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﹡9.4　三元一次方程组
课时学习目标 素养目标达成
1.类比二元一次方程组的解法,推导出三元一次方程组的解法,并能够解三元一次方程组. 抽象能力、模型观念
2.通过解决实际问题,掌握列三元一次方程组解决问题的方法,并能够解相应题目. 应用意识、运算能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.三元一次方程组: (1)三个方程必须是　整式　方程; (2)一共含有　3　个未知数; (3)所含未知数的项的次数都是　1　. 1.下列方程中,属于三元一次方程的是(C) A.π+x+y=6　　　　　B.xy+y+z=6 C.x+2y+3z=9 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z
2.三元一次方程组的解法: (1)基本思路:“三元”转化为“　二元　”,进而转化为“　一元　”. (2)一般步骤:选→化→解→求→得. 2.三元一次方程组消去一个未知数后,所得二元一次方程组是(A) A. B. C. D.
3.三元一次方程组的应用: 一般步骤:找等量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验→写出答案. 3.天平两边托盘中相同形状的物体质量相同,且两架天平均保持平衡,如图,则关于“□”“○”“△”质量的大小关系,下列说法正确的是(C) A.△最重 B.○最重 C.□最重 D.无法比较
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】三元一次方程组的解法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P74例1拓展)解方程组:.
【自主解答】,
①+③得,3x-y=4④,
①-②得,x+2y=-1⑤,
④×2+⑤得,6x+x=8-1,解得x=1,
将x=1代入④得3-y=4,解得y=-1,
将代入②得,1+1-z=0,解得z=2,
所以方程组的解为.
【举一反三】
1.(2024·聊城茌平模拟)方程组
的解是(D)
A.　B.　C.　D.
2.方程组的解为 　.
3.(2024·威海乳山质检)解方程组:.
【解析】,
①+②得8x-z=18④,
②+③得6x+2z=8⑤,
联立④⑤得,
④×2+⑤得22x=44,解得x=2,
将x=2代入④得8×2-z=18,解得z=-2,
将x=2,z=-2代入③得2+y-(-2)=3,解得y=-1,所以方程组的解为.
【技法点拨】
解三元一次方程组的基本思路
【重点2】三元一次方程组的应用(应用意识)
【典例2】某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如表:
农作物 品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投 入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积,才能使所有职工有工作,而且投入的资金正好够用
【自主解答】设种植水稻x公顷,棉花y公顷,蔬菜z公顷,由题意,得
,解得.
答:种植水稻15公顷,棉花20公顷,蔬菜16公顷.
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干,若购买三等奖奖品3件,二等奖奖品5件,一等奖奖品1件,共需68元,若购买三等奖奖品4件,二等奖奖品2件,一等奖奖品6件,共需86元.现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件,共需(C)
A.24元 B.23元 C.22元 D.21元
2.某超市在促销活动中准备了三种小礼品共16件,16件礼品的总价为50元,三种小礼品的价格分别为2元/件、4元/件和10元/件,每种小礼品至少准备1件.已知价格为2元/件的小礼品有a件.
(1)请用含a的式子分别表示准备的另外两种小礼品的件数;
(2)如果准备价格为2元/件的小礼品的数量正好是价格为4元/件的小礼品的2倍,分别求出准备的三种价格小礼品的件数.
【解析】(1)设价格为4元/件的小礼品有b件,价格为10元/件的小礼品有c件,
由题意得,
解得b=,c=.
答:价格为4元/件的小礼品有件,价格为10元/件的小礼品有件.
(2)由题意得a=2×,解得a=10,
则b==5,c==1.
答:价格为2元/件的小礼品有10件,价格为4元/件的小礼品有5件,价格为10元/件的小礼品有1件.
3.(2024·烟台海阳模拟)甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同,若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶,将它们混合后就成为含牛奶10%的奶茶;若从甲、乙两个杯子中按重量之比为2∶3来取,混合后就成为含牛奶7%的奶茶;若从乙、丙中按重量之比为3∶2来取,混合后就成为含牛奶9%的奶茶.求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比.
【解析】设甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比分别为x%,y%,z%,第一次混合从甲、乙、丙三个杯子中各取出a克奶茶,则有a×x%+a×y%+a×z%=3a×10%,
从甲、乙两个杯子中按重量之比为2∶3来取奶茶时,设从甲中取奶茶2m克,从乙中取奶茶3m克,则有2m×x%+3m×y%=(2m+3m)×7%,
从乙、丙两个杯子中按重量之比为3∶2来取奶茶时,设从乙中取奶茶3n克,从丙中取奶茶2n克,则有3n×y%+2n×z%=(3n+2n)×9%,
将上面三式消去辅助未知数得:
,解得,
答:甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比分别为10%,5%,15%.
