资源简介

3　乘法公式
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解完全平方公式的推导过程,了解完全平方公式的几何背景 几何直观、抽象能力
2.理解完全平方公式的本质,并会运用完全平方公式进行简单的计算 运算能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.计算:(2x-1)2等于( ) A.4x2+1 B.4x2-2x+1 C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+1 2.若(x-2)2=x2+mx+n,则m,n的值分别 是( ) A.4,4 B.-4,4 C.-4,-4 D.4,-4 3.运用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2.　　(2)(-a+b)2.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
重点1完全平方公式的几何背景(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P20“思考·交流”强化)如图,分别以长方形ABCD的BC,CD为边向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延长EF,HG交于点I.若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,则正方形AEIH的周长为 .
【举一反三】
如图1是一个长为2 m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1: .
方法2: .
(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗 代数式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
①若a+b=7,ab=5,则(a-b)2= .
②已知:a-=1,求a+的值.
【技法点拨】
　完全平方公式的几何背景
实质是用代数式分别表示出阴影部分的面积,利用面积不变这一特点列出等式.它的几何背景是继数轴和平方差公式之后又一数形结合的实例.
重点2完全平方公式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P21例5补充)运用完全平方公式计算:
(1) (x2-y)2.
(2)(-xy+5)2.
(3)(-x-y)2.
【举一反三】
1.(2024·太原期中)利用公式计算(-x-2y)2的结果为( )
A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2
C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2
2.计算: (y-)2= .
【技法点拨】
完全平方公式的三点注意
1.公式中的字母a,b可以是数、单项式或多项式.
2.公式的结果有三项,不要漏项和写错符号.
3.中间项是等号左边两项乘积的2倍.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(3分·运算能力)下列运算正确的是( )
A.2a2+a2=3a4
B.a6÷a3=a2
C.(-2a)3=-8a3
D.(2a-1)2=4a2-1
2.(3分·运算能力)计算(3x-1)2的结果是( )
A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1
C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1
3.(3分·运算能力)计算:(-x-3y)2= .
4.(6分·运算能力)计算:(1)(3a-2b)2;(2)(-x2-y)2.3　乘法公式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解平方差公式的几何背景 几何直观、推理能力
2.建立平方差公式模型,归纳出利用平方差公式解决数学简便运算问题的方法 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
用简便方法计算98×102,变形正确的是(C) A.98×102=1002+22 B.98×102=(100-2)2 C.98×102=1002-22 D.98×102=(100+2)2
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1平方差公式的几何背景及应用(几何直观、抽象能力)
【典例1】如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分剪拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是(A)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2+ab=a(a+b)
【举一反三】
1.(2024·广安期末)如图,点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上,点E,F在CD上,若正方形ABCD的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形EFGH的面积等于(A)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是　(a+b)(a-b)=a2-b2　.
【技法点拨】
平方差公式的几何背景
实质是将阴影部分拼成一个规则图形,然后利用阴影部分面积相等的关系列出等式.
重点2 应用平方差公式进行计算(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P19例3拓展)
简便计算:
(1)2 021×2 023-2 0222;
(2)59×60;
(3)100.5×99.5.
【自主解答】(1)原式=(2 022-1)(2 022+1)-2 0222=(2 0222-12)-2 0222=-1;
(2)原式=(60-)×(60+)=602-()2=3 600-=3 599;
(3)原式=(100+0.5)×(100-0.5)=1002-0.52=10 000-0.25=9 999.75.
【举一反三】
1.(2024·邯郸三模)将2 024×2 026变形正确的是(A)
A.2 0252-1
B.2 0252+1
C.2 0252+2×2 025+1
D.2 0252-2×2 025+1
2.(2024·重庆期末)计算:2 022×2 026-2 0242=　-4　.
3.简便运算:
(1)1 007×993;
(2)1 1862-1 185×1 187;
(3)40×39.
