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理想树联考
高三数学
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
即
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1已知集合A=1≤2≤16，eZ,B=女≤0，则AnB=
A.[1,3]
B.[3,4]
C.{2,3}
D.(2,3]
2已知复数：满足：2本1=1-i,则1：-2i1=
毁
A./5
B.6
C.√/10
D.32
3.已知圆锥的轴截面是一个斜边长为2√2的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为
A.√2π
B.2√2T
C.4m
D.(2+2w2)T
4.已知等比数列{an}的前n项和为S。,若公比q=2,S3=7,则a4+a+a6=
A.49
B.56
C.63
D.112
5.已知7+tan(
2-B)=0,2tan(a-B)-1=0,tan 2@=
2
B.
3
c.
D
x
6已知函数x)=x,g(x)=2-x<2,
若p:f(x)是(0，+)上的增函数，q:g(m)>0,且p是q
爵
logx-1,x≥2(a>0,且a≠1)，
的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
A.(0,1)U(1,2]
B.(0,1)U[2,+)
c[0u(1,2
D分，1)u[2,+)
7.已知于为函数x)=sin(ox+p)(o>0,m的最小正周期Te(任，2r,则oe
B.49m
C.63m
D.81m
16
16
16
8.已知实数x,y,z满足e-e2=e(x-2)≠0，e'-e3=e(y-3)≠0，e2-e5=e(z-5)≠0，其中e为自然对数的底数.则x,
y,:的大小关系是
靠
A.xB.YC.zD.z数学第1页（共4页）
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，
部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组样本数据分别为：31,6,12,19,17,16,11，则该组样本数据的
A.极差为27
B.上四分位数为19C.平均数为15.5
D.方差为37
10.设F,F,分别为双曲线C:x-=1的左、右焦点，P(o)为C上一点，则
A.C的焦距为25
B.当P在C的右支上，且yo=4时，IPF,I=6
C.当。=1时，点P到C的两条渐近线距离之和为25
5
D.当o45时，△PF,B为直角三角形
5
11.如图，四棱台ABCD-A,B,C,D,的底面是正方形，AB=2A,B,=2A1A=4,AA1⊥底面ABCD.动点P满足BP⊥CC,
则下列判断正确的是
A.点P可能在直线AA,上
B.点P可能在直线B,D,上
C.若点P在底面ABCD内，则三棱锥A-PB,D,的体积为定值
D.若点P在棱C,C上，则SP1
CP=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12在·(1-2)°的展开式中，箭数项为
3已知平面向量a,b满足Ia=b1=3,且a在b上的投影向量为-b,则向量a与向量b的夹角为
14.著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴
长的乘积已如平面内，椭圆c号卡=1(0c<3)经过平移和旋转后，能得到以O(0.0为一个钻点.且过点
(3,4)的椭圆C,则椭圆C面积的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin B=bcos2
A
(1)求角A的大小：
(2)若D为BC的中点，A0=76=2,求△C的面积
数学第2页（共4页）高三数学 【解析】 p：m 0，考虑 q：g(m) 0 .
参考答案及解析 当m 2时， g(m) 0等价于0 m 2，
1.【答案】C 当m 2时， g(m) 0等价于 loga m 1，
x
【解析】由 A x |1 2 16, x Z ，得 A 0,1, 2,3, 4 ， 由已知： p是 q的必要不充分条件，得存在m 2，使得 loga m 1 .
B x x 3 0 B x |1 x 3 2,3 0 a 1时，对任意的m 2， loga m 0 1成立；由 ，得 ，所以 A B .
x 1
a 1时，m 2， (loga m)min loga 2，因此 loga 2 1 a 2 .
故选：C.
综上：0 a 1或 a 2 .
2.【答案】D
z 故选：B.
【解析】由 1 i，得 z 3 i，所以 | z 2i | 3 2 .
2 i 7.【答案】C
故选：D.
2 T kT 8
3.【答案】D 【解析】由三角函数的图象与性质可得 ( ) , k Z ，解得T ,k Z，又因为3 3 3 4 2 3(1 2k)
【解析】易知圆锥的底面半径 R 2 ，母线 l 2，所以圆锥的表面积 S πR2 πRl 2 2 2 π . T 3 , 2 ，故有且仅有 k 1 2 8 9 9x 时满足题意，此时T ，解得 ，此时 f x sin( ) ，代入 x= ，
4 9 4 4 3
故选：D.
3 k’ ,k’ Z 2 k’ 1 7 63 可得 ，又因为 ，故有且仅有 时满足题意，此时 .故 .
4.【答案】B 4 4 16
【解析】 a4 a5 a
故选：C.
6 q 3 8， a4 a5 a 56a 6 .1 a2 a3 8.【答案】D
故选：B.
f (t) et et f (x) e2 2e, f (y) e3【解析】设 ，则 3e, f (z) e5 5e ，
5.【答案】C
1 1 t因为 f (t) e e， f (t)在定义域上单调递增，又 f (1) 0，所以 f (t)在 (1, )上单调递增，在 ( ,1)上单
1 tan( ) tan 2 7 1
【解析】由题意可得 tan ，且 tan tan[( ) ] 1 1 ，故7 1 tan( ) tan 3 调递减，1
2 7
且 f (x) f (2), f (y) f (3), f (z) f (5)， x 2, y 3, z 5.
2 tan 2
1

