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8.1　相交线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察实例,总结出垂直的定义,并能够通过作图,理解垂线段的定义. 抽象能力、几何直观
2.掌握垂线的两个性质,并能够利用性质解决问题. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点
1.垂直及相关概念
(1)符号表示:a与b相互垂直,记作 .
(2)两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是 ,那么就称这两条直线 垂直.其中一条直线叫作另一条直线的 ,它们的 叫作垂足.
对点小练
1.如图,线段AB和CD相交于点O,下列条件中能说明AB⊥CD的是( )
A.AO=OB
B.CO=OD
C.∠AOC=∠BOD
D.∠AOC=∠BOC
新知要点
2.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短.
对点小练
2.利用三角尺或量角器判断,图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是( )
A.点M和点N B.点P和点Q
C.点M和点Q D.点N和点P
新知要点
3.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的 的长度.
对点小练
3.如图AC⊥BC,CD⊥AB,则点B到AC的距离为( )
A.线段BD的长度 B.线段AC的长度
C.线段CD的长度 D.线段BC的长度
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1垂直定义及性质(抽象能力、几何直观)
【典例1】如图,OC⊥AB交直线AB于点O,射线OD,OE在∠BOC内,OE平分∠BOD,其中∠COD=32°.
(1)求∠BOD的度数;
(2)求∠AOE的度数.
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD,若∠AOC=50°,则∠BOD的度数是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.如图,若AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一直线上,其理由是 .
3.(2024·潍坊奎文质检)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若∠FOC=50°,求∠AOD的度数.
【技法点拨】
应用垂直定义的注意点
应用垂直的定义解题,要理解其定义的两个方面:
(1)由两直线垂直可得其夹角为90°.
(2)由两直线的夹角为90°,可得两直线互相垂直.
重点2垂线段的性质及应用(抽象能力、推理能力)
【典例2】如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足为D.
(1)AB,AC,CD之间的大小关系为 (用“<”连接起来).
(2)若AC=4,BC=3,AB=5,求点C到直线AB的距离.
【举一反三】
1.如图,AC⊥BC,AD⊥CD,垂足分别为点C,D.若AD=4,AB=7,则AC的长可能是( )
A.4 B.6 C.7 D.8
2.(2024·淄博博兴质检)如图,直线m,n相交于点A,点P是直线m上一点,则点P到直线n的距离是线段 的长度.
3.(2024·烟台莱山模拟)如图,汽车站、码头分别位于A,B两点,直线m,n分别表示公路与河流.
(1)从汽车站A到码头B怎样走最近 画出最近路线,并说明理由;
(2)从码头B到公路m怎样走最近 画出最近路线BC,并说明理由;
(3)在(1),(2)的基础上,比较AC和AB的大小.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)如图,点A在直线l1上,点B,C在直线l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,则下列说法正确的是( )
A.点C到AB的距离等于4
B.点B到AC的距离等于3
C.点A到直线l2的距离等于4
D.点C到直线l2的距离等于4
2.(3分·几何直观)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD.若∠AOE=50°,则∠BOC的度数是( )
A.140° B.130° C.50° D.40°
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=5 cm,PB=4 cm,
PC=6 cm,则点P到直线l的距离是 cm.
4.(5分·几何直观、推理能力)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,如果∠COE=40°,那么∠BOD的度数是 °.
5.(5分·几何直观、推理能力)作图并回答:
(1)如图,点P在∠AOB的边OA上.
①过点P作OA的垂线交OB于点C.
②作点P到OB的垂线段PM.
(2)上述作图中,线段 的长度表示点P到OB的距离.
(3)线段PM,PC与OC的大小关系是: (用“<”连接),判断依据:
. 8.1　相交线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识两条直线的位置关系平行和相交,理解平行与相交的区别. 几何直观
2.认识对顶角和邻补角,并能在图形中找出对顶角和邻补角,理解对顶角相等的性质. 抽象能力、几何直观
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.平行线与相交线的定义
(1)相交线:两条直线只有 个公共点
(2)平行线:在同一平面内, 公共点的两条直线
对点小练
1.下列说法正确的是( )
A.同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
B.同一个平面内,两条直线不相交就重合
C.同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
新知要点
2.邻补角
有一条 ,另一边互为 的两个角
对点小练
2.如图,图中有 对邻补角.