【解析】(1)原式=(1 000+7)(1 000-7)=1 0002-72=1 000 000-49=999 951;
(2)原式=1 1862-(1 186-1)×(1 186+1)=1 1862-1 1862+1=1;
(3)原式=(40+)×(40-)=402-=1 600-=1 599.
【技法点拨】
利用平方差公式计算数的一般步骤
1.确定第一个数:计算两个数的和并除以2.
2.确定第二个数:较大的因数减去第一个数就是第二个数.
3.写成平方差公式形式,计算.
重点3 应用平方差公式化简(运算能力、应用意识)
【典例3】(教材再开发·P19例4强化)计算:
(1)(a+5)(a-5)-3a(a-1).
(2)(-2+y)(y+2)-(y-1)(y+5).
(3)x(x+1)-5x(x-1)+(2x-3)(2x+3).
【自主解答】(1)原式=a2-25-3a2+3a=-2a2+3a-25.
(2)原式=y2-4-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-5y+y+5=-4y+1.
(3)原式=x2+x-5x2+5x+4x2-9=6x-9.
【举一反三】
1.(2024·洛阳一模)化简:(2x+5)(2x-5)+2(x-1)=　4x2+2x-27　.
2.化简:(1)(3-x)(3+x)+x(x-2).
(2)x(x-2y)-(x+y)(x-y).
【解析】(1)原式=9-x2+x2-2x=9-2x.
(2)原式=x2-2xy-x2+y2=y2-2xy.
【技法点拨】
利用平方差公式进行整式运算的四步骤
1.观察能否用平方差公式计算;
2.分别计算各部分的数式;
3.合并同类项;
4.代入数值得结果.
特别提醒
1.计算时要注意运算顺序.
2.计算时要注意符号.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)2 0232-2 022×2 024的计算结果是(A)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.(3分·推理能力)若x2-y2=6,x-y=2,则x+y的值为(A)
A.3 B.-3 C.4 D.-4
3.(4分·运算能力、应用意识)计算:5002-498×502=　4　.
4.(4分·运算能力、应用意识)简便运算:.
【解析】原式====.
5.(6分·运算能力)计算:3(2x-1)-(-3x-4)(3x-4).
【解析】原式=6x-3-(16-9x2)=6x-3-16+9x2=9x2+6x-19.3　乘法公式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.在推导平方差公式数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用 抽象能力、推理能力、模型观念
2.能运用平方差公式进行简单的计算 运算能力、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.计算(a-3b)(a+3b)的正确结果是(B) A.a2+9b2 B.a2-9b2 C.a2+6ab+9b2 D.4a2-6ab+9b2 2.计算(a-2)(a+2)的结果等于　a2-4　.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点 应用平方差公式进行计算(运算能力、模型观念)
【典例】(教材再开发·P18例2补充)计算:
(1)(3m-n)(-n-3m);
(2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y).
【自主解答】(1)原式=(-n+3m)(-n-3m)=(-n)2-(3m)2=n2-9m2.
(2)原式=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=81x4-y4.
【举一反三】
1.(2024·天津期末)下列各式能用平方差公式计算的是(A)
A.(-a+b)(-a-b) B.(a+b)(a-2b)
C.(-a+b)(a-b) D.(-a-b)(a+b)
2.计算:(2+3x)(-2+3x)=　9x2-4　.
3.计算:
(1)(0.1x+0.3y)(0.1x-0.3y);
(2)(2-3x)(-2-3x);
(3) (a+3)(a-3)(a2+9).
【解析】(1)原式=(0.1x)2-(0.3y)2=0.01x2-0.09y2;
(2)原式=-(2-3x)(2+3x)=-[22-(3x)2]=-4+9x2;
(3)原式=(a2-9)(a2+9)=a4-81.
【技法点拨】
运用平方差公式计算的三个步骤
1.找出一同一反:一相同项,一对互为相反数的项;
2.套用公式,相同项为a,互为相反数的项为b;
3.计算两项的平方差.
