资源简介

2024年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九下·惠阳模拟）的倒数是（　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：两个乘积互为1的数，互为倒数，据此即可求解.
2．（2024九下·惠阳模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
3．（2024九下·惠阳模拟）随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）.
A．仁 B．义 C．智 D．信
【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与“仁”是相对.
故答案为：A.
【分析】根据正方体展开图的特征即可求出答案.
4．（2024九下·惠阳模拟）如图，.若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°.
故答案为：B.
【分析】设CD与EF交于G，根据平行线的性质可得∠1=∠C=58°，∠C+∠CGE=180°，结合∠C的度数求出∠CGE的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
5．（2024九下·惠阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．（）
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.（），故该选项不正确，不符合题意；
C.，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为D
【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
6．（2024九下·惠阳模拟）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于 轴对称的点的坐标为（3，-2），
故答案为：D．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
7．（2024九下·惠阳模拟）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是：
．
故答案为：D．
【分析】根据函数图象的平移规则：上加下减，左加右减，即可求出答案.
8．（2024九下·惠阳模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．（2024九下·惠阳模拟）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：箕面与水平地面的夹角为，
，
∴箕面绕点旋转的度数为，
故答案为：A．
【分析】
本题考查旋转的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键。根据平角的定义可知：， 箕面绕点旋转后得到的角为， 即可得出答案.
10．（2024九下·惠阳模拟）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故答案为：B
【分析】利用列表法列出算式，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·惠阳模拟）因式分解 =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
12．（2024九下·惠阳模拟）若，则　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式，绝对值的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
13．（2024九下·惠阳模拟）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是　 　同学．
【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
成绩最稳定的同学是丁，
故答案为：丁．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，成绩越稳定.
14．（2024九下·惠阳模拟）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为　 　 Pa．
【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1，1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【分析】先求出反比例函数的解析式，再将S=0.25代入可得答案。
15．（2024九下·惠阳模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　度．
【答案】105
【知识点】三角形的外角性质；补角
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得∠1=45°-30°=15°，
∴∠2=90°-∠1=75°
∴故答案为：105
【分析】根据三角形外角性质可得∠1=45°-30°=15°，再根据直角可得∠2=90°-∠1=75°，再根据补角即可求出答案.
16．（2024九下·惠阳模拟）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到取得最大值时，最大值，连接，并延长交于点，得到当点P再AO的延长线上时，PO最大解题即可．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）
17．（2024九下·惠阳模拟）（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】解：（1）
；
（2），
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再根据有理数的四则运算即可求出答案.
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．（2024九下·惠阳模拟）教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
【答案】解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程，解方程即可求出答案.
19．（2024九下·惠阳模拟）已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形为平行四边形
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（）由矩形得到，，，根据直线平行判定定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（2024九下·惠阳模拟）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
【答案】（1）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
（2）解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）画树状图，列出所有等可能结果，即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2024九下·惠阳模拟）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
22．（2024九下·惠阳模拟）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】（1）（1）解：如图1，过作于，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
∵12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
∴
∴在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点B作于，由垂直的定义可知： 根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形BCDM是矩形，再由CB=CD和正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可知：则四边形是正方形，由正方形的性质：四条边都相等可知：，再由12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
可知：，最后由锐角三角函数定义：，代入数据计算即可得，最后由线段的和差计算即可得解；
（2）过作于，过作于，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形为矩形，再有矩形的性质：对边相等可知：，再根据勾股定理：在Rt△BCF中，，再由线段的和差运算可知： ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 最后解直角三角形得出，再由计算即可得解．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（2024九下·惠阳模拟）综合探究：如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．
（1）如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
如图1，是圆O的直径，
，
又，
，
点E与点O重合，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：，
，
当点E在上时，
则，，
，，
在和中，
由勾股定理得，
即，
解得，
；
当点E在上时，同理可得，
解得，
；
综上所述，BC的长为或；
（3）解：．理由如下：
如图3，连接．
点C是的中点，点O是的中点，
是的中位线，
又与半圆O相切，
．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到，结合已知条件和等腰三角形“三线合一”性质推知，再由等腰 “三线合一”性质得到，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）分类讨论：点E在线段和线段上，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由三角形中位线定理知，又由切线的性质知，再根据切线判定定理即可求出答案.
24．（2024九下·惠阳模拟）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【答案】（1）（0，）；
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；