【技法点拨】
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)找等量关系;
(2)设未知数(一般要设3个未知数);
(3)列方程组;
(4)解方程组;
(5)检验;
(6)写答案.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,对应密文a+1,-a+2b+4,b+3c+9,如果接收方收到密文7,12,22,则解密得到的明文为(C)
A.6,2,7　 B.2,6,7　 C.6,7,2　 D.7,2,6
2.(3分·抽象能力、运算能力)解三元一次方程组,要使解法较为简便,首先应进行的变形为(A)
A.①+②　 B.①-②　 C.①+③　 D.②-③
3.(4分·抽象能力、运算能力)若++=0,则x+y+z=　10　.
4.(4分·运算能力、推理能力)已知x,y,z满足==,且x+2y-z=8,则x=　9　.
5.(6分·运算能力、应用意识)甲、乙两人在某环形道路上跑步,假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地点反向而行,那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律;如果他们同时从同一地点同向而行,那么5分钟后甲在乙的前方200米,并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次.求甲的速度和环形道路的长度.
【解析】设甲的速度为x米/分,乙的速度为y米/分,环形道路的长度为s米,
依题意得:,
解得:.
答:甲的速度为220米/分,环形道路的长度为4 000米.
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课时学习目标 素养目标达成
1.类比二元一次方程组的解法,推导出三元一次方程组的解法,并能够解三元一次方程组. 抽象能力、模型观念
2.通过解决实际问题,掌握列三元一次方程组解决问题的方法,并能够解相应题目. 应用意识、运算能力
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.三元一次方程组: (1)三个方程必须是 方程; (2)一共含有 个未知数; (3)所含未知数的项的次数都是 . 1.下列方程中,属于三元一次方程的是( ) A.π+x+y=6　　　　　B.xy+y+z=6 C.x+2y+3z=9 D.3x+2y-4z=4x+2y-2z
2.三元一次方程组的解法: (1)基本思路:“三元”转化为“ ”,进而转化为“ ”. (2)一般步骤:选→化→解→求→得. 2.三元一次方程组消去一个未知数后,所得二元一次方程组是( ) A. B. C. D.
3.三元一次方程组的应用: 一般步骤:找等量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验→写出答案. 3.天平两边托盘中相同形状的物体质量相同,且两架天平均保持平衡,如图,则关于“□”“○”“△”质量的大小关系,下列说法正确的是( ) A.△最重 B.○最重 C.□最重 D.无法比较
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】三元一次方程组的解法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P74例1拓展)解方程组:.
【举一反三】
1.(2024·聊城茌平模拟)方程组
的解是( )
A.　B.　C.　D.
2.方程组的解为 .
3.(2024·威海乳山质检)解方程组:.
【技法点拨】
解三元一次方程组的基本思路
【重点2】三元一次方程组的应用(应用意识)
【典例2】某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花和蔬菜,已知种植各种农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如表:
农作物 品种 每公顷所需劳动力 每公顷所需投 入的设备资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入设备资金67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积,才能使所有职工有工作,而且投入的资金正好够用
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干,若购买三等奖奖品3件,二等奖奖品5件,一等奖奖品1件,共需68元,若购买三等奖奖品4件,二等奖奖品2件,一等奖奖品6件,共需86元.现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件,共需( )
A.24元 B.23元 C.22元 D.21元
2.某超市在促销活动中准备了三种小礼品共16件,16件礼品的总价为50元,三种小礼品的价格分别为2元/件、4元/件和10元/件,每种小礼品至少准备1件.已知价格为2元/件的小礼品有a件.
(1)请用含a的式子分别表示准备的另外两种小礼品的件数;
(2)如果准备价格为2元/件的小礼品的数量正好是价格为4元/件的小礼品的2倍,分别求出准备的三种价格小礼品的件数.
3.(2024·烟台海阳模拟)甲、乙、丙三杯奶茶中含有牛奶的比例各不相同,若从甲、乙、丙三个杯子中各取出重量相等的奶茶,将它们混合后就成为含牛奶10%的奶茶;若从甲、乙两个杯子中按重量之比为2∶3来取,混合后就成为含牛奶7%的奶茶;若从乙、丙中按重量之比为3∶2来取,混合后就成为含牛奶9%的奶茶.求甲、乙、丙三杯奶茶中含牛奶的百分比.
【技法点拨】
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)找等量关系;
(2)设未知数(一般要设3个未知数);
(3)列方程组;
(4)解方程组;
(5)检验;
(6)写答案.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,对应密文a+1,-a+2b+4,b+3c+9,如果接收方收到密文7,12,22,则解密得到的明文为( )
A.6,2,7　 B.2,6,7　 C.6,7,2　 D.7,2,6
2.(3分·抽象能力、运算能力)解三元一次方程组,要使解法较为简便,首先应进行的变形为( )
A.①+②　 B.①-②　 C.①+③　 D.②-③
3.(4分·抽象能力、运算能力)若++=0,则x+y+z= .
4.(4分·运算能力、推理能力)已知x,y,z满足==,且x+2y-z=8,则x= .
5.(6分·运算能力、应用意识)甲、乙两人在某环形道路上跑步,假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地点反向而行,那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律;如果他们同时从同一地点同向而行,那么5分钟后甲在乙的前方200米,并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次.求甲的速度和环形道路的长度.

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