特别提醒
相同项前的符号可以为“-”.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列能使用平方差公式的是(D)
A.(x+3)(3+x)
B.(-x+y)(x-y)
C.(5m+n)(-5m-n)
D.(3m+n)(3m-n)
2.(3分·运算能力、推理能力)计算下列各式,其结果是4y2-1的是(A)
A.(-2y-1)(-2y+1)
B.(2y-1)2
C.(4y-1)2
D.(2y+1)(-2y+1)
3.(4分·运算能力、模型观念)已知(3x+2)(ax+b)=9x2-4,则a+b的值是(C)
A.-5 B.-1 C.1 D.5
4.(4分·运算能力)计算(2m+1)(2m-1)-4m2的结果等于　-1　.
5.(6分·运算能力、应用意识)计算:
(1) (x+y)(x-y)(x2+y2).
(2)2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b).
【解析】(1)原式=[(x)2-y2](x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=(x2)2-(y2)2=x4-y4.
(2)原式=2(2a2+ab-4ab-2b2)-(4a2-b2)=4a2+2ab-8ab-4b2-4a2+b2=-6ab-3b2.3　乘法公式
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算 运算能力、应用意识
2.能够运用完全平方公式解决简单的实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.下列关于962的计算方法正确的是(B) A.962=(100-4)2=1002-42=9 984 B.962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9 216 C.962=(90+6)2=902+62=8 136 D.962=(95-1)(95+1)=952-1=9 024 2.计算:(1)(x-3y)2-x(x+6y); (2)(x+1)(x-4)-(x-1)2. 【解析】(1)原式=x2-6xy+9y2-x2-6xy=9y2-12xy; (2)原式=x2-4x+x-4-(x2-2x+1)=x2-4x+x-4-x2+2x-1=-x-5.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1应用完全平方公式进行简便计算(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P25习题T8补充)运用完全平方公式计算:
(1)10.22.
(2)1 9992+2 0012.
【自主解答】(1)原式=(10+0.2)2=102+2×10×0.2+0.22=100+4+0.04=104.04.
(2)1 9992+2 0012=(2 000-1)2+(2 000+1)2=2 0002-2×2 000+1+2 0002+2×
2 000+1=2×2 0002+2=8 000 002.
【举一反三】
1.将9.52变形正确的是(C)
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
2.计算:(1)972;
(2)2002-400×199+1992;
(3)9992+1 999.
【解析】(1)原式=(100-3)2=10 000+9-2×3×100=9 409;
(2)原式=2002-2×200×199+1992=(200-199)2=1;
(3)原式=(1 000-1)2+2×1 000-1=1 0002-2 000+1+2 000-1=1 0002=106.
【技法点拨】
利用完全平方公式计算较大数的平方的三步法
特别提醒
计算时注意大数的位数.
重点2 应用完全平方公式进行整式运算(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P23例6强化)计算:
(1)4(x+1)2-(2x+5)(2x-5);
(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2;
(3) (a+)2-(a-2)(a+1);
(4)(x+y-z)(x+y+z).
【自主解答】(1)原式=4(x2+2x+1)-(4x2-25)=4x2+8x+4-4x2+25=8x+29;
(2)原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4=x2-5;
(3)原式=a2+a+-(a2-a-2)=a2+a+-a2+a+2=2a+;
(4)原式=(x+y)2-z2=x2+2xy+y2-z2.
【举一反三】
1.计算:(5x+3y)2-(2x+y)(x-4y)=　23x2+37xy+13y2　.
2.(2024·泸州期末)已知mn=2,则(m+n)2-(m-n)2的值是　8　.
3.计算:(1)(2024·北京期末)(x-2y)2-(x-y)(x-2y)-2y2.
(2)(2024·上海期中)(a-2b+3c)(a+2b-3c).
【解析】(1)(x-2y)2-(x-y)(x-2y)-2y2=x2+4y2-4xy-(x2-2xy-xy+2y2)-2y2
=x2+4y2-4xy-x2+3xy-2y2-2y2=-xy.
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][(a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2.
【技法点拨】
在乘法公式中添括号的两个技巧
1.当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个化为“和”的形式,一个化为“差”的形式,可利用平方差公式.
