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第28课时　圆的有关计算
【知识要点】
1.正多边形和圆
(1)定义:各边 ,各角也都 的多边形是正多边形.
(2)正多边形和圆的关系:把一个圆 ,依次连接 可作出圆的内接正n边形.
【对点练习】
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( )
A.72° B.70° C.60° D.45°
【知识要点】
2.圆中的弧长与扇形面积
(1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= .
(2)扇形面积:
①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= .
②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= .
【对点练习】
2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( )
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
(2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为 .
【知识要点】
3.圆柱和圆锥
(1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有:
①S圆柱侧= ;
②S圆柱全= ;
③V圆柱= .
(2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:
①S圆锥侧= ;
②S圆锥全= ;
③V圆锥=πR2h.
【对点练习】
3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是( )
A.96π cm2　　　 B.48π cm2
C.33π cm2 D.24π cm2
(2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是 .
(3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为 cm2.
考点1　正多边形和圆的有关计算
【示范题1】(2024·德阳中考)已知,正六边形ABCDEF的面积为6,则正六边形的边长为( )
A.1 B. C.2 D.4
【答题关键指导】
正多边形有关边的计算的常用公式
(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).
(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).
【跟踪训练】
1.(2024·宜宾中考)如图,正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是 .
2.(2024·甘肃中考)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知☉O和圆上一点M.作法如下:
①以点M为圆心,OM长为半径,作弧交☉O于A,B两点;
②延长MO交☉O于点C;
即点A,B,C将☉O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若☉O的半径为2 cm,则△ABC的周长为 cm.
考点2　弧长、扇形面积的计算
【示范题2】(2024·安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为( )
A.2π B.3π C.4π D.6π
【答题关键指导】
1.弧长公式的理解与变形
(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,在应用公式计算时,“n”和“180”可不用写单位.
(2)在弧长的计算公式中,已知l,n,R中的任意两个量都可以求出第三个量,变形公式有:①n=;②R=.
2.求不规则图形面积的方法
求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①和差法;②割补法.
【跟踪训练】
1.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为( )
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米
2.(2024·贵州中考)如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则的长为( )
A.30π B.25π C.20π D.10π
考点3　与圆有关的阴影面积的计算
【示范题3】(2024·重庆中考)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
【答题关键指导】
求不规则图形的面积时,常转化为几个规则的图形面积的和与差.
【跟踪训练】
1.(2024·遂宁中考)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,请计算出淤泥横截面的面积( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.(2024·河南中考)如图,☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,点D是的中点,连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为( )
A. B.4π C. D.16π
3.(2024·山东中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆心,以AD为半径作交AB于点E,以点B为圆心,以BE为半径作所交BC于点F,连接FD交于另一点G,连接CG.
(1)求证:CG为所在圆的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
1.(2023·福建中考)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为( )
A. B.2 C.3 D.2
2.(2022·福建中考)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF;
(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求的长(结果保留π).第28课时　圆的有关计算
【知识要点】
1.正多边形和圆
(1)定义:各边　相等　,各角也都　相等　的多边形是正多边形.
(2)正多边形和圆的关系:把一个圆　n等分　,依次连接　各分点　可作出圆的内接正n边形.
【对点练习】
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是(A)
A.72° B.70° C.60° D.45°
【知识要点】
2.圆中的弧长与扇形面积
(1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= 　.
(2)扇形面积:
①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= 　.
②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= lR　.
【对点练习】
2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为(B)
A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm
(2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为　8　.
【知识要点】
3.圆柱和圆锥
(1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有:
①S圆柱侧=　2πRl　;
②S圆柱全=　2πR2+2πRl　;
③V圆柱=　πR2l　.
(2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:
①S圆锥侧=　πRl　;
②S圆锥全=　πRl+πR2　;
③V圆锥=πR2h.
【对点练习】
3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是(D)
A.96π cm2　　　 B.48π cm2
C.33π cm2 D.24π cm2
(2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是　4　.
(3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为　10π　cm2.
考点1　正多边形和圆的有关计算
【示范题1】(2024·德阳中考)已知,正六边形ABCDEF的面积为6,则正六边形的边长为(C)
A.1 B. C.2 D.4
【答题关键指导】
正多边形有关边的计算的常用公式
(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).
