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第27课时　与圆有关的位置关系
【知识要点】 【对点练习】
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 　d>r　;点P在圆上 　d=r　;点P在圆内 　d2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:　相交　、　相切　、　相离　. (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有　唯一　公共点的直线. ②性质:圆的切线　垂直于　过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且　垂直　于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　相等　,这一点和圆心的连线　平分　两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是　0≤d<2.5　. (2)(教材再开发·人教九上P101T6改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为 　10 cm　.
3.三角形的外接圆与内切圆 名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心三角形的　外心　,三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的内心,三角形三条　角平分线　的交点 性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离 　相等　 三角形的内心到三角形三边的距离 　相等　
3.(教材再开发·人教九上P100T1改编)如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=　20　°.
考点1　直线与圆的位置关系的判断
【示范题1】(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 　.
【跟踪训练】
(2024·德阳中考)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感,世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形(ABA.3 B.2 C.1 D.0
考点2　切线的性质与判定
【示范题2】(2024·山西中考)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为(D)
A.30° B.40° C.45° D.50°
【答题关键指导】
1.切线的性质的应用
由于切线垂直于过切点的半径,所以当有圆的切线时,常作过切点的半径,即“过切点,连半径”,将切线条件转化为垂直条件.
2.切线判定的两种思路
(1)“连半径,证垂直”:若直线与圆有公共点时,则连接半径,证半径与直线垂直.
(2)“作垂直,证等径”:若未给出直线和圆有公共点时,可过圆心作出直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径.
【跟踪训练】
(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OD,如图,
∵直线l与☉O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∵AE⊥CE,
∴OD∥AE,
∴∠ODA=∠EAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠OAD=∠EAD,
∴AD平分∠CAE;
(2)设☉O的半径为r,则OB=OD=r,
在Rt△OCD中,
∵OD=r,CD=3,OC=r+1,
∴r2+32=(r+1)2,
解得r=4,
即☉O的半径为4.
考点3　切线长定理
【示范题3】(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=(C)
A.56° B.60° C.68° D.70°
【答题关键指导】
切线长定理的几个应用
(1)证线段相等
PA=PB,OA=OB,AC=BC.
(2)证角相等
∠PAO=∠PBO,∠APO=∠BPO,∠PAB=∠PBA,∠OAB=∠OBA,∠POA=∠POB.
(3)证垂直关系
OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB.
(4)证弧相等
=,=.
【跟踪训练】
(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为　2　.
考点4　三角形的外接圆与内切圆
【示范题4】(2024·武汉中考)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
【自主解答】(1)连接OD,OA,作OH⊥AB于点H,如图,∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC,
∵AC与☉O相切于点D,∴OD⊥AC,而OH⊥AB,∴OH=OD,∴AB是☉O的切线;
(2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+42=(OD+2)2,∴OD=3,∴OC=5,
∴cos C==,
在Rt△OCA中,cos C==,
∴sin ∠OAC==.
【答题关键指导】
三角形外心和内心
(1)外心:①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
(2)内心:①三角形的内心是内切圆的圆心,它是三角形三个内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
②三角形的内切圆有且只有1个,即对于给定的三角形,其内心是唯一的,但一个圆的外切三角形有无数个.
【跟踪训练】
1.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列解析式错误的是(D)
A.d=a+b-c
B.d=
C.d=
D.d=|(a-b)(c-b)|
2.(2024·广元中考)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O经过A,C两点,交AB于点D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC于点E.
(1)求证:DE为☉O的切线;
(2)若AC=4,tan ∠CFD=2,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OD.
∵AC=BC,∠ACB=90°,
∴△ACB为等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
∴∠COD=2∠CAB=90°,
∵DE∥CF,∴∠COD+∠EDO=180°,
∴∠EDO=180°-∠COD=90°,
∴DE为☉O的切线.
(2)过点C作CH⊥AB于点H,
∵△ACB为等腰直角三角形,AC=4,
∴AB=4,∴CH=AH=2,
∵tan ∠CFD=2,∴=2,∴FH=,
∵在Rt△CHF中,CF2=CH2+FH2,
∴CF=.
在Rt△FOD中,∵tan ∠CFD==2,
设半径为r,∴=2,
∴r=.
1.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(A)
A.18° B.30° C.36° D.72°
2.(2022·福建中考)如图,BD是矩形ABCD的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.
【解析】(1)根据题意作图如下:
(2)设∠ADB=α,☉A的半径为r,
∵BD与☉A相切于点E,CF与☉A相切于点G,∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°,
∵CF⊥BD,∴∠EFG=90°,∴四边形AEFG是矩形,
又∵AE=AG=r,∴四边形AEFG是正方形,
∴EF=AE=r,
在Rt△AEB和Rt△DAB中,
∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α,
在Rt△ABE中,tan∠BAE=,
∴BE=r·tan α,
∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
又∵∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF=r·tan α,
∴DE=DF+EF=r·tan α+r,
在Rt△ADE中,tan∠ADE=,
即DE·tan α=AE,
∴(r·tan α+r)×tan α=r,即tan2α+tan α-1=0,
∵tan α>0,∴tan α=,即tan∠ADB的值为.
3.(2023·福建中考)如图,已知△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切线AF于点F,且AF∥BC.
(1)求证:AO∥BE;
(2)求证:AO平分∠BAC.
