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十四　探索直线平行的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　内错角、同旁内角的识别
1.(2024·徐州期中)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,下列说法正确的是( )
A.∠3与∠4是同旁内角
B.∠2与∠5是同位角
C.∠6与∠1是内错角
D.∠2与∠6是同旁内角
2.阳江风筝是流传于广东省阳江市的传统手工技艺,已有1 400余年的历史.如图所示的风筝骨架中,下列选项中,与∠3构成同旁内角的是( )
A.∠1 B.∠2 C.∠4 D.∠5
3.如图,一共有 对同旁内角.
4.如图.
(1)当直线AC,DG被直线CD所截时,∠2的内错角是 .
(2)∠AEF的同位角是 .
(3)∠1的同旁内角是 .
知识点2　两直线平行的判断
5.(2024·南通质检)如图,固定木条b,c,使∠1=80°,旋转木条a,要使得a∥b,则∠2应调整为( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
6.(2024·恩施期中)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )
7.如图,若∠A+∠ABC=180°,则 ∥ .
知识点3　尺规作角
8.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是( )
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行
9.(2024·西安质检)尺规作图(不写作法,保留痕迹):
已知:线段a,b,∠α.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,AB=a,AC=b.
10.如图,点P在射线BA上,作∠BPD,且∠BPD=∠B,你能作几个符合条件的角 把它们都作出来.(不写作法,保留作图痕迹)
【B层 能力进阶】
11.(2024·昆明期中)如图,下列条件中,能判断AB∥CD的有( )
①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5;⑤∠D=∠5.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.如图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角.其中正确的是 .(填序号)
13.如图,请你添加一个条件,使AB∥CD,这个条件是 .
14.如图,线段EF∥AB交BC于D.
(1)尺规作图:以点F为顶点,射线FE为一边,在FE的右侧作∠EFG,使∠EFG=∠B.(要求:不写作法,但保留作图痕迹并写出结论)
解:因为EF∥AB,(已知)
所以∠EDC= ,(理由: )
因为∠EFG=∠B,(已知)
所以∠EDC=∠EFG,(理由: )
所以FG∥ .(理由: )
15.(2024·福州期末)如图,点O在直线AB上,OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,F是DE上一点,连接OF.
(1)试说明:OC⊥OD;
(2)若∠D与∠1互余,试说明:ED∥AB.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力)已知:如图是一个跳棋棋盘,其游戏规则是:一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:从起始位置∠1跳到终点位置∠3,写出其中两种不同路径,
路径1:∠1∠9∠3.
路径2:∠1∠12∠6∠10∠3.
试一试:(1)从起始角∠1跳到终点角∠8;
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能否跳到终点角∠8 十三　探索直线平行的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　同位角的识别
1.(2024·扬州期中)在下列图形中,∠1与∠2是同位角的是( )
2.电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示,其中∠2的同位角是( )
A.∠1　　 B.∠3　 C.∠4　 D.∠5
3.∠AED和∠ABC可看成是直线 被直线 所截得的 角.
知识点2　由同位角相等判断两直线平行
4.如图,若∠1=63°,则添加下列哪个条件后,可判定l1∥l2 ( )
A.∠2=127° B.∠4=117°
C.∠3=27° D.∠5=17°
5.如图所示,绑在一起的木条a,b,c.若测得∠1=40°,∠2=85°,要使木条a∥b,木条a至少要顺时针旋转 .
6.如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.试说明:AB∥CD.
知识点3　平行线的基本性质
7.如图,已知A,B,C三点,过点A可画直线BC的平行线的条数是( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
8.如图,在直线a的同侧有P,Q,R三点,若PQ∥a,QR∥a,则P,Q,R三点 (填“在”或“不在”)同一条直线上.
9.如图,AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是 ,理由是 .
【B层 能力进阶】
10.(2024·广州期中)下列图中∠1和∠2不是同位角的是( )
11.在下列图形中,已知∠1=∠2,一定能推导出l1∥l2的是( )
12.下列说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②一条直线的平行线只有一条;③过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.其中正确的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
13.如图,与∠A构成同位角的是 .
