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第30课时　旋转
【知识要点】
1.旋转的有关性质
(1)旋转的性质.
①对应点到旋转中心的距离　相等　.
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　旋转角　.
③旋转前、后的图形　全等　.
(2)中心对称的性质.
①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过　对称中心　,而且被对称中心所　平分　.
②中心对称的两个图形是　全等　图形.
【对点练习】
1.(教材再开发·人教九上P67T2改编)窗花是贴在窗子上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.下列窗花作品是中心对称图形的有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【知识要点】
2.坐标变换的规律
在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'　(-x,-y)　.
【对点练习】
2.点A(-1,2)关于原点对称的点B的坐标是(A)
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-2,-1) D.(2,-1)
考点1　中心对称图形的识别
【示范题1】(2024·山东中考)用一个平面截正方体,可以得到以下截面图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
【跟踪训练】
1.1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是(A)
2.(2024·内江中考)2024年6月5日,是二十四节气的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是(D)
考点2　旋转与中心对称的应用
【示范题2】(2024·天津中考)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是(D)
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE
C.AB=EF D.BF⊥CE
【跟踪训练】
1.(2023·通辽中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为(C)
A.24° B.28° C.48° D.66°
2.(2024·广元中考)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为(A)
A. B. C.2 D.2
考点3　图形的旋转变换与点的坐标变化
【示范题3】(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为(A)
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
【跟踪训练】
1.(2024·广安中考)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为　(-3,1)　.
2.(2024·泸州中考)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为　(-,)　.
考点4　与旋转相关的网格作图
【示范题4】(2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【自主解答】(1)如图,画出△A1B1C1.
(2)以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2×4-2××4×8=40.
(3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E的坐标为(6,6).
【跟踪训练】
1.(2024·南平模拟)如图,平面直角坐标系中,小正方形网格的边长为1个单位长度,A(-1,4),B(-4,1).解答下列问题:
(1)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD,再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF,画出线段CD和线段EF,请说明你的画法.
(2)在(1)的条件下,线段AB上存在点Q(a,b),则其在线段EF上的对应点Q1的坐标为　　　　　　;
(3)如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF,则旋转中心P的坐标为　　　　　　.
【解析】(1)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A(-1,4),B(-4,1)的对称点C(1,-4),D(4,-1)的坐标,然后描点如图,再将线段CD向下平移2个单位长度得到EF为所作;
(2)点Q(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b),
把点(-a,-b)向下平移2个单位长度得到点Q1,点Q1的坐标为(-a,-b-2).
答案:(-a,-b-2)
(3)连接AE,BF,它们的交点为P点,从而得到P点坐标,得P(0,-1),线段AB可以绕点P(0,-1)旋转180°得到线段EF.
答案:(0,-1)
2.(2024·三明模拟)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,图①,图②,图③均为顶点在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点).结合图形解答下列问题:
(1)在图1中,图①经过　　　　变换可以得到图②(填“平移”或“旋转”或“轴对称”);
(2)在图1方格纸中,图③可由图②经过一次旋转变换得到,其旋转中心是点　　　　(填“A”或“B”或“C”);
(3)在图2中,画出图①绕点A顺时针旋转90°后得到的图形.
【解析】(1)图①经过平移变换可以得到图②.
答案:平移
(2)图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的,其旋转中心是点A.
答案:A
(3)如图.第30课时　旋转
【知识要点】
1.旋转的有关性质
(1)旋转的性质.
①对应点到旋转中心的距离 .
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 .
③旋转前、后的图形 .
(2)中心对称的性质.
①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 .
②中心对称的两个图形是 图形.
【对点练习】
1.(教材再开发·人教九上P67T2改编)窗花是贴在窗子上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.下列窗花作品是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【知识要点】
2.坐标变换的规律
在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P' .
【对点练习】
2.点A(-1,2)关于原点对称的点B的坐标是( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(-2,-1) D.(2,-1)
考点1　中心对称图形的识别
【示范题1】(2024·山东中考)用一个平面截正方体,可以得到以下截面图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
【跟踪训练】
1.1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
2.(2024·内江中考)2024年6月5日,是二十四节气的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
考点2　旋转与中心对称的应用
【示范题2】(2024·天津中考)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是( )
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE
C.AB=EF D.BF⊥CE
【跟踪训练】
1.(2023·通辽中考)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为( )
A.24° B.28° C.48° D.66°
2.(2024·广元中考)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为( )
A. B. C.2 D.2
考点3　图形的旋转变换与点的坐标变化
【示范题3】(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
【跟踪训练】
1.(2024·广安中考)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为 .
2.(2024·泸州中考)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 .
考点4　与旋转相关的网格作图
【示范题4】(2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【跟踪训练】
1.(2024·南平模拟)如图,平面直角坐标系中,小正方形网格的边长为1个单位长度,A(-1,4),B(-4,1).解答下列问题:
(1)将线段AB绕原点O旋转180°得到线段CD,再将线段CD向下平移2个单位长度得到线段EF,画出线段CD和线段EF,请说明你的画法.
(2)在(1)的条件下,线段AB上存在点Q(a,b),则其在线段EF上的对应点Q1的坐标为 ;
(3)如果线段AB可以通过一次旋转得到线段EF,则旋转中心P的坐标为 .
2.(2024·三明模拟)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,图①,图②,图③均为顶点在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫格点).结合图形解答下列问题:
(1)在图1中,图①经过 变换可以得到图②(填“平移”或“旋转”或“轴对称”);
(2)在图1方格纸中,图③可由图②经过一次旋转变换得到,其旋转中心是点 (填“A”或“B”或“C”);
(3)在图2中,画出图①绕点A顺时针旋转90°后得到的图形.

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