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人教A版高中数学选择性必修三-8.1.1变量的相关关系-导学案
学习目标　1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.会用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系和线性相关关系．
一、相关关系
问题1　下列两个变量是否具有函数关系？
(1)球的面积与半径的关系；
(2)人的身高和体重的关系；
(3)角度和它的余弦值的关系；
(4)父母的身高和子女的身高的关系．
知识梳理
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为________关系．
例1　(多选)下列两个变量存在相关关系的为(　　)
A．扇形的半径与面积之间的关系
B．降雪量与交通事故的发生率之间的关系
C．人的身高与体重之间的关系
D．家庭的支出与收入之间的关系
反思感悟　函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
跟踪训练1　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B．同一物体的加速度与作用力的关系是函数关系
C．产品的成本与产量的关系是函数关系
D．广告费用与销售量的关系是相关关系
(2)(多选)下列关系是相关关系的是(　　)
A．角度和它的正弦值之间的关系
B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系
C．作文水平与课外阅读量之间的关系
D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系
二、散点图
问题2　在一次对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，研究人员获得了成对样本数据如下表．
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数．根据上述数据，你能推断出人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
知识梳理
1．散点图：为直观地描述成对样本数据中两个变量间的关系，用横轴表示其中的一个变量，纵轴表示另一个变量，则成对样本数据都可以用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图．
2．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现________的趋势，我们就称这两个变量__________相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现________的趋势，则称这两个变量________相关．
3．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量________相关．
4．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
例2　某种树木体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
(1)请作出这些数据的散点图；
(2)你能由散点图发现树木体积与树木的树龄近似呈什么关系吗？
反思感悟　判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
跟踪训练2　(多选)在下列各图中，每个图中的两个变量具有相关关系的是(　　)
三、散点图的应用
例3　下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：
施化肥量 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量 320 330 360 410 460 470 480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似呈什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？
反思感悟　(1)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．
(2)在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规律，是数学核心素养直观想象的具体体现．
跟踪训练3　(1)对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
(2)(多选)某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
1．知识清单：
(1)相关关系．
(2)散点图．
(3)散点图的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：相关关系与函数关系不分．
1．下列两个变量存在相关关系的是(　　)
A．利息与利率
B．居民收入与储蓄存款
C．电视机产量与苹果产量
D．某种商品的销售额与销售价格
2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒
C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜
3．如图，有6组数据，去掉哪组数据后(填字母代号)，剩下的5组数据的线性相关性最大(　　)
A．A B．B C．C D．D
4．以下是收集到的某物品的销售价格y和物品的大小x的数据：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y________相关关系．(填“有”或“无”)
参考答案与详细解析
问题1　(1)(3)是函数关系；(2)(4)不是函数关系．
知识梳理
相关
例1　BCD　[扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系．]
跟踪训练1　(1)ABD　[闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确．]
(2)BC　[A，D中两个变量之间的关系是函数关系，而B，C中的两个变量之间的关系是相关关系．]
问题2　用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，可将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，得到相应的统计图如图所示，图中的点散布在从左下角到右上角的区域，大致在一条直线附近，推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．
知识梳理
2．增加　正　减小　负
3．一条直线　线性
例2　解　(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示．
(2)由散点图发现树木体积随着树龄的增加呈现增加的趋势，且散点大致落在一条直线附近，所以树木的体积与树龄近似呈线性相关关系．
跟踪训练2　BC　[对A，所有的点都在曲线上，故具有函数关系；对B，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系；对C，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系；对D，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系．]
例3　解　(1)散点图如图．
(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的散点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似呈线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一直随施化肥量的增加而增加．
跟踪训练3　(1)C　[由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关．]
(2)BCD　[由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．]
随堂演练
1．B　[选项A中的两个变量具有函数关系；选项B中居民收入与储蓄存款具有相关关系，一般来说，居民收入越高对应的储蓄存款越多；选项C中的电视机产量与苹果产量无任何关系；选项D中某种商品的销售额与销售价格具有函数关系．]
2．D　[瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫喜，不具有相关关系．]
3．C　[根据散点图知去掉C后，剩下的五组数据的线性相关性最大．]
4．有
解析　物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系．

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