14.如图,直线a∥c,∠1=∠2,那么直线b,c的位置关系是 .
15.如图,a,b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线.这两条垂线平行的理由是 .
16.如图,已知直线AB,CD被EF所截,交点分别是点G,H,∠1∶∠2=5∶3,∠3与它的同位角相等,HP平分∠CHG.
(1)求∠4的度数;
(2)求∠CHP的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,点E,F分别在DC,AB上,且BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC.判断BE,DF是否平行,并说明理由.十四　探索直线平行的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　内错角、同旁内角的识别
1.(2024·徐州期中)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,下列说法正确的是(D)
A.∠3与∠4是同旁内角
B.∠2与∠5是同位角
C.∠6与∠1是内错角
D.∠2与∠6是同旁内角
2.阳江风筝是流传于广东省阳江市的传统手工技艺,已有1 400余年的历史.如图所示的风筝骨架中,下列选项中,与∠3构成同旁内角的是(A)
A.∠1 B.∠2 C.∠4 D.∠5
3.如图,一共有　4　对同旁内角.
4.如图.
(1)当直线AC,DG被直线CD所截时,∠2的内错角是　∠ACD　.
(2)∠AEF的同位角是　∠ACD,∠ACB　.
(3)∠1的同旁内角是　∠ACD,∠ACB,∠EFD　.
知识点2　两直线平行的判断
5.(2024·南通质检)如图,固定木条b,c,使∠1=80°,旋转木条a,要使得a∥b,则∠2应调整为(D)
A.70° B.80° C.90° D.100°
6.(2024·恩施期中)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是(B)
7.如图,若∠A+∠ABC=180°,则　AD　∥　BC　.
知识点3　尺规作角
8.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是(D)
A.两直线平行,同位角相等
B.同位角相等,两直线平行
C.两直线平行,内错角相等
D.内错角相等,两直线平行
9.(2024·西安质检)尺规作图(不写作法,保留痕迹):
已知:线段a,b,∠α.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,AB=a,AC=b.
【解析】作∠MAN=α,在AN上截取AB=a,AM上截取AC=b,连接BC,如图:
△ABC即为所求.
10.如图,点P在射线BA上,作∠BPD,且∠BPD=∠B,你能作几个符合条件的角 把它们都作出来.(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】能作2个符合条件的角,如图,∠BPD和∠BPD'为所作.
【B层 能力进阶】
11.(2024·昆明期中)如图,下列条件中,能判断AB∥CD的有(B)
①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5;⑤∠D=∠5.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.如图,有下列判断:①∠A与∠1是同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠1与∠3是同位角.其中正确的是　①②　.(填序号)
13.如图,请你添加一个条件,使AB∥CD,这个条件是　∠CDA=∠DAB(答案不唯一)　.
14.如图,线段EF∥AB交BC于D.
(1)尺规作图:以点F为顶点,射线FE为一边,在FE的右侧作∠EFG,使∠EFG=∠B.(要求:不写作法,但保留作图痕迹并写出结论)
【解析】(1)如图,
∠EFG即为所求.
(2)完善以下解题过程.
解:因为EF∥AB,(已知)
所以∠EDC=　　　,(理由:　　　　　　　)
因为∠EFG=∠B,(已知)
所以∠EDC=∠EFG,(理由:　　　　　)
所以FG∥　　　.(理由:　　　　　　)
【解析】(2)因为EF∥AB,(已知)
所以∠EDC=∠B,(理由:两直线平行,同位角相等)
因为∠EFG=∠B,(已知)
所以∠EDC=∠EFG,(理由:等量代换)
所以FG∥BC.(理由:同位角相等,两直线平行)
15.(2024·福州期末)如图,点O在直线AB上,OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,F是DE上一点,连接OF.
(1)试说明:OC⊥OD;
【解析】(1)因为OC平分∠AOF,OD平分∠BOF,
所以∠COF=∠AOF,∠DOF=∠BOF,
因为∠AOF+∠BOF=180°,所以∠COF+∠DOF=(∠AOF+∠BOF)=90°,所以OC⊥OD;
(2)若∠D与∠1互余,试说明:ED∥AB.
