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第34课时　概率初步
【知识要点】
1.确定性事件与随机事件
(1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中　一定会　发生的事件.
(2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中　一定不会　发生的事件.
(3)随机事件:在一定条件下,　可能发生也可能不发生　的事件.
(4)事件的分类:
事件
【对点练习】
1.(教材再开发·人教九上P128练习改编)下列事件中,是随机事件的是(D)
A.太阳每天早晨从西边升起
B.△ABC中,AB+AC>BC
C.两个负数相乘,积为正
D.两个数相加,和大于其中的一个加数
【知识要点】
2.事件的概率及求法
(1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生　可能性大小　的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A).
(2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都
　相等　,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P(A)= 　.
(3)事件A发生的概率的取值范围是　0≤P(A)≤1　.
特别地,①当A为必然事件时,P(A)=　1　.
②当A为不可能事件时,P(A)=　0　.
③当A为随机事件时,　0(4)求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法.
【对点练习】
2.(1)某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题,若小明和小亮每人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是(C)
A. B. C. D.
(2)(教材再开发·人教九上P132例2改编)如图,任意将图中的某一白色方块涂黑后,能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是(A)
A. B. C. D.
【知识要点】
3.用频率估计概率
在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P(A)=　p　,其中 p满足　0≤p≤1　.
【对点练习】
3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为　0.6　.
考点1　事件类型及其发生可能性的大小
【示范题1】(2024·湖北中考)下列各事件,是必然事件的是(D)
A.掷一枚正方体骰子,正面朝上恰好是3
B.某同学投篮球,一定投不中
C.经过红绿灯路口时,一定是红灯
D.画一个三角形,其内角和为180°
【答题关键指导】
　事件分为确定事件和不确定事件,确定事件分为必然事件和不可能事件.
(1)一定发生的事件是必然事件,必然事件发生的概率是1,如太阳每天东升西落.
(2)一定不会发生的事件是不可能事件,不可能发生的事件发生的概率是0.
(3)也可能发生,也可能不发生的事件是不确定事件;不确定事件发生的概率大于0小于1.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)下列事件是必然事件的是(B)
A.打开电视机,中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B.从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员,至少有两名学生来自同一个班级
C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
2.(2024·武汉中考)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是(A)
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.确定性事件
考点2　概率的求法
【示范题2】(2024·连云港中考)下列说法正确的是(C)
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答题关键指导】
1.画树状图法要做到不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.
2.运用公式P(A)=求简单事件发生的概率,即找到事件所有可能的结果种数n和使事件A发生的结果种数m.再将两者相除,得到结果.
【跟踪训练】
1.(2024·广西中考)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是(D)
A.1 B. C. D.
2.(2024·贵州中考)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为0.4,下列说法正确的是(A)
A.小星定点投篮1次,不一定能投中
B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次
D.小星定点投篮4次,一定投中1次
3.(2024·山东中考)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是(C)
A. B. C. D.
4.(2024·山西中考)一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是(B)
A. B. C. D.
考点3　用频率估计概率
【示范题3】(2024·扬州中考)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后,整理的数据如下表:
累计 抛掷 次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面 朝上 次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面 朝上 频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上数据可以估计出“盖面朝上”的概率为　0.53　.(精确到0.01)
【答题关键指导】
用频率估计概率
(1)用频率估计概率时,一般是通过观察所计算的各频数数值的变化(集中)趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确,频率只是一个估计值,不同的试验受试验次数及试验条件的影响,所得到的结果可能有所不同.
(2)在用频率估计概率时,要注意试验的次数越多,事件发生的频率越接近于概率.计算时用事件发生的次数除以试验的总次数,一般不用多个频率的平均数来估计事件发生的概率.
【跟踪训练】
(2024·厦门模拟)社团课上,同学们进行了“摸球游戏”:在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球,将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程.整理数据后,制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示,经分析可以推断盒子里个数比较多的是　白球　.(填“黑球”或“白球”)
考点4　概率的应用
【示范题4】(2024·内江中考)如图所示的电路中,当随机闭合开关S1,S2,S3中的两个时,灯泡能发光的概率为(A)
A. B. C. D.
【答题关键指导】
列举(列表或画树状图)法:当一次试验涉及多个因素(对象)时,由于不能直观得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n,所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰地列举出来,再根据公式进行计算.
【跟踪训练】
1.(2024·河南中考)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为(D)
A. B. C. D.
2.(2024·武汉中考)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是(D)
A. B. C. D.
3.(2024·连云港中考)数学文化节猜谜游戏中,有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片,分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D,其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”,字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片,则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是　　　　　;
(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片,请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
【解析】(1)∵字谜A、字谜B、字谜C、字谜D,其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”,字谜C、字谜D是猜“数学家人名”,
∴小军从中随机抽取一张字谜卡片,则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是=.
答案:
(2)画树状图如下:
共有12种等可能结果,其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种,即CD,DC,
∴小军抽取的字谜均是“猜数学家人名”的概率是=.
1.(2024·福建中考)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是(B)
A. B. C. D.
2.(2022·福建中考)一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是 　.
3.(2023·福建中考)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球 说明你的理由.