2.一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用完全平方公式.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)已知ab=6,a-b=-1,则a2+b2的值为(D)
A.39 B.23 C.18 D.13
2.(3分·运算能力、模型观念)1012-198×101+992=　4　.
3.(4分·运算能力)计算:(x-y)2-(x2+y2)=　-2xy　.
4.(4分·运算能力)计算:(a-2b)2-(2a-b)(2a+b).
【解析】(a-2b)2-(2a-b)(2a+b)=a2-4ab+4b2-(4a2-b2)=a2-4ab+4b2-4a2+b2
=-3a2-4ab+5b2.
5.(6分·运算能力)利用乘法公式计算:
(1)3982;
(2)(a+b-3)(a-b+3).
【解析】(1)原式=(400-2)2=4002-2×400×2+22=160 000-1 600+4=158 404;
(2)原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]=a2-b2+6b-9.3　乘法公式
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.了解平方差公式的几何背景 几何直观、推理能力
2.建立平方差公式模型,归纳出利用平方差公式解决数学简便运算问题的方法 运算能力、应用意识、模型观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
用简便方法计算98×102,变形正确的是( ) A.98×102=1002+22 B.98×102=(100-2)2 C.98×102=1002-22 D.98×102=(100+2)2
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1平方差公式的几何背景及应用(几何直观、抽象能力)
【典例1】如图,从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,然后将剩余部分剪拼成一个长方形,上述操作能验证的等式是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.a2+ab=a(a+b)
【举一反三】
1.(2024·广安期末)如图,点D,C,H,G分别在长方形ABJI的边上,点E,F在CD上,若正方形ABCD的面积等于15,图中阴影部分的面积总和为6,则正方形EFGH的面积等于( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是 .
【技法点拨】
平方差公式的几何背景
实质是将阴影部分拼成一个规则图形,然后利用阴影部分面积相等的关系列出等式.
重点2 应用平方差公式进行计算(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P19例3拓展)
简便计算:
(1)2 021×2 023-2 0222;
(2)59×60;
(3)100.5×99.5.
【举一反三】
1.(2024·邯郸三模)将2 024×2 026变形正确的是( )
A.2 0252-1
B.2 0252+1
C.2 0252+2×2 025+1
D.2 0252-2×2 025+1
2.(2024·重庆期末)计算:2 022×2 026-2 0242= .
3.简便运算:
(1)1 007×993;
(2)1 1862-1 185×1 187;
(3)40×39.
【技法点拨】
利用平方差公式计算数的一般步骤
1.确定第一个数:计算两个数的和并除以2.
2.确定第二个数:较大的因数减去第一个数就是第二个数.
3.写成平方差公式形式,计算.
重点3 应用平方差公式化简(运算能力、应用意识)
【典例3】(教材再开发·P19例4强化)计算:
(1)(a+5)(a-5)-3a(a-1).
(2)(-2+y)(y+2)-(y-1)(y+5).
(3)x(x+1)-5x(x-1)+(2x-3)(2x+3).
【举一反三】
1.(2024·洛阳一模)化简:(2x+5)(2x-5)+2(x-1)= .
2.化简:(1)(3-x)(3+x)+x(x-2).
(2)x(x-2y)-(x+y)(x-y).
【技法点拨】
利用平方差公式进行整式运算的四步骤
1.观察能否用平方差公式计算;
2.分别计算各部分的数式;
3.合并同类项;
4.代入数值得结果.
特别提醒
1.计算时要注意运算顺序.
2.计算时要注意符号.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)2 0232-2 022×2 024的计算结果是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.(3分·推理能力)若x2-y2=6,x-y=2,则x+y的值为( )
A.3 B.-3 C.4 D.-4
3.(4分·运算能力、应用意识)计算:5002-498×502= .
4.(4分·运算能力、应用意识)简便运算:.