tan 2 3 3 . 所以 f (x) f (y) f (z)(x 1, y 1, z 1)，
1 tan 2
1 1
2

4
3 故 z y x.
故选：D.
C. 9.【答案】BD故选：
【解析】将样本数据按照从小到大的顺序排列为：6，11，12，16，17，19，31.
6.【答案】B
对于 A，根据极差定义可知，该组数据的极差为31 6 25，故 A错误；
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对于 B，因为7 0.75 5.25，所以该组数据的上四分位数为19，故 B正确；
AAC C CP OC 4 3 C P 1中，可以求得 2 2 ， CP ，所以 1 ，故 D
6 11 12 16 17 19 31 1 1 C1C 2 (4 2 2 2) 2 3
对于 C，该组数据的平均数为 16 OC CC 3 CP 2，故 C错误； 1
7
正确.
(6 16)2 (11 16)2D (12 16)
2 (17 16)2 (19 16)2 (31 16)2 376
对于 ，该组数据的方差为 ，故 D
7 7 故选：ACD.
12.【答案】 160
正确.
1 2x2 6 r 2 r 1【解析】二项式 的展开式的第 r 1项为Tr 1 C6 ( 2x ) ，则 6 (1 2x2 )6 的展开式的第 r+1 项为x
故选：BD. 1
6 C
r
6 ( 2x
2 )r ( 2)rCr x2r 66 ，r = 0,1,2，…，6，令 2r 6 0，得 r 3，所以常数项为 ( 2)
3C36 160.
10.【答案】ABD x
故答案为： 160 .
【解析】易得C的焦距为 2 5 ，故 A正确；由 P在双曲线C的右支上，且 y0 4可得 x0 5 ，从而 P 5,4 ， 5π
13.【答案】
又因为 F2 5,0 ，显然此时 PF2 x轴，即 PF2 =4，所以 PF1 = PF2 +2=6 6（此处用两点间的距离公式、勾股定
3 a b b 3 a b 3
理皆可得出），故 B正确；易得C的渐近线方程为 2x y 0
【解析】由 a 在 b 上的投影向量为 b ，得 b，所以 cos a,b ，向量 a 与
，当 x0 1时， P(1,0)，故点 P到C的两条渐近线 2 | b | | b | 2 a b 2
2 2 4 5 5π
距离之和为
向量 b 的夹角为 .
5 （此处也可以根据对称性直接得到距离之和），故 C错误；22 12 2 2
6
2 ( 1) 5π
故答案为： .
4 5 3 5 6
由 y0 可得 x0 ，取 P
3 5 4 5 8 5 4 5 2 5 4 5
, ，PF1 , ，PF2 , ，因为 PF PF 0，5 5 5 5 5 5 5 5
1 2
14.【答案】3 5π
3 5 【解析】设椭圆C F 2另外一个焦点为 ，则 | AF | | AO | 2a 6， | AO | 3 42 5 即 | AF | 1，
所以 F1PF2 90 ，因此△PF1F2为直角三角形，由对称性可知当 x0 时也成立，故 D正确. ，5
所以 F 在以 A为圆心，1为半径的圆上，
故选：ABD.
故 |OF | 2c |OA | 1 4，即 c 2，
11.【答案】ACD
2 2 2
【解析】点 P的轨迹是过点 B且与C1C垂直的平面 （不包括点 B 所以b a c 9 c 5，），因为 A1A与C1C所在直线相交且不垂直，
所以椭圆C面积的最大值为3 5π .
因此直线 AA1 与平面 相交，所以 A 正确；因为 AA1 底面ABCD ，所以 AA1 BD ，又 AC BD ，