新知要点
3.对顶角的定义及其性质
(1)定义:两个角有 个公共顶点,并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的 延长线
(2)性质:对顶角
对点小练
3.如图,直线A,B相交于点O.如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度数为 .
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1对顶角、邻补角的定义(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P31练习T1拓展)观察下列各图,寻找对顶角(不含平角).如图1,图中有2条直线相交,则对顶角有 对;如图2,图中有3条直线相交于一点,则对顶角有 对;若有n条直线相交于一点,则对顶角有 对.
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)下列图形中,∠1和∠2是对顶角的是( )
2.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠1的对顶角是 ,∠1的邻补角是 .
【技法点拨】
邻补角、对顶角的识别方法
1.识别邻补角:①找顶点,②分别以一边为公共边,找另一边的反向延长线;
2.识别对顶角:①找顶点,②找两边的反向延长线.
重点2对顶角、邻补角的性质(推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P30例1拓展)如图,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为 ;
(2)若OE平分∠BOD,∠DOE∶∠AOD=1∶4.求∠EOC的度数.
【自主解答】(1)依题意,∠AOD的对顶角为∠BOC;
【举一反三】
1.(2024·淄博博兴县质检)如图是一把剪刀的示意图,我们可想象成一个相交线模型,若∠AOB+∠COD=72°,则∠AOB= .
2.如图,直线AB,CD相交于点O,∠EOB=90°.
(1)直接写出∠AOC的对顶角和补角;
(2)若∠AOC∶∠COE=3∶1,则∠COB的度数为 .
【技法点拨】
应用对顶角、邻补角性质的两点注意
(1)利用对顶角、邻补角的性质,可以解决与相交线有关的角度计算问题.正确辨析对顶角、邻补角,掌握它们的性质是应用的前提.
(2)解决这类问题要善于寻找对顶角和邻补角,利用它们把所求的角与已知角联系起来.
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,直线a与直线b交于点A,此时图中有两对对顶角,若过点A再画一条不与直线a,b重合的直线c,则新增加的对顶角有( )
A.2对　　B.3对　　C.4对　　D.5对
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,直线AB,CD,OE相交于点O,且OA平分∠COE,若∠EOD比∠BOD大30°,则∠AOC的度数为( )
A.60° B.70° C.50° D.80°
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,直线AB,CD,EF相交于点O.∠AOE的对顶角是 ,∠BOD的邻补角是 .
4.(4分·推理能力)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α ∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β 对顶角. 8.1　相交线
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察实例,总结出垂直的定义,并能够通过作图,理解垂线段的定义. 抽象能力、几何直观
2.掌握垂线的两个性质,并能够利用性质解决问题. 几何直观、推理能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点
1.垂直及相关概念
(1)符号表示:a与b相互垂直,记作　a⊥b　.
(2)两条直线相交所形成的四个角中,如果有一个角是　直角　,那么就称这两条直线　互相　垂直.其中一条直线叫作另一条直线的　垂线　,它们的　交点　叫作垂足.
对点小练
1.如图,线段AB和CD相交于点O,下列条件中能说明AB⊥CD的是(D)
A.AO=OB
B.CO=OD
C.∠AOC=∠BOD
D.∠AOC=∠BOC
新知要点
2.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点有且只有　一　条直线与已知直线垂直.
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　垂线段　最短.
对点小练
2.利用三角尺或量角器判断,图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是(C)
A.点M和点N B.点P和点Q
C.点M和点Q D.点N和点P
新知要点
3.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的　垂线段　的长度.
对点小练
3.如图AC⊥BC,CD⊥AB,则点B到AC的距离为(D)
A.线段BD的长度 B.线段AC的长度
C.线段CD的长度 D.线段BC的长度
重点典例研析　　循道而行 方能致远
重点1垂直定义及性质(抽象能力、几何直观)
【典例1】如图,OC⊥AB交直线AB于点O,射线OD,OE在∠BOC内,OE平分∠BOD,其中∠COD=32°.
