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河南省濮阳市2024 2025学年高三下学期一模数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（ ）
A．60 B．72 C．76 D．80
5．在中，，，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥，满足，点在内部（含边界）运动，且，则点的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（ ）
A． B． C． D．
8．表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（ ）
A． B．0 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
10．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
11．若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ）
A．是“学步”函数
B．（为非零常数）为“学步”函数的充要条件是
C．若是的“学步”函数，且时，，则时，
D．若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量为邻边的平行四边形的面积是 .
13．椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为 ．
14．用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为若的最小正周期为，则 此时，若再有，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，平面，延长，相交于点，，，为弧的中点.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
16．假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：
(1)当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；
(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为，求.
17．已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．
18．随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
19．已知函数.
(1)函数与的图象关于对称，求的解析式；
(2)在定义域内恒成立，求的值；
(3)求证：，.
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】BCD
10．【答案】ACD
11．【答案】BCD
12．【答案】3
13．【答案】/
14．【答案】 1
15.（1）连接，，因为为弧的中点，
则，为正三角形，于是，
因为平面，，则有平面，
又平面，于是，而，
平面，因此平面，又平面，
所以．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
16．（1）记“传送信号0”， “传送信号1”， “接收信号0”.
可知，，，，
由贝叶斯公式得所求的概率为：
，
即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为.
（2）在一次传送中，接收到0的概率为，
每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有，
所以.
17．（1），
解得，所以椭圆方程为，
又，所以右焦点，
当垂直轴时，不妨取，根据对称性可知点在x轴上，且直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，
消去得：，
则，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
令，解得，故点的坐标为.
（2）如图，
由题意可得直线的方程为，即.
设，由题可知，
所以，故直线与垂直，
联立，消去得：，
则，
所以 ，
同理，，
所以，
故为定值．
18．（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，.
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）根据（2）得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故.
19．（1）解：依题意，设图象上任意一点的坐标为，
则其关于对称的点在的图象上，
则，
则，
故.
（2）解：令，
则在上恒成立，又，
且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在上恒成立.
令，则，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.
（3）证明：由（2）可知，则，即，
则.
又由（2）可知在上恒成立，
则在上恒成立,当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，得证.
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