A1A，AC 平面AA1C1C ， A1A AC A ，所以 BD 平面AA1C1C ，因为 CC1 平面AAC C
故答案为：3 5π .
1 1 ，所以
BD C C π1 ,因此平面 平面 ABCD BD B
3
，又 1D1 / /BD，所以 B1D1 / / ，故 B 不正确；若点 P在底面 15.【答案】（1） （6分）（2） （7分）3 2
ABCD内，则点 P 在直线 BD上，易证 BD / /平面AB1D1，所以点 P 到平面 AB1D1 的距离为定值，所以
【解析】（1）由正弦定理，得 sin Asin B sin Bcos A ，································· ······ ····· ··············1分
2
V V
三棱锥A PB1D1 三棱锥P AB D 为定值，故 C正确；设1 1 BD的中点为O，若点 P在棱C1C 上，则 BD CC1，BP CC1， 又 B (0, π)，所以 sin B 0，
BD BP B，BD，BP 平面BDP ，所以CC1 平面BDP ，又OP 平面BDP，所以OP C1C ,在梯形
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sin A cos A所以 ，································· ····· ····· ····· ····· ····· ····· ······· ····· ····· ··········2分 f (x)是增函数，即 f (x) 0在（0，+∞）上恒成立， ………………………………………………8分
2
所以 2sin A cos A cos A，································· ··· ····· ····· ····· ····· ····· ····· ····· ···········4分 方法一：即 a x x ln x在（0，+∞）上恒成立，所以 a x x ln x ，
2 2 2 max
A (0, π) A 0, π cos A 0 设
g(x) x x ln x，x＞0，则 g (x) 2 ln x，x＞0，………………………………………………11分
因为 ，所以 ，所以 ，································· ········ ····· ·········5分2 2 2
A 1 A π π 1当 x 0, 时， g (x) 0， g(x)单调递增，
所以 sin ，解得 ，即 A .······························ ····· ····· ····· ····· ········ ····· ·····6分 e2
2 2 2 6 3
x 1当 2 ,

时， g (x) 0， g(x)单调递减，
（备注：推导出 sin A A A 1 cos 给 2 分；推导出 sin 给 3分，得出角 A的大小给 1 分） e
2 2 2
（2）因为D为 BC的中点， x 1 1 1∴当 2 时， g(x)取得极大值，也是最大值，∵ g 2 2 ，……………………………………14分
1 e e e
所以 AD (AB AC ) ,·································· ····· ········ ····· ········ ····· ······· ·················8分
2
1
∴ a的取值范围是 2 , ． ……………………………………………………………………………15分
AD 7
e
又 ，b 2