5.(6分·运算能力)计算:3(2x-1)-(-3x-4)(3x-4).3　乘法公式
第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.熟记完全平方公式,并能说出公式的结构特征,能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算 运算能力、应用意识
2.能够运用完全平方公式解决简单的实际问题 运算能力、模型观念、应用意识
基础主干落实　　起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.下列关于962的计算方法正确的是( ) A.962=(100-4)2=1002-42=9 984 B.962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9 216 C.962=(90+6)2=902+62=8 136 D.962=(95-1)(95+1)=952-1=9 024 2.计算:(1)(x-3y)2-x(x+6y); (2)(x+1)(x-4)-(x-1)2.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
重点1应用完全平方公式进行简便计算(运算能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P25习题T8补充)运用完全平方公式计算:
(1)10.22.
(2)1 9992+2 0012.
【举一反三】
1.将9.52变形正确的是( )
A.9.52=92+0.52
B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
2.计算:(1)972;
(2)2002-400×199+1992;
(3)9992+1 999.
【技法点拨】
利用完全平方公式计算较大数的平方的三步法
特别提醒
计算时注意大数的位数.
重点2 应用完全平方公式进行整式运算(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P23例6强化)计算:
(1)4(x+1)2-(2x+5)(2x-5);
(2)(2x+3)(2x-3)-4x(x-1)+(x-2)2;
(3) (a+)2-(a-2)(a+1);
(4)(x+y-z)(x+y+z).
【举一反三】
1.计算:(5x+3y)2-(2x+y)(x-4y)= .
2.(2024·泸州期末)已知mn=2,则(m+n)2-(m-n)2的值是 .
3.计算:(1)(2024·北京期末)(x-2y)2-(x-y)(x-2y)-2y2.
(2)(2024·上海期中)(a-2b+3c)(a+2b-3c).
【技法点拨】
在乘法公式中添括号的两个技巧
1.当两个三项式相乘,且它们只含相同项与相反项时,通过添括号把相同项、相反项分别结合,一个化为“和”的形式,一个化为“差”的形式,可利用平方差公式.
2.一个三项式的平方,通过添括号把其中两项看成一个整体,可利用完全平方公式.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)已知ab=6,a-b=-1,则a2+b2的值为( )
A.39 B.23 C.18 D.13
2.(3分·运算能力、模型观念)1012-198×101+992= .
3.(4分·运算能力)计算:(x-y)2-(x2+y2)= .
4.(4分·运算能力)计算:(a-2b)2-(2a-b)(2a+b).
5.(6分·运算能力)利用乘法公式计算:
(1)3982;
(2)(a+b-3)(a-b+3).3　乘法公式
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解完全平方公式的推导过程,了解完全平方公式的几何背景 几何直观、抽象能力
2.理解完全平方公式的本质,并会运用完全平方公式进行简单的计算 运算能力
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.计算:(2x-1)2等于(D) A.4x2+1 B.4x2-2x+1 C.4x2-4x-1 D.4x2-4x+1 2.若(x-2)2=x2+mx+n,则m,n的值分别 是(B) A.4,4 B.-4,4 C.-4,-4 D.4,-4 3.运用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2.　　(2)(-a+b)2. 【解析】(1)(4m+n)2=16m2+8mn+n2. (2)(-a+b)2=a2-2ab+b2.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
重点1完全平方公式的几何背景(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P20“思考·交流”强化)如图,分别以长方形ABCD的BC,CD为边向外作正方形BEFC和正方形DCGH,延长EF,HG交于点I.若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13,长方形ABCD的面积为6,则正方形AEIH的周长为　20　.
【举一反三】
如图1是一个长为2 m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:　　　　　　　　　　.
方法2:　　　　　　　　　　.
(3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗 代数式:(m+n)2,(m-n)2,mn.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
①若a+b=7,ab=5,则(a-b)2=　　　　.
②已知:a-=1,求a+的值.
【解析】(1)题图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m-n).
(2)题图2中阴影部分面积:
方法1:(m-n)2.
方法2:(m+n)2-4mn.
答案:(m-n)2　(m+n)2-4mn
(3)由(2)得:(m-n)2=(m+n)2-4mn.
