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第26课时　圆的认识
【知识要点】 【对点练习】
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是 ,任何一条 都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径 , 并且平分弦所对的 . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径 , 并且平分弦所对的 . 2.(1)(教材再开发·人教九上P83T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于 cm. (2)如图,若△ABC内接于半径为6的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为 .
3.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 . (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 . ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角 ,它们所对的弧一定 . 3.(1)如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于( ) A.10° B.14° C.16° D.26° (2)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在 ☉O上,∠1=55°,则∠2= °.
续表
【知识要点】 【对点练习】
4.圆心角、弧、弦之间的关系 名称内容表示形式定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 如图, ∵∠AOB= ∠COD, ∴=, AB=CD推论1.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; 2.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等1.如图, ∵=, ∴∠AOB = , AB= 2.如图, ∵AB=CD, ∴∠AOB = , =
4.(1)如图,四边形ABCD内接于☉O, AB=CD,A为中点, ∠BDC=60°,则∠ADB等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)(教材再开发·人教九上P90T14改编)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O, BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则 ∠ADB的度数为( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角 . 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则 ∠C = °.
考点1　垂径定理
【示范题1】(2024·重庆中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为( )
A.28° B.34° C.56° D.62°
【答题关键指导】
1.找准相应线段的长:半径、弦长、弦心距.
2.利用垂径定理构造直角三角形:弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边.
3.利用勾股定理解决问题.
【跟踪训练】
(2024·凉山州中考)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为( )
A.50 cm B.35 cm
C.25 cm D.20 cm
考点2　圆周角和圆心角
【示范题2】(2024·宜宾中考)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答题关键指导】
1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应.
2.在解决圆周角问题时,常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系,找到一条弦,利用此关系进行角之间的转化和计算.
3.由于直径所对的圆周角是直角,所以在圆中,有直径时,构造直径所对的圆周角,利用解直角三角形的知识解决问题,这是圆中最常用的辅助线.
【跟踪训练】
1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(2024·甘肃中考)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
考点3　圆内接四边形
【示范题3】(2024·武汉中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是( )
A. B.
C. D.
【答题关键指导】
圆内接四边形的角的“两种”关系
(1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D =180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
【跟踪训练】
1.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
2.(2024·广元中考)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于( )
A.64° B.60° C.54° D.52°
3.(2024·浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF∥BC;
②EF=BD.第26课时　圆的认识
【知识要点】 【对点练习】
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转　一周　,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是　轴对称图形　,任何一条　直径所在直线　都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径　平分弦　, 并且平分弦所对的　两条弧　. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径　垂直于弦　, 并且平分弦所对的　两条弧　. 2.(1)(教材再开发·人教九上P83T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于　3　cm. (2)如图,若△ABC内接于半径为6的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为　6　.
3.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　相等　,都等于这条弧所对的圆心角的　一半　. (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是　直角　,90°的圆周角所对的弦是　直径　. ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角　相等　,它们所对的弧一定　相等　. 3.(1)如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于(C) A.10° B.14° C.16° D.26° (2)如图,AB是☉O的直径,点C,D,E都在 ☉O上,∠1=55°,则∠2=　35　°.
续表
【知识要点】 【对点练习】
4.圆心角、弧、弦之间的关系 名称内容表示形式定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　相等　,所对的弦　相等　 如图, ∵∠AOB= ∠COD, ∴=, AB=CD推论1.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; 2.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等1.如图, ∵=, ∴∠AOB =　∠COD　, AB=　CD　 2.如图, ∵AB=CD, ∴∠AOB =∠COD, =
4.(1)如图,四边形ABCD内接于☉O, AB=CD,A为中点, ∠BDC=60°,则∠ADB等于(A) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)(教材再开发·人教九上P90T14改编)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O, BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则 ∠ADB的度数为(C) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角　互补　. 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则 ∠C =　105　°.
考点1　垂径定理
【示范题1】(2024·重庆中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为(B)
A.28° B.34° C.56° D.62°
【答题关键指导】
1.找准相应线段的长:半径、弦长、弦心距.
2.利用垂径定理构造直角三角形:弦的一半、弦心距分别作为直角边、半径作为斜边.
3.利用勾股定理解决问题.
【跟踪训练】
(2024·凉山州中考)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(C)
A.50 cm B.35 cm
C.25 cm D.20 cm
考点2　圆周角和圆心角
【示范题2】(2024·宜宾中考)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答题关键指导】
1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应.
2.在解决圆周角问题时,常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系,找到一条弦,利用此关系进行角之间的转化和计算.
3.由于直径所对的圆周角是直角,所以在圆中,有直径时,构造直径所对的圆周角,利用解直角三角形的知识解决问题,这是圆中最常用的辅助线.
【跟踪训练】
1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为(C)
A.60° B.75° C.90° D.135°
2.(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(2024·甘肃中考)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是(A)
A.20° B.25° C.30° D.35°
考点3　圆内接四边形
【示范题3】(2024·武汉中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是(A)
A. B.
C. D.
【答题关键指导】
圆内接四边形的角的“两种”关系
(1)对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D =180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
【跟踪训练】
1.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
2.(2024·广元中考)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于(A)
A.64° B.60° C.54° D.52°
3.(2024·浙江中考)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF∥BC;
②EF=BD.
【解析】(1)∵CD为直径,
∴∠CAD=90°,
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ACD=90°-60°=30°,
∴∠ABD=∠ACD=30°;
(2)①如图,延长AB到点M,
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠CBM=∠ADC,
又∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE=∠CBM,
∴EF∥BC;
②过点D作DG∥BC交☉O于点G,连接GC,GA,
则DG∥BC∥EF,
∵DG∥BC,
∴=,
∴BD=CG,
∵四边形BCGD是圆内接四边形,
∴∠GDE=∠ACG=∠AEF,
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC,
∵AE=AC,
∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,
∴EF=BD.

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