，
2
（备注：得出 f '(x)≥0在（0，+∞）恒成立给 2 分；分离参数给 1 分，得出 g(x)的最大值给 5分；下结论给 1 分，
7 1
两边平方得到 (c2 4 2c) 2，整理可得 c 2c 3 0，································· ··········10分4 4 过程酌情给分）
解得 c 1或 c 3（舍去）································· ··················································· ··11分
ln x a
a
方法二：即 1 0在（0，+∞）上恒成立，所以
x
ln x 1 0，
1 3
x min
所以 ABC的面积 S bc sin A .················································ ···· ······· ··········13分
2 2 设 h(x) ln x a 1，x＞0，则 h (x) 1 a x a ，x＞0，………………………………………9分
x x x
2 x2
（备注：写出中线定理 AD 1 (AB AC)给 2 分；求出 c = 1给 3分；得出三角形面积给 2 分）
2 ①若 a 0，则 h (x) 0， h(x)在 (0, )上单调递增，
16. 1 2x y 2 0 6 2
1
【答案】（ ） （ 分） （ ） 2 ,

（9分） 当 x趋近于 0 时， h(x)趋近于 ，即 f (x) 0不恒成立，
e
所以 f (x)在 (0, )上不单调递增，与题意不符，舍去．………………………………………………11分
【解析】（1）当 a 1时， f (x) (x 1)ln x， f (x) ln x x 1 ln x 1 1， …………………2分
x x ②若 a 0，则
f (1) 0， f (1) 2， …………………………………………………………………………………4分
当 x (0,a)时， h (x) 0， h(x)单调递减，
∴曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切线方程为 y f (1) f (1)(x 1)，
当 x (a, )时， h (x) 0， h(x)单调递增，
整理得， y 2(x 1)，
则当 x a时， h(x)取得极小值，也是最小值，
∴曲线 y f (x)在 (1, f (1))处的切线方程为 2x y 2 0． ………………………………………6分
∴ h(a) ln a 2 0，
（备注：求导给 2 分；求出斜率和切点给 2分；求出切线方程给 2分）
解得 a 1 2 ，………………………………………………………………………………………………14分
（2） f (x) ln x x a a ln x 1 e,x＞0，
x x
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∴ a
1 1 3
的取值范围是 2 , ． …………………………………………………………………………15分 n1 AC 0 x y 0， e 4 4
设平面CDA的法向量为 n1 (x, y, z)，则 ····························10分
1 3
（备注：得出 f '(x)≥0在（0，+∞）恒成立给 2分；构造 h(x)给 1 分；令 h(x) ≥0求 a的取值范围给 5分，未讨 n1 AD 0 x z 0，min 2 2
论 a的正负扣 2分；下结论给 1 分，过程酌情给分 ） 令 x 3，得 y 3, z 3，所以 n1 (3, 3, 3)，································ ······ ······ ······11分

17. 2 5【答案】（1）证明见解析 （6分）（2） （9分） 易知平面EDA的一个法向量为 n
5 2
(0,1,0)，································ ······ ······ ······ ············12分

【解析】（1）证明：因为 ABC为正三角形，且D,E,F分别是各边的中点， 所以 cos n1,n
n n 3 5
2 1 2 ，······························· ······ ······ ······· ··········14分| n1 | | n2 | 15 1 5
所以 ADE, CDF , BEF均为正三角形.
C DA E 2 5所以二面角 的正弦值为 .································ ·· ······ ······ ······ ······ ··········15分
分别取DE,EF ,FD的中点 A1,B 51,C1，
（备注：建系给 1分；写出点的坐标给 1 分；写出平面 EDA的法向量给 1分；计算出平面 CDA的法向量给 3 分；
则 AA1 DE,BB1 EF ,CC1 DF ， AA1 BB1 CC1 ,································· ················1分
求出二面角的正弦值给 3 分，过程酌情给分）
又因为平面 ADE 底面DEF ，平面 ADE 底面DEF DE ,
p 0 1
AA DEF BB DEF 18.【答案】（1） ， p （4分）（2） p(Y 1| X 2)
2
（5分）
所以 1 平面 ，同理可得 1 平面 ,································· ······· ··············3
(2,0)
分 (2, 1) 9 3
所以 AA BB ,································· ······· ······· ······· ······· ······· ······· ············ ··········4分 （3）分布列见解析（8分）1 1
【解析】（1） X 2，Y 0的情况有，甲抢到 2题并答对 2题，乙未抢到题，不符合题意；甲抢到 2题并答对
所以四边形 AA1B1B为平行四边形，所以 AB A1B1，
2题，乙抢到 2题并答对 1题答错 1题，不符合题意.
因为 AB 平面DEF ， A1B1 平面DEF ，所以 AB 平面DEF .··························· ·······5分 所以 p(2,0) 0，································································································ ··········2分
同理可得CB 平面DEF ， X 2，Y 1的情况有，甲抢到 2题并答对 2题，乙抢到 1题并答错 1题，
又 AB BC B , AB 平面ABC ，BC 3 2平面ABC，
p C2 1 2 2 1所以 (2, 1) 3 .····························· · ······ ······ ······ ······ ······ ···············4分
2 3 3 9
所以平面 ABC∥平面DEF .································· ····················································6分
（备注：做出辅助线给 1分；证明 AB∥平面 DEF给 4 分；证明平面 ABC∥平面 DEF给 1分，过程酌情给分 （备注：求得） p(2,0)给 2 分；求得 p(2, 1) 给 2 分）