(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).
【跟踪训练】
1.(2024·宜宾中考)如图,正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是　2+2　.
2.(2024·甘肃中考)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知☉O和圆上一点M.作法如下:
①以点M为圆心,OM长为半径,作弧交☉O于A,B两点;
②延长MO交☉O于点C;
即点A,B,C将☉O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若☉O的半径为2 cm,则△ABC的周长为　　　　　cm.
【解析】(1)如图,点A,B,C即为所求.
(2)设CM交AB于点E.∵==,
∴AB=AC=CB,∠AOB=120°,
∵=,∴∠AOM=∠BOM=60°,
∵OA=OB,
∴OE⊥AB,AE=EB=AO·sin 60°=2×=(cm),
∴AB=2 cm,∴△ABC的周长为6 cm.
答案:6
考点2　弧长、扇形面积的计算
【示范题2】(2024·安徽中考)若扇形AOB的半径为6,∠AOB=120°,则的长为(C)
A.2π B.3π C.4π D.6π
【答题关键指导】
1.弧长公式的理解与变形
(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,在应用公式计算时,“n”和“180”可不用写单位.
(2)在弧长的计算公式中,已知l,n,R中的任意两个量都可以求出第三个量,变形公式有:①n=;②R=.
2.求不规则图形面积的方法
求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①和差法;②割补法.
【跟踪训练】
1.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为(C)
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米
2.(2024·贵州中考)如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则的长为(C)
A.30π B.25π C.20π D.10π
考点3　与圆有关的阴影面积的计算
【示范题3】(2024·重庆中考)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心,AD长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为(D)
A.32-8π B.16-4π
C.32-4π D.16-8π
【答题关键指导】
求不规则图形的面积时,常转化为几个规则的图形面积的和与差.
【跟踪训练】
1.(2024·遂宁中考)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,请计算出淤泥横截面的面积(A)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.(2024·河南中考)如图,☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,点D是的中点,连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为(C)
A. B.4π C. D.16π
3.(2024·山东中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点A为圆心,以AD为半径作交AB于点E,以点B为圆心,以BE为半径作所交BC于点F,连接FD交于另一点G,连接CG.
(1)求证:CG为所在圆的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【解析】(1)连接BG,如图1,
根据题意可知:AD=AE,BE=BF,
又∵AB=BC,
∴CF=AE=AD,
∵BC=2AD,
∴BF=BE=AD=AE=CF,
∵AD∥BC,
∴四边形ABFD是平行四边形,
∴∠BFD=∠DAB=60°,
∵BG=BF,
∴△BFG是等边三角形,
∴GF=BF,
∴GF=BF=FC,
∴G在以BC为直径的圆上,
∴∠BGC=90°,
∴CG为所在圆的切线.
(2)过D作DH⊥AB于点H,连接BG,如图2,
由图可得:S阴影=S ABFD-S扇AED-S扇BEG-S△BFG,
在Rt△AHD中,AD=1,∠DAB=60°,
∴DH=AD·sin ∠DAB=1×=,
∴S ABFD=AB·DH=2×=,
由题可知:扇形ADE和扇形BGE全等,
∴S扇形AED=S扇形BGE====,
等边三角形BFG的面积为:
GF·DH=×1×=,
∴S阴影=S ABFD-S扇形AED-S扇形BEG-S△BFG
=---=-.
1.(2023·福建中考)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为(C)
A. B.2 C.3 D.2
2.(2022·福建中考)如图,△ABC内接于☉O,AD∥BC交☉O于点D,DF∥AB交BC于点E,交☉O于点F,连接AF,CF.
(1)求证:AC=AF;
(2)若☉O的半径为3,∠CAF=30°,求的长(结果保留π).
【解析】(1)∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵∠AFC=∠B,∠ACF=∠D,
∴∠AFC=∠ACF,∴AC=AF.
(2)连接AO,CO,
由(1)得∠AFC=∠ACF,
∵∠AFC==75°,
∴∠AOC=2∠AFC=150°,
∴的长为=.

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