（4）或
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
1 / 12024年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九下·惠阳模拟）的倒数是（　　）
A． B．2024 C． D．
2．（2024九下·惠阳模拟）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《 逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·惠阳模拟）随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）.
A．仁 B．义 C．智 D．信
4．（2024九下·惠阳模拟）如图，.若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·惠阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．（）
C． D．
6．（2024九下·惠阳模拟）在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·惠阳模拟）将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·惠阳模拟）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·惠阳模拟）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·惠阳模拟）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九下·惠阳模拟）因式分解 =　 　．
12．（2024九下·惠阳模拟）若，则　 　．
13．（2024九下·惠阳模拟）甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则成绩最稳定的是　 　同学．
14．（2024九下·惠阳模拟）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为　 　 Pa．
15．（2024九下·惠阳模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　度．
16．（2024九下·惠阳模拟）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，第17题8分，第18题6分，第19题7分，共21分）
17．（2024九下·惠阳模拟）（1）计算：；
（2）解不等式：．
18．（2024九下·惠阳模拟）教育部印发的《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
19．（2024九下·惠阳模拟）已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．
（1）尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）求证：四边形为平行四边形
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
20．（2024九下·惠阳模拟）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
21．（2024九下·惠阳模拟）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
22．（2024九下·惠阳模拟）综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25 1
【问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
23．（2024九下·惠阳模拟）综合探究：如图，已知，以为直径作半圆O，半径绕点O顺时针旋转得到，点A的对应点为C，当点C与点B重合时停止．连接并延长到点D，使得，过点D作于点E，连接，．
（1）如图1，当点E与点O重合时，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，若点P是线段上一点，连接，当与半圆O相切时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
24．（2024九下·惠阳模拟）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1．
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：两个乘积互为1的数，互为倒数，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
3．【答案】A
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与“仁”是相对.
故答案为：A.
【分析】根据正方体展开图的特征即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°.
故答案为：B.
【分析】设CD与EF交于G，根据平行线的性质可得∠1=∠C=58°，∠C+∠CGE=180°，结合∠C的度数求出∠CGE的度数，然后根据对顶角的性质进行解答.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的加减法；二次根式的加减法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.（），故该选项不正确，不符合题意；
C.，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故答案为D
【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
6．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于 轴对称的点的坐标为（3，-2），
故答案为：D．
【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的关系式是：
．
故答案为：D．
【分析】根据函数图象的平移规则：上加下减，左加右减，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：箕面与水平地面的夹角为，
，
∴箕面绕点旋转的度数为，
故答案为：A．
【分析】
本题考查旋转的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键。根据平角的定义可知：， 箕面绕点旋转后得到的角为， 即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故答案为：B
【分析】利用列表法列出算式，再利用扇形的面积公式和菱形的面积公式求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据二次根式，绝对值的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
13．【答案】丁
【知识点】方差
【解析】【解答】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，，
成绩最稳定的同学是丁，
故答案为：丁．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，方差越小，成绩越稳定.
14．【答案】400
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1，1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【分析】先求出反比例函数的解析式，再将S=0.25代入可得答案。
15．【答案】105
【知识点】三角形的外角性质；补角
【解析】【解答】解：如图，
由题意可得∠1=45°-30°=15°，
∴∠2=90°-∠1=75°
∴故答案为：105
【分析】根据三角形外角性质可得∠1=45°-30°=15°，再根据直角可得∠2=90°-∠1=75°，再根据补角即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到取得最大值时，最大值，连接，并延长交于点，得到当点P再AO的延长线上时，PO最大解题即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
解得．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，0指数幂，特殊角的三角函数值化简，再根据有理数的四则运算即可求出答案.
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
18．【答案】解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆，列方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（）由矩形得到，，，根据直线平行判定定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
20．【答案】（1）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
（2）解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）画树状图，列出所有等可能结果，即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
22．【答案】（1）（1）解：如图1，过作于，
则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
∵12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
∴
∴在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）解：过作于，过作于，
，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，，
即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点B作于，由垂直的定义可知： 根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形BCDM是矩形，再由CB=CD和正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形可知：则四边形是正方形，由正方形的性质：四条边都相等可知：，再由12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到
可知：，最后由锐角三角函数定义：，代入数据计算即可得，最后由线段的和差计算即可得解；
（2）过作于，过作于，根据矩形的判定可知：四个角都是直角的四边形是矩形，可知：四边形为矩形，再有矩形的性质：对边相等可知：，再根据勾股定理：在Rt△BCF中，，再由线段的和差运算可知： ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 最后解直角三角形得出，再由计算即可得解．
23．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
如图1，是圆O的直径，
，
又，
，
点E与点O重合，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：，
，
当点E在上时，
则，，
，，
在和中，
由勾股定理得，
即，
解得，
；
当点E在上时，同理可得，
解得，
；
综上所述，BC的长为或；
（3）解：．理由如下：
如图3，连接．
点C是的中点，点O是的中点，
是的中位线，
又与半圆O相切，
．
【知识点】等边三角形的判定；勾股定理；切线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得到，结合已知条件和等腰三角形“三线合一”性质推知，再由等腰 “三线合一”性质得到，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）分类讨论：点E在线段和线段上，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由三角形中位线定理知，又由切线的性质知，再根据切线判定定理即可求出答案.
24．【答案】（1）（0，）；
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）；
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；

（4）或
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
1 / 1

展开更多......

收起↑