（ 2）以 A1 为坐标原点，分别以 A1E ， A1F ， A A 为 x, y, z
3 2
1 轴的正方向 ,建立空间直角坐标系，则 2 1 2 1（2） p(X 2) C3 ，···························· ······· ······ ······ ······ ······ ······ ·······6分
2 3 6

A 0,0, 3
1 3 3 1 1
,C , , ,D ,0,0 ,E ,0,0 ，
2 4 4 2 2 2
1

故 p(Y 1| X 2) 2 9 .···························· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······9分
1
AC 1 , 3
3
所以 ,0 ,AD
1 3
,0, ,················································ ··········8分 6
4 4 2 2
（备注：求得 p(X 2)给 2 分；求得 p(Y 1/ X 2)给 3 分）
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（3） X 0表示：甲抢到 2题并答对1题答错1题，或甲抢到0题，
f (x ) 1易知该切线的斜率为 0 x ， …………………………………………………………………2分
1 3p(X 0) C2 C1 2 1 1
3 0
7
故 3 2 2 3 3
2
，
24 ∵圆 A与抛物线C 在点T 处有相同的切线，
已知 X 0，则Y的可能取值有 3, 1,1,3， 2 x0 0 1
∴ 1 x 1x 3 ，解得 0 ，0 x0
1
3 3
2
8 ∴圆 A与抛物线C 有公共点T (1, 2)， …………………………………………………………3分p(Y 3 | X 0) 2 3 7 ，···························· ·····································11分63 ∴和谐圆的半径为 (3 1)2 (0 2)2 2 2 ，
24
3 3 ∴3是抛物线C 的和谐数，且3的和谐圆为 (x 3)
2 y2 8． ………………………………4分
1 1

p(Y 3 | X 0) 2
3 1 ························································· ··········12 （备注：设出和谐圆 A方程给 1 分；求出切线斜率给 1 分；求出圆 A与抛物线的公共点给 1分；下结论给 1 分）7 ， 分63
24 （2）由对称性，只需考虑T1 ，T2， ，Tn均在 x轴上方的情形，不妨设Tk (xk , 2 xk )，
1 3 2 3 C1 2 1 C2 1 C1 2 1 2
（i）∵ ak 为抛物线C 的和谐数，
2 3 3 3
3 2 2 3 3 p(Y 1| X 0) 3