【解析】(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红,黄①,黄②,黄③,共4种等可能的结果,
记“首次摸得红球”为事件A,则事件A发生的结果只有1种,∴P(A)=,
∴顾客首次摸球中奖的概率为;
(2)他应往袋中加入黄球;理由如下:
记往袋中加入的球为“新”,摸得的两球所有可能的结果列表如下:
球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 — 红,黄① 红,黄② 红,黄③ 红,新
黄① 黄①,红 — 黄①,黄② 黄①,黄③ 黄①,新
黄② 黄②,红 黄②,黄① — 黄②,黄③ 黄②,新
黄③ 黄③,红 黄③,黄① 黄③,黄② — 黄③,新
新 新,红 新,黄① 新,黄② 新,黄③ —
共有20种等可能结果,
(i)若往袋中加入的是红球,两球颜色相同的结果共有8种,此时该顾客获得精美礼品的概率 P1==;
(ii)若往袋中加入的是黄球,两球颜色相同的结果共有12种,此时该顾客获得精美礼品的概率 P2==;
∵<,∴P1【知识要点】
1.确定性事件与随机事件
(1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中 发生的事件.
(2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中 发生的事件.
(3)随机事件:在一定条件下, 的事件.
(4)事件的分类:
事件
【对点练习】
1.(教材再开发·人教九上P128练习改编)下列事件中,是随机事件的是( )
A.太阳每天早晨从西边升起
B.△ABC中,AB+AC>BC
C.两个负数相乘,积为正
D.两个数相加,和大于其中的一个加数
【知识要点】
2.事件的概率及求法
(1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生 的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P( ).
(2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都
,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P( )= .
(3)事件A发生的概率的取值范围是 .
特别地,①当A为必然事件时,P( )= .
②当A为不可能事件时,P( )= .
③当A为随机事件时, .
(4)求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法.
【对点练习】
2.(1)某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题,若小明和小亮每人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(教材再开发·人教九上P132例2改编)如图,任意将图中的某一白色方块涂黑后,能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
【知识要点】
3.用频率估计概率
在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P( )= ,其中 p满足 .
【对点练习】
3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为 .
考点1　事件类型及其发生可能性的大小
【示范题1】(2024·湖北中考)下列各事件,是必然事件的是( )
A.掷一枚正方体骰子,正面朝上恰好是3
B.某同学投篮球,一定投不中
C.经过红绿灯路口时,一定是红灯
D.画一个三角形,其内角和为180°
【答题关键指导】
　事件分为确定事件和不确定事件,确定事件分为必然事件和不可能事件.
(1)一定发生的事件是必然事件,必然事件发生的概率是1,如太阳每天东升西落.
(2)一定不会发生的事件是不可能事件,不可能发生的事件发生的概率是0.
(3)也可能发生,也可能不发生的事件是不确定事件;不确定事件发生的概率大于0小于1.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)下列事件是必然事件的是( )
A.打开电视机,中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B.从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员,至少有两名学生来自同一个班级
C.小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
2.(2024·武汉中考)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.确定性事件
考点2　概率的求法
【示范题2】(2024·连云港中考)下列说法正确的是( )
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答题关键指导】
1.画树状图法要做到不重复不遗漏地列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.
2.运用公式P( )=求简单事件发生的概率,即找到事件所有可能的结果种数n和使事件A发生的结果种数m.再将两者相除,得到结果.
【跟踪训练】
1.(2024·广西中考)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是( )
A.1 B. C. D.
2.(2024·贵州中考)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为0.4,下列说法正确的是( )
A.小星定点投篮1次,不一定能投中
B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次
D.小星定点投篮4次,一定投中1次
3.(2024·山东中考)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动,甲、乙两位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是( )
A. B. C. D.
4.(2024·山西中考)一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球,这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是( )
A. B. C. D.
考点3　用频率估计概率
【示范题3】(2024·扬州中考)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后,整理的数据如下表:
累计 抛掷 次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面 朝上 次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面 朝上 频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上数据可以估计出“盖面朝上”的概率为 .(精确到0.01)
【答题关键指导】
用频率估计概率
(1)用频率估计概率时,一般是通过观察所计算的各频数数值的变化(集中)趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确,频率只是一个估计值,不同的试验受试验次数及试验条件的影响,所得到的结果可能有所不同.
(2)在用频率估计概率时,要注意试验的次数越多,事件发生的频率越接近于概率.计算时用事件发生的次数除以试验的总次数,一般不用多个频率的平均数来估计事件发生的概率.
【跟踪训练】
(2024·厦门模拟)社团课上,同学们进行了“摸球游戏”:在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球,将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程.整理数据后,制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示,经分析可以推断盒子里个数比较多的是 .(填“黑球”或“白球”)
考点4　概率的应用
【示范题4】(2024·内江中考)如图所示的电路中,当随机闭合开关S1,S2,S3中的两个时,灯泡能发光的概率为( )
A. B. C. D.
【答题关键指导】
列举(列表或画树状图)法:当一次试验涉及多个因素(对象)时,由于不能直观得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n,所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰地列举出来,再根据公式进行计算.
【跟踪训练】
1.(2024·河南中考)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取的卡片正面相同的概率为( )
A. B. C. D.
2.(2024·武汉中考)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是( )
A. B. C. D.
3.(2024·连云港中考)数学文化节猜谜游戏中,有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片,分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D,其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”,字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片,则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 ;
(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片,请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
1.(2024·福建中考)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2022·福建中考)一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,这个球是红球的概率是 .
3.(2023·福建中考)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下:从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中,随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖.同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出1个球,若摸得的两球的颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;
(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球 说明你的理由.

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