【证明】(1)∵AF是☉O的切线,
∴AF⊥OA,即∠OAF=90°,
∵CE是☉O的直径,
∴∠CBE=90°,
∴∠OAF=∠CBE,
∵AF∥BC,
∴∠BAF=∠ABC,
∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE,
∴AO∥BE;
(2)∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角,
∴∠ABE=∠ACE,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACE,
∴∠ABE=∠OAC,
由(1)知,∠OAB=∠ABE,
∴∠OAB=∠OAC,∴AO平分∠BAC.
4.(2024·福建中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,AE⊥OC,垂足为E,BE的延长线交于点F.
(1)求的值;
(2)求证:△AEB∽△BEC;
(3)求证:AD与EF互相平分.
【解析】(1)∵AB=AC,且AB是☉O的直径,
∴AC=2AO,
∵∠BAC=90°,
在Rt△AOC中,tan ∠AOC==2,
∵AE⊥OC,
在Rt△AOE中,tan ∠EOA==tan ∠AOC,
∴=2,
∴=;
(2)过点B作BM∥AE,交EO延长线于点M,如图,
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.
∵AO=BO,
∴△AOE≌△BOM(AAS),
∴AE=BM,OE=OM,
∵=,
∴BM=2OE=EM,
∴∠MEB=∠MBE=45°,
∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,
∠BEC=180°-∠MEB=135°,
∴∠AEB=∠BEC.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABM=∠CBE,
∴∠BAE=∠CBE,
∴△AEB∽△BEC;
(3)连接DE,DF.如图,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BC=2BD,∠DAB=45°,
由(2)知,△AEB∽△BEC,
===,∠EAO=∠EBD,
∴△AOE∽△BDE,
∴∠BED=∠AEO=90°,
∴∠DEF=90°,
∴∠AFB=∠DEF,
∴AF∥DE,
由(2)知,∠AEB=135°,
∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠DFB=∠DAB=45°,
∴∠DFB=∠AEF,
∴AE∥FD,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴AD与EF互相平分.第27课时　与圆有关的位置关系
【知识要点】 【对点练习】
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 ;点P在圆上 ;点P在圆内 . (2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定 圆. (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的 的交点. 1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一直线上的三个点 (3)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为 .
2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系: 、 、 . (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有 公共点的直线. ②性质:圆的切线 过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且 于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是 . (2)(教材再开发·人教九上P101T6改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为 .
3.三角形的外接圆与内切圆 名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心三角形的 ,三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的内心,三角形三条 的交点 性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离 三角形的内心到三角形三边的距离
3.(教材再开发·人教九上P100T1改编)如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A= °.
考点1　直线与圆的位置关系的判断
【示范题1】(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
【跟踪训练】
(2024·德阳中考)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形,黄金矩形给我们以协调的美感,世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形(ABA.3 B.2 C.1 D.0
考点2　切线的性质与判定
【示范题2】(2024·山西中考)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
【答题关键指导】
1.切线的性质的应用
由于切线垂直于过切点的半径,所以当有圆的切线时,常作过切点的半径,即“过切点,连半径”,将切线条件转化为垂直条件.
2.切线判定的两种思路
(1)“连半径,证垂直”:若直线与圆有公共点时,则连接半径,证半径与直线垂直.
(2)“作垂直,证等径”:若未给出直线和圆有公共点时,可过圆心作出直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径.
【跟踪训练】
(2024·临夏州中考)如图,直线l与☉O相切于点D,AB为☉O的直径,过点A作AE⊥l于点E,延长AB交直线l于点C.
(1)求证:AD平分∠CAE;
(2)如果BC=1,DC=3,求☉O的半径.
考点3　切线长定理
【示范题3】(2024·泸州中考)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( )
A.56° B.60° C.68° D.70°
【答题关键指导】
切线长定理的几个应用
(1)证线段相等
PA=PB,OA=OB,AC=BC.
(2)证角相等
∠PAO=∠PBO,∠APO=∠BPO,∠PAB=∠PBA,∠OAB=∠OBA,∠POA=∠POB.
(3)证垂直关系
OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB.
(4)证弧相等
=,=.
【跟踪训练】
(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为 .
考点4　三角形的外接圆与内切圆
【示范题4】(2024·武汉中考)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin ∠OAC的值.
【答题关键指导】
三角形外心和内心
(1)外心:①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
(2)内心:①三角形的内心是内切圆的圆心,它是三角形三个内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
②三角形的内切圆有且只有1个,即对于给定的三角形,其内心是唯一的,但一个圆的外切三角形有无数个.
【跟踪训练】
1.(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列解析式错误的是( )
A.d=a+b-c
B.d=
C.d=
D.d=|(a-b)(c-b)|
2.(2024·广元中考)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O经过A,C两点,交AB于点D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC于点E.
(1)求证:DE为☉O的切线;
(2)若AC=4,tan ∠CFD=2,求☉O的半径.
1.(2024·福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
2.(2022·福建中考)如图,BD是矩形ABCD的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.
3.(2023·福建中考)如图,已知△ABC内接于☉O,CO的延长线交AB于点D,交☉O于点E,交☉O的切线AF于点F,且AF∥BC.
(1)求证:AO∥BE;
(2)求证:AO平分∠BAC.
4.(2024·福建中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,AE⊥OC,垂足为E,BE的延长线交于点F.
(1)求的值;
(2)求证:△AEB∽△BEC;
(3)求证:AD与EF互相平分.

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