(4)①因为a+b=7,ab=5,
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=49-20=29.
答案:29
②因为a-=1,所以(a+)2=(a-)2+8=9.所以a+的值为±3.
【技法点拨】
　完全平方公式的几何背景
实质是用代数式分别表示出阴影部分的面积,利用面积不变这一特点列出等式.它的几何背景是继数轴和平方差公式之后又一数形结合的实例.
重点2完全平方公式的应用(运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P21例5补充)运用完全平方公式计算:
(1) (x2-y)2.
(2)(-xy+5)2.
(3)(-x-y)2.
【自主解答】(1)原式=(x2)2-2x2·y+(y)2=x4-x2y+y2.
(2)原式=(-xy)2+2(-xy)×5+52=x2y2-10xy+25.
(3)原式=(-x)2+2(-x)(-y)+(-y)2=x2+2xy+y2.
【举一反三】
1.(2024·太原期中)利用公式计算(-x-2y)2的结果为(D)
A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2
C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2
2.计算: (y-)2=　y2-y+　.
【技法点拨】
完全平方公式的三点注意
1.公式中的字母a,b可以是数、单项式或多项式.
2.公式的结果有三项,不要漏项和写错符号.
3.中间项是等号左边两项乘积的2倍.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(3分·运算能力)下列运算正确的是(C)
A.2a2+a2=3a4
B.a6÷a3=a2
C.(-2a)3=-8a3
D.(2a-1)2=4a2-1
2.(3分·运算能力)计算(3x-1)2的结果是(B)
A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1
C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1
3.(3分·运算能力)计算:(-x-3y)2=　x2+9y2+6xy　.
4.(6分·运算能力)计算:(1)(3a-2b)2;(2)(-x2-y)2.
【解析】(1)原式=(3a)2-2×3a×2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2;
(2)原式=x4+2x2y+y2.3　乘法公式
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.在推导平方差公式数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用 抽象能力、推理能力、模型观念
2.能运用平方差公式进行简单的计算 运算能力、推理能力
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.计算(a-3b)(a+3b)的正确结果是( ) A.a2+9b2 B.a2-9b2 C.a2+6ab+9b2 D.4a2-6ab+9b2 2.计算(a-2)(a+2)的结果等于 .
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点 应用平方差公式进行计算(运算能力、模型观念)
【典例】(教材再开发·P18例2补充)计算:
(1)(3m-n)(-n-3m);
(2)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y).
【举一反三】
1.(2024·天津期末)下列各式能用平方差公式计算的是( )
A.(-a+b)(-a-b) B.(a+b)(a-2b)
C.(-a+b)(a-b) D.(-a-b)(a+b)
2.计算:(2+3x)(-2+3x)= .
3.计算:
(1)(0.1x+0.3y)(0.1x-0.3y);
(2)(2-3x)(-2-3x);
(3) (a+3)(a-3)(a2+9).
【技法点拨】
运用平方差公式计算的三个步骤
1.找出一同一反:一相同项,一对互为相反数的项;
2.套用公式,相同项为a,互为相反数的项为b;
3.计算两项的平方差.
特别提醒
相同项前的符号可以为“-”.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列能使用平方差公式的是( )
A.(x+3)(3+x)
B.(-x+y)(x-y)
C.(5m+n)(-5m-n)
D.(3m+n)(3m-n)
2.(3分·运算能力、推理能力)计算下列各式,其结果是4y2-1的是( )
A.(-2y-1)(-2y+1)
B.(2y-1)2
C.(4y-1)2
D.(2y+1)(-2y+1)
3.(4分·运算能力、模型观念)已知(3x+2)(ax+b)=9x2-4,则a+b的值是( )
A.-5 B.-1 C.1 D.5
4.(4分·运算能力)计算(2m+1)(2m-1)-4m2的结果等于 .
5.(6分·运算能力、应用意识)计算:
(1) (x+y)(x-y)(x2+y2).
(2)2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b).

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