(1)求∠BOD的度数;
(2)求∠AOE的度数.
【自主解答】(1)因为OC⊥AB,所以∠BOC=90°,
因为∠COD=32°,
所以∠BOD=∠BOC-∠COD=58°;
(2)因为OE平分∠BOD,
所以∠BOE=∠BOD=29°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=151°.
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)如图,点O在直线AB上,OC⊥OD,若∠AOC=50°,则∠BOD的度数是(C)
A.120° B.130° C.140° D.150°
2.如图,若AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一直线上,其理由是　在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　.
3.(2024·潍坊奎文质检)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥OE.若∠FOC=50°,求∠AOD的度数.
【解析】因为OF⊥OE,
所以∠EOF=90°;
因为∠FOC=50°,∠FOC+∠EOF+∠DOE=180°,
所以∠DOE=180°-∠EOF-∠FOC=40°;
因为OE平分∠BOD,
所以∠BOD=2∠DOE=80°,
所以∠AOD=180°-∠BOD=100°.
【技法点拨】
应用垂直定义的注意点
应用垂直的定义解题,要理解其定义的两个方面:
(1)由两直线垂直可得其夹角为90°.
(2)由两直线的夹角为90°,可得两直线互相垂直.
重点2垂线段的性质及应用(抽象能力、推理能力)
【典例2】如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足为D.
(1)AB,AC,CD之间的大小关系为　　　　　　　　　(用“<”连接起来).
(2)若AC=4,BC=3,AB=5,求点C到直线AB的距离.
【自主解答】(1)因为AC⊥BC,
所以AC答案:CD(2)因为S三角形ACB=AC·CB=AB·CD,
所以AC·CB=AB·CD,
因为AC=4,BC=3,AB=5,
所以12=5CD,所以CD=.
所以点C到直线AB的距离是.
【举一反三】
1.如图,AC⊥BC,AD⊥CD,垂足分别为点C,D.若AD=4,AB=7,则AC的长可能是(B)
A.4 B.6 C.7 D.8
2.(2024·淄博博兴质检)如图,直线m,n相交于点A,点P是直线m上一点,则点P到直线n的距离是线段　PC　的长度.
3.(2024·烟台莱山模拟)如图,汽车站、码头分别位于A,B两点,直线m,n分别表示公路与河流.
(1)从汽车站A到码头B怎样走最近 画出最近路线,并说明理由;
(2)从码头B到公路m怎样走最近 画出最近路线BC,并说明理由;
(3)在(1),(2)的基础上,比较AC和AB的大小.
【解析】(1)连接AB,如图,
从汽车站A到码头B沿AB走最近,
理由:两点之间线段最短;
(2)过点B作BC⊥AC于点C,如图,
从码头B到公路m沿BC走最近,
理由:垂线段最短;
(3)结合(1)(2)可知:△ABC是直角三角形,
因为直角三角形的斜边大于直角边,
所以AC素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、运算能力)如图,点A在直线l1上,点B,C在直线l2上,AB⊥l2,AC⊥l1,AB=4,BC=3,则下列说法正确的是(C)
A.点C到AB的距离等于4
B.点B到AC的距离等于3
C.点A到直线l2的距离等于4
D.点C到直线l2的距离等于4
2.(3分·几何直观)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD.若∠AOE=50°,则∠BOC的度数是(A)
A.140° B.130° C.50° D.40°
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=5 cm,PB=4 cm,
PC=6 cm,则点P到直线l的距离是　4　cm.
4.(5分·几何直观、推理能力)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,如果∠COE=40°,那么∠BOD的度数是　50　°.
5.(5分·几何直观、推理能力)作图并回答:
(1)如图,点P在∠AOB的边OA上.
①过点P作OA的垂线交OB于点C.
②作点P到OB的垂线段PM.
(2)上述作图中,线段　　　　的长度表示点P到OB的距离.
(3)线段PM,PC与OC的大小关系是:　　　　　　　　　(用“<”连接),判断依据:
　　　　　　　　　　.