4
7 ，·····················14分 2 2 27 ∴ ak 的和谐圆为 Ak : (x ak ) y rk ，
24
2 xk 0 1
3 2 3 ∴由(1) 可知， 1，解得 x a 2， ……………………………………………5分
1 C2 2 1 C2 1 C1 2 1 1
xk a x
k k
k k
2 3 3 3
3 2
p(Y 1| X 0) 2 3 3 3 27 ，·······················15分7 ∴Tk (ak 2,2 ak 2)，
24
∵Tk 在圆 Ak 上，
因此，随机事件 X 0发生了，随机变量Y的分布列如下：···························· ··········17分
2 2
Y 3 1 1 3 ∴ rk (ak 2 ak ) (2 ak 2) 2 ak 1， …………………………………………………6分
p 8 4 2 1 ∵ k {2,3, ,n 1,n}，圆 Ak 1与 Ak 外切，且 ak 1 a63 7 7 63 k
，
∴ ak ak 1 rk 1 rk 2 ak 1 1 2 ak 1，即 (ak 1) (ak 1 1) 2 ak 1 1 2 ak 1，
（备注：求得 p(X 0)给 1 分；求出所有的概率值给 5 分；写出分布列给 2 分）
19.【答案】（1）3是抛物线C 的和谐数，且3的和谐圆为 (x 3)2 y2 8（4分） ∴ ak 1 ak 1 1 2， …………………………………………………………………………8分
（2）（i） an 4n
2 1（6分） （ii）证明见解析（7分） ∴数列{ an 1}是等差数列，其公差为 2，首项为 a1 1 2；
【解析】（1）假设3是抛物线C 的和谐数，则3的和谐圆为 A : (x 3)2 y 2 r 2 ，………1分 ∴ an 1 2 2(n 1) 2n，即 an 4n
2 1，
由对称性，不妨设圆 A与抛物线C 有公共点T (x0 , 2 x0 )， ∴数列{a }的通项公式为 a 4n2n n 1． …………………………………………………………10分
显然抛物线C 在点T 处的切线，即曲线 f (x) 2 x在点T 处的切线， （备注：推导出 rk与ak 的关系式给 2 分；证明出{ an 1}为等差数列给 2 分；写出 an的通项公式得 2分）
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（ii）证明：显然点 A0 (1,0)为抛物线C 的焦点，∴|A T | a 1 4k
2
0 k k ， ……………………11分 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度
易知|A0Ak | 4k
2，且|AkTk | rk 2 ak 1 4k， 1 单选 5 指数不等式、集合交集运算 易
∴△A AT 2 单选 5 复数的运算、复数的模 易0 k k 为等腰三角形，
1 3 单选 5 圆锥的表面积求解 易
易知△A0AkTk 的面积 S 2 2k 4k (4k ) (2k)
2 4k 2 4k 2 1， …………………………12分
2
4 单选 5 等比数列基本量求解 中
当 k 2 4k 2时， 1
1 1
2 k 2 2 k 2 2 2 2
k 1
4 k k
，
5 单选 5 三角恒等变换、两角和、二倍角的正切公式 中
2 1 3 6 单选 5 幂函数性质、分段函数值域、根据常用逻辑用语求参 中∴ Sk 4k 2(k ) 8(k k)， ………………………………………………………………14分k
7 单选 5 三角函数的图象与性质 中
1 1 1 1 1 1
∴ 3 ， …………………………………16分Sk 8(k k) 8k(k 1)(k 1) 16

k(k 1) k(k 1)

8 单选 5 利用导数研究函数性质 中难
n 1 1 n 1 1 1 1 1 1 9 多选 6 样本数据特征 易
∴ ，
k 2 Sk 16 k 2 k(k 1) k(k 1)

16 2 n(n 1)

32 10 多选 6 双曲线焦距、渐近线、焦点三角形 中
n
1 1 11 多选 6 以动点为载体，研究线面垂直、距离求解、体积定值问题 中难∴不等式 S 32得证． ………………………………………………………………………17分k 2 k
12 填空 5 二项式展开式 易
n
（备注：推导出三角形的面积公式给 2分；利用放缩法构造裂项相消并求和，得出 1 1 1 1 1＜ ＜ 给
k 2 Sk 16 2 n(n 1)

32 13 填空 5 投影向量、向量夹角 中
4分；下结论给 1 分，过程酌情给分） 14 填空 5 椭圆的第一定义、椭圆面积最值 中难
15 解答 13 解三角形、正弦定理、中点问题、三角形面积公式 易
16 解答 15 导数的几何意义、根据函数单调性求参数取值范围 中
17 解答 15 证明面面平行、求二面角的正弦值 中
18 解答 17 条件概率、分布列 中
19 解答 17 圆锥曲线新定义 难
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