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2.1 平方根
课时1 平方根和算术平方根
1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示
一个数的算术平方根.（重点）
2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点）
小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按如图所示方法剪拼成了一个正方形.观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
展开铺平
剪开拼图
沿虚线对折
沿虚线对折
1
1
1
1
1
1
1
1
由 S正方形 = 边长2
S正方形 = 2
( ？ )2 = 2
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，
例如，因为 22 = 4，所以 2 是 4 的一个平方根.
因为(－2)2 = 4，所以 －2 也是 4 的一个平方根.
4 的平方根除了 2 和 －2 以外，还有其他的数吗？
因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，
所以比 2 大的数都不是 4 的平方根.
类似地，边长小于 2 的正方形，它的面积一定小于4，
从而比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
想一想
1.5
2
2.5
又由于 (－b)2 = b2，
因此，大于 －2 或小于－2 的负数都不是 4 的平方根.
0 显然不是 4 的平方根.
所以 4 的平方根有且只有两个：2 与 －2.
互为相反数
一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与－r.
正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”；
正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”.
这样，正数 a 的两个平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号 a”.
0 的平方根是多少？负数有平方根吗？
由于02=0，而非零数的平方不等于0，
因此，0的平方根就是0本身.
由于同号两数相乘得正数，且02=0，
因此，不存在一个数的平方是负数，
从而负数没有平方根.
想一想
求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.
x2 = a
（x ≥ 0，a ≥ 0）
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
平方 开平方
互为逆运算
根据这种关系，可以求一个数的平方根.
x =
4 的平方根是________，
4 的算术平方根是________，
2 的算术平方根是________.
2 的平方根是________，
一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，只有一个算术平方根.
归纳总结
做一做
例1 分别求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）1.21.
解：（1）由于 (±6)2 = 36，因此 36 的平方根是 6 与－6，
即 .
（2）由于 (± )2 = ，因此 的平方根是 与－ ，
即 .
（3）由于 (±1.1)2 = 1.21，因此 1.21 的平方根是 1.1 与－1.1，
即 .
例2 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2）1.96； （3） .
解：（1）因为 102 = 100，
所以 .
（2）因为 1.42 = 1.96，所以 .
（3）因为 ( )2 = ，所以 .
规律：正数 越大，它的算术平方根 .
也越大
平方根与算术平方根的区别与联系
类别 名称 平方根 算术平方根
区别 个数不同
表示方法不同
结果不同
联系 具有包含关系 存在条件相同 两个，且互为相反数
一个
一正一负
正数
平方根包含了算术平方根
被开放数为非负数，0 的平方根与算术平方根都是 0
填一填
下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
（1）|－81|； （2）(－5)2.
解：|－81| = 81，
由于 (±9)2 = 81，
因此 81 的平方根是 9 与－9，
即 .
议一议
解：(－5)2 = 25，由于 (±5)2 = 25，
因此 25 的平方根是 5 与－5，
即 .
1. 分别求下列各数的平方根：
（1）64； （2） ；（3）6.25.
解：（1）由于 (±8)2 =64，因此 .
（2）由于 ，因此 .
（3）由于 (±2.5)2 =6.25，因此 .
2. 分别求下列各数的算术平方根：
（1）81； （2） ；（3）0.16.
解：（1）由于 (9)2 =81，因此 .
（2）由于 ，因此 .
（3）由于 (±0.4)2 =0.16，因此 .
3. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4.
解：（1）不正确， ；
（2）不正确， (－4)2 的平方根是±4.
若 r2 = a，则 r 是 a 的一个平方根.
1. 平方根的定义：
2. 平方根的性质：
（1）正数有且只有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0 有一个平方根，就是 0；
（3）负数没有平方根.
3. 平方根的表示方法：
平方根：（a ≥ 0）
算术平方根：（a ≥ 0）

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