【解析】(2)由(1)知,OC⊥OD,所以∠COD=90°,
所以∠1+∠DOB=90°,因为∠D+∠1=90°,所以∠D=∠DOB,所以ED∥AB.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力)已知:如图是一个跳棋棋盘,其游戏规则是:一个棋子从某一个起始角开始,经过若干步跳动以后,到达终点角.跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:从起始位置∠1跳到终点位置∠3,写出其中两种不同路径,
路径1:∠1∠9∠3.
路径2:∠1∠12∠6∠10∠3.
试一试:(1)从起始角∠1跳到终点角∠8;
【解析】(1)路径:∠1∠12∠8.(答案不唯一)
(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能否跳到终点角∠8
【解析】(2)从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳,能跳到终点角∠8.其路径为:
∠1∠10∠5∠8.
故能跳到终点角∠8.十三　探索直线平行的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　同位角的识别
1.(2024·扬州期中)在下列图形中,∠1与∠2是同位角的是(C)
2.电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示,其中∠2的同位角是(B)
A.∠1　　 B.∠3　 C.∠4　 D.∠5
3.∠AED和∠ABC可看成是直线　DE,BC　被直线　AB　所截得的　同位　角.
知识点2　由同位角相等判断两直线平行
4.如图,若∠1=63°,则添加下列哪个条件后,可判定l1∥l2 (B)
A.∠2=127° B.∠4=117°
C.∠3=27° D.∠5=17°
5.如图所示,绑在一起的木条a,b,c.若测得∠1=40°,∠2=85°,要使木条a∥b,木条a至少要顺时针旋转　45°　.
6.如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.试说明:AB∥CD.
【解析】因为∠3与∠1互余,∠3与∠2互余,
即∠3+∠1=90°,∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠2,所以AB∥CD.
知识点3　平行线的基本性质
7.如图,已知A,B,C三点,过点A可画直线BC的平行线的条数是(B)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
8.如图,在直线a的同侧有P,Q,R三点,若PQ∥a,QR∥a,则P,Q,R三点　在　(填“在”或“不在”)同一条直线上.
9.如图,AB∥CD,过点E画EF∥AB,则EF与CD的位置关系是　平行　,理由是　平行于同一条直线的两条直线平行　.
【B层 能力进阶】
10.(2024·广州期中)下列图中∠1和∠2不是同位角的是(C)
11.在下列图形中,已知∠1=∠2,一定能推导出l1∥l2的是(D)
12.下列说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②一条直线的平行线只有一条;③过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.其中正确的有(C)
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
13.如图,与∠A构成同位角的是　∠ECD,∠ECF　.
14.如图,直线a∥c,∠1=∠2,那么直线b,c的位置关系是　平行　.
15.如图,a,b是木工师傅用角尺在工件上画出的与工件边缘垂直的两条垂线.这两条垂线平行的理由是　同位角相等,两直线平行　.
16.如图,已知直线AB,CD被EF所截,交点分别是点G,H,∠1∶∠2=5∶3,∠3与它的同位角相等,HP平分∠CHG.
(1)求∠4的度数;
【解析】(1)因为∠1∶∠2=5∶3,∠1+∠2=180°,
所以∠1=112.5°,∠2=67.5°,所以∠3=∠2=67.5°,
又因为∠3与它的同位角相等,∠3的同位角是∠4,所以∠4=∠3=67.5°.
(2)求∠CHP的度数.
【解析】(2)因为∠CHG=180°-∠4=180°-67.5°=112.5°,HP平分∠CHG,
所以∠CHP=∠CHG=×112.5°=56.25°.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,点E,F分别在DC,AB上,且BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC.判断BE,DF是否平行,并说明理由.
【解析】BE∥DF,理由为:
在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,
所以∠ADC+∠ABC=180°,
因为BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,
所以∠ADF=∠ADC,∠ABE=∠ABC,
所以∠ABE+∠ADF=90°,
因为∠AFD+∠ADF=90°,
所以∠AFD=∠ABE,
所以BE∥DF.

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