【解析】(1)①如图所示,PC即为所求;
②如图所示,PM即为所求;
(2)因为PM⊥OB,所以线段PM的长度表示点P到OB的距离;
答案:PM
(3)因为PM⊥OC,所以PC>PM,
因为PC⊥OP,所以OC>PC,
所以PM答案:PM第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识两条直线的位置关系平行和相交,理解平行与相交的区别. 几何直观
2.认识对顶角和邻补角,并能在图形中找出对顶角和邻补角,理解对顶角相等的性质. 抽象能力、几何直观
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.平行线与相交线的定义
(1)相交线:两条直线只有　一　个公共点
(2)平行线:在同一平面内,　没有　公共点的两条直线
对点小练
1.下列说法正确的是(C)
A.同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
B.同一个平面内,两条直线不相交就重合
C.同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
新知要点
2.邻补角
有一条　公共边　,另一边互为　反向延长线　的两个角
对点小练
2.如图,图中有　4　对邻补角.
新知要点
3.对顶角的定义及其性质
(1)定义:两个角有　一　个公共顶点,并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的　反向　延长线
(2)性质:对顶角　相等　
对点小练
3.如图,直线A,B相交于点O.如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度数为　150°　.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1对顶角、邻补角的定义(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P31练习T1拓展)观察下列各图,寻找对顶角(不含平角).如图1,图中有2条直线相交,则对顶角有　2　对;如图2,图中有3条直线相交于一点,则对顶角有　3　对;若有n条直线相交于一点,则对顶角有　n　对.
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)下列图形中,∠1和∠2是对顶角的是(B)
2.如图,直线AB,CD相交于点O,则∠1的对顶角是　∠BOD　,∠1的邻补角是　∠AOD和∠BOC　.
【技法点拨】
邻补角、对顶角的识别方法
1.识别邻补角:①找顶点,②分别以一边为公共边,找另一边的反向延长线;
2.识别对顶角:①找顶点,②找两边的反向延长线.
重点2对顶角、邻补角的性质(推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P30例1拓展)如图,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为　　　　　;
(2)若OE平分∠BOD,∠DOE∶∠AOD=1∶4.求∠EOC的度数.
【自主解答】(1)依题意,∠AOD的对顶角为∠BOC;
答案:∠BOC
(2)设∠DOE=x,则∠AOD=4x,
因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE=x,
所以x+x+4x=180°,解得x=30°,
所以∠BOE=30°,∠AOD=4x=120°,
所以∠BOC=∠AOD=120°,
所以∠EOC=∠BOE+∠BOC=150°.
【举一反三】
1.(2024·淄博博兴县质检)如图是一把剪刀的示意图,我们可想象成一个相交线模型,若∠AOB+∠COD=72°,则∠AOB=　36°　.
2.如图,直线AB,CD相交于点O,∠EOB=90°.
(1)直接写出∠AOC的对顶角和补角;
(2)若∠AOC∶∠COE=3∶1,则∠COB的度数为　　　　.
【解析】(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠AOC的补角是∠BOC和∠AOD;
(2)因为∠EOB=90°,所以∠AOE=90°,
因为∠AOC∶∠COE=3∶1,
所以∠AOC=∠AOE=×90°=67.5°,
所以∠COB=∠AOD=180°-∠AOC=112.5°.
答案:112.5°
【技法点拨】
应用对顶角、邻补角性质的两点注意
(1)利用对顶角、邻补角的性质,可以解决与相交线有关的角度计算问题.正确辨析对顶角、邻补角,掌握它们的性质是应用的前提.
(2)解决这类问题要善于寻找对顶角和邻补角,利用它们把所求的角与已知角联系起来.
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,直线a与直线b交于点A,此时图中有两对对顶角,若过点A再画一条不与直线a,b重合的直线c,则新增加的对顶角有(C)
A.2对　　B.3对　　C.4对　　D.5对
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,直线AB,CD,OE相交于点O,且OA平分∠COE,若∠EOD比∠BOD大30°,则∠AOC的度数为(C)
A.60° B.70° C.50° D.80°
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,直线AB,CD,EF相交于点O.∠AOE的对顶角是　∠BOF　,∠BOD的邻补角是　∠BOC或∠AOD　.
4.(4分·推理能力)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α　=　∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β　不一定是　对顶角.

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