动点,若PC=5 cm,则PD的长可以是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是( )
A.∠MAF=∠NAF B.EF=DF
C.∠DAF=∠DFA D.AF⊥DE
4.(8分·几何直观、推理能力)电信部门要修建一座电视信号发射塔,如图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路OM,ON的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置 2　简单的轴对称图形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解角是轴对称图形,掌握角平分线的性质,能应用角平分线的性质解决简单的问题 几何直观、推理能力
2.能借助尺规作出一个角的平分线 几何直观、空间观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,垂足是E.若AC=5,DE=2,则AD的长为(B) A.4 　　B.3　　C.2　　D.1
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1角平分线
【典例1】(教材再开发·P126想一想强化)已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.试说明:PM=PN.
【自主解答】因为BD为∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,,
所以△ABD≌△CBD(SAS),
所以∠ADB=∠CDB,
因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
【举一反三】
如图,MC是∠AMB的平分线,P为MC上任意一点,PD⊥MA,垂足为点D,且PD=3,则点P到射线MB的距离是(C)
A.1 B.2 C.3 D.不能确定
【技法点拨】
应用角平分线的性质的两点注意
1.应用角平分线的性质时,角平分线、角平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可,不能错用为角平分线上的点到角两边任意点的距离相等;
2.由角平分线的性质不用证全等可以直接得到线段相等,这是证明线段相等的一个简便方法.
重点2用尺规作角的平分线
【典例2】(2024·防城港二模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=76°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
【自主解答】(1)如图所示,BD即为所求;
(2)∵AB=AC,∠ABC=76°,∴∠C=76°,
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠DBC=×76°=38°,
∴∠BDC=180°-76°-38°=66°.
【举一反三】
1.观察图中尺规作图痕迹,下列结论错误的是(C)
A.OA=OB
B.PA=PB
C.E是OP的中点
D.点P在点O的北偏东25°方向上
2.(2023·福建中考)阅读以下作图步骤:
①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;
②分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点M;
③作射线OM,连接CM,DM,如图所示.
根据以上作图,一定可以推得的结论是(A)
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
3.(2024·西安质检)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
在△ABC的AB边上找一点D,使点D到AC边和BC边的距离相等.
【解析】如图,作∠ACB的平分线CD交AB于D,点D即为所求.
【技法点拨】
用尺规作角平分线的“三弧”“三交点”
1.三弧:作角的平分线共作三条弧,以角的顶点为圆心作一条弧,再以两个交点为圆心作两条弧.
2.三交点:作交点平分线要作三个交点,与角的两边有2个交点,以两交点为圆心作的两条弧有1个交点.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,那么作法的合理顺序是(C)
①作射线OC.
②在射线OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
③分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径在∠AOB内作弧,两弧交于点C.
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,点D是OB上的动点,若PC=5 cm,则PD的长可以是(D)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是(C)
A.∠MAF=∠NAF B.EF=DF
C.∠DAF=∠DFA D.AF⊥DE
4.(8分·几何直观、推理能力)电信部门要修建一座电视信号发射塔,如图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路OM,ON的距离也必须相等,发射塔P应修建在什么位置
【解析】如图,作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON的平分线,交点P1,P2即为所求发射塔应修建的位置.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 三十二”2　简单的轴对称图形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并了解等腰三角形的轴对称性及其相关性质 推理能力、几何直观
2.经历探索简单图形的轴对称性的过程,进一步理解轴对称的性质积累数学活动经验 空间观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.如图,AD是等腰△ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 2.两边长为4和8的等腰三角形的周长为( ) A.16　 　　　 B.20　 C.16或20　 　 D.16或18 3.在等腰△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A的大小为 . 4.如图,BD,CE是等边△ABC的中线,则∠EFD= .
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
重点1等腰三角形的性质
【典例1】 (教材再开发·P128随堂练习T2拓展)如图,D是△ABC中BC边上的一点,AB=AC=BD,若∠2=24°,则∠1的度数为 .
