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第8课时　一元二次方程
【知识要点】
1.一元二次方程的概念
(1)定义:只含有　1　个未知数,并且未知数的最高次数是　2　的整式方程.
(2)一般形式:　ax2+bx+c=0(a≠0)　.
【对点练习】
1.下列方程中是一元二次方程的是(B)
A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0
C.x2+-3=0 D.xy+2=1
【知识要点】
2.一元二次方程的解法
【对点练习】
2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D)
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
【知识要点】
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况
(1)Δ=b2-4ac>0 方程　有两个不相等　的实数根.
(2)Δ=b2-4ac=0 方程　有两个相等　的实数根.
(3)Δ=b2-4ac<0 方程　没有　实数根.
【对点练习】
3.下列一元二次方程无实数根的是(C)
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
【知识要点】
4.根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=　-　,x1·x2= 　.
【对点练习】
4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=　-1　,x1+x2=　-1　.
【知识要点】
5.一元二次方程的应用
常考类型及公式:
(1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高;
(2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量;
(3)互赠、握手问题:
x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1);
(4)营销问题:总利润=一件利润×销售量.
【对点练习】
5.(教材再开发·人教九上P22T7改编)某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为(A)
A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考点1　 一元二次方程的解
【示范题1】(2024·凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为(A)
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
【答题关键指导】
1.已知方程的根求未知系数
已知一根 直接代入原方程,得到一个关于未知系数(参数)的方程,解方程求出未知系数的值
已知两根 把两个根直接代入原方程,列出关于未知系数的方程组,解方程组,求出未知系数
利用根与系数的关系求解
2.注意隐含条件:二次项系数不为0.
【跟踪训练】
(2024·南充中考)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为　-4　.
考点2　一元二次方程的解法
【示范题2】(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.
【自主解答】∵x2-5x+6=0,
∴(x-2)(x-3)=0,
则x-2=0或x-3=0,
解得x1=2,x2=3.
【答题关键指导】
1.用公式法解一元二次方程,在确定系数a,b,c时,易忘记先将一元二次方程化为一般形式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出现方程的右边没有化为0,左边直接因式分解的错误.
3.对于缺少常数项的一元二次方程,方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项,如解x2-5x=0时,易出现方程两边同时除以x,遗漏x=0的情况.
【跟踪训练】
1.(2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=(C)
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
2.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.
【解析】∵x2-4x=0,
∴x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,
∴x1=0,x2=4.
3.(2024·安徽中考)解方程:x2-2x=3.
【解析】x2-2x=3,
x2-2x-3=0,
(x-3)(x+1)=0,
∴x1=3,x2=-1.
考点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【示范题3】(2024·广安中考)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(A)
A.m<0且m≠-1 　　　　B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 　　　　D.m<0
【答题关键指导】
1.一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程有实数根,即Δ≥0.
2.在运用x1+x2=- 时, 注意不要漏“- ”.
3.应用根的判别式时,不要忽略二次项系数不为0的条件.
4.方程有两个实数根包括两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况,不要遗漏.
【跟踪训练】
1.(2024·自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2.(2024·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且+=3,则p的值为(A)
A.- B.
C.-6 D.6
考点4　一元二次方程的应用
【示范题4】(2024·重庆中考A卷)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是　10%　.
【答题关键指导】
1.与几何图形有关的计算问题
解题关键是依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系.
2.增长率问题的有关公式
增长数=基数×增长率;实际数=基数+增长数.
(1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×(1+增长率)2=后来的.
(2)如果是下降率,则上述关系式为:
原来的×(1-下降率)2=后来的.
3.商品利润问题
利润=售价-进价=进价×利润率.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是(B)
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
2.(2024·重庆中考B卷)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意,可列方程为　200(1+x)2=401　.
(2023·福建中考)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元,2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程(B)
A.43 903.89(1+x)=53 109.85　　　　　
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85第8课时　一元二次方程
【知识要点】
1.一元二次方程的概念
(1)定义:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程.
(2)一般形式: .
【对点练习】
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0
C.x2+-3=0 D.xy+2=1
【知识要点】
2.一元二次方程的解法
【对点练习】
2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( )
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
【知识要点】
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况
(1)Δ=b2-4ac>0 方程 的实数根.
(2)Δ=b2-4ac=0 方程 的实数根.
(3)Δ=b2-4ac<0 方程 实数根.
【对点练习】
3.下列一元二次方程无实数根的是( )
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
【知识要点】
4.根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= .
【对点练习】
4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2= ,x1+x2= .
【知识要点】
5.一元二次方程的应用
常考类型及公式:
(1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高;
(2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量;
(3)互赠、握手问题:
x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1);
(4)营销问题:总利润=一件利润×销售量.
【对点练习】
5.(教材再开发·人教九上P22T7改编)某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为( )
A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考点1　 一元二次方程的解
【示范题1】(2024·凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
【答题关键指导】
1.已知方程的根求未知系数
已知一根 直接代入原方程,得到一个关于未知系数(参数)的方程,解方程求出未知系数的值
已知两根 把两个根直接代入原方程,列出关于未知系数的方程组,解方程组,求出未知系数
利用根与系数的关系求解
2.注意隐含条件:二次项系数不为0.
【跟踪训练】
(2024·南充中考)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
考点2　一元二次方程的解法
【示范题2】(2024·齐齐哈尔中考)解方程:x2-5x+6=0.
【答题关键指导】
1.用公式法解一元二次方程,在确定系数a,b,c时,易忘记先将一元二次方程化为一般形式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出现方程的右边没有化为0,左边直接因式分解的错误.
3.对于缺少常数项的一元二次方程,方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项,如解x2-5x=0时,易出现方程两边同时除以x,遗漏x=0的情况.
【跟踪训练】
1.(2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=( )
A.1 B.-1
C.+1 D.1或+1
2.(2024·滨州中考)解方程:x2-4x=0.
3.(2024·安徽中考)解方程:x2-2x=3.
考点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【示范题3】(2024·广安中考)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<0且m≠-1 　　　　B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 　　　　D.m<0
【答题关键指导】
1.一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程有实数根,即Δ≥0.
2.在运用x1+x2=- 时, 注意不要漏“- ”.
3.应用根的判别式时,不要忽略二次项系数不为0的条件.
4.方程有两个实数根包括两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况,不要遗漏.
【跟踪训练】
1.(2024·自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
2.(2024·乐山中考)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且+=3,则p的值为( )
A.- B.
C.-6 D.6
考点4　一元二次方程的应用
【示范题4】(2024·重庆中考A卷)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
【答题关键指导】
1.与几何图形有关的计算问题
解题关键是依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系.
2.增长率问题的有关公式
增长数=基数×增长率;实际数=基数+增长数.
(1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×(1+增长率)2=后来的.
(2)如果是下降率,则上述关系式为:
原来的×(1-下降率)2=后来的.
3.商品利润问题
利润=售价-进价=进价×利润率.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是( )
A.0.64(1+x)=0.69
B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69
D.0.64(1+2x)2=0.69
2.(2024·重庆中考B卷)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意,可列方程为 .
(2023·福建中考)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元,2022年的地区生产总值为53 109.85亿元.设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程( )
A.43 903.89(1+x)=53 109.85　　　　　
B.43 903.89(1+x)2=53 109.85
C.43 903.89x2=53 109.85
D.43 903.89(1+x2)=53 109.85

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