【举一反三】
1.苏州素有“园林之城”美誉,以拙政园、留园为代表的苏州园林被誉为“咫尺之内再造乾坤”,是中华园林文化的翘楚和骄傲.如图,某园林中一亭子的顶端可看作等腰△ABC,其中AB=AC,若D是BC边上的一点,则下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是( )
A.∠ADB=∠ADC
B.BD=CD
C.AD=BC
D.以上都不能
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.70°
【技法点拨】
“三线合一”性质的应用
1.等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又便捷的方法;
2.“三线合一”的性质是等腰三角形特有的性质,它实际上是一组定理,应用过程中,在等腰三角形的前提下,“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只要知道其中“一线”就可以说明是其他“两线”.
重点2等边三角形的性质
【典例2】(教材再开发·P128“思考·交流”强化)如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且BD=2BE,DE⊥BC于点E.若AB=1,求DB的长.
【举一反三】
1.(2024·清远一模)如图,a∥b,等边△ABC的顶点B在直线b上,∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.60° B.45° C.40° D.30°
2.如图,在等边△ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,则∠POQ的度数为 .
【技法点拨】
等边三角形性质的应用
1.已知等边三角形一边,可知另两边及周长.
2.已知等边三角形,可知每个内角是60°.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(5分·几何直观、推理能力)已知等腰三角形的两边长是4和9,则等腰三角形的周长为 .
2.(10分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,已知DE∥BC且DB=DE.
(1)求证:BE是△ABC的角平分线;
(2)若∠A=65°,∠C=45°,求∠AEB的度数.2　简单的轴对称图形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并了解线段的轴对称性及其相关性质 推理能力、几何直观
2.经历探索简单图形的轴对称性的过程,进一步理解轴对称的性质 空间观念
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.如图,已知AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(D) A.AB=AD B.CA平分∠BCD C.∠ABC=∠ADC D.∠BAD=∠BCD 2.三角形三条边垂直平分线的交点到三角形的　三个顶点　距离都相等.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1线段垂直平分线的性质
【典例1】(教材再开发·P129“尝试·思考”拓展)如图所示,在△ABC中,∠BAC=105°,EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,点E,N在BC上,则∠EAN=　30°　.
【举一反三】
(2024·梅州期中)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=15 cm,△BCD的周长等于25 cm.
(1)求BC的长;
(2)若∠A=36°,并且AB=AC,求证:BC=BD.
【解析】(1)因为MN是AB的垂直平分线,
所以AD=BD,
因为AC=15 cm,△BCD的周长等于25 cm,
所以BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25 cm,所以BC=10 cm.
(2)因为∠A=36°,AB=AC,
所以∠ABC=∠C==72°,
因为BD=AD,所以∠ABD=∠A=36°,
所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°,
所以∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,
所以∠C=∠BDC,
所以BC=BD.
重点2用尺规作线段的垂直平分线
【典例2】(2024·盐城期末)如图,已知在△ABC中,AB=4,AC=7.
(1)用尺规作BC边的垂直平分线;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若BC边的垂直平分线交AC于D,交BC于E;
①连接BD,求△ABD的周长;
②若∠ADB=52°,求∠DBC的度数.
【自主解答】(1)如图,直线DE即为所求;
(2)①∵DE是BC边的垂直平分线,
∴BD=DC,∵AB=4,AC=7,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+7=11;
②∵BD=CD,∴∠DBC=∠C,
∴∠ADB=∠DBC+∠C=52°,
∴∠DBC=26°.
【举一反三】
如图,△ABC中,AB=AC.
尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):
作AB边的垂直平分线,垂足为点D.
【解析】所作图形如图所示:
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,直线MN交AC于点D,连接BD,若AC=55,AD=15,则BD的长为(B)
A.15 B.40 C.55 D.70
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=38°,以点C为圆心,CB长为半径作弧交AB于点D,分别以D,B为圆心,大于DB长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则∠BCF的度数为(A)
A.38° B.39° C.40° D.52°
3.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠B=30°,分别以点B,C为圆心,以大于BC长为半径画弧,交于点M,N,连接MN交AB于点D,连接CD,则∠ADC的度数为(D)
A.30° B.45° C.50° D.60°
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,已知△ABC.
(1)实践与操作:利用尺规作边AC的垂直平分线,交边BC于点D(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)应用与计算:连接AD,若∠B=50°,∠C=30°,求∠BAD的度数.
【解析】(1)如图,EF即为所求;
(2)∵点D为边AC的垂直平分线与BC的交点,
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=30°,
∴∠ADC=180°-∠C-∠DAC=120°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 三十一”

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