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第31课时　相似与位似
【知识要点】
1.平行线分线段成比例
(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的　对应线段　成比例.
(2)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的　对应线段　成比例.
【对点练习】
1.(1)如图①,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,则=.
(2)如图②,在△ABC中,因为DE∥BC,所以=,也可以说=.
【知识要点】
2.相似三角形的性质
性质1:相似三角形的对应角　相等　,对应边的比　相等　.
性质2:相似三角形周长的比等于　相似比　.
性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于　相似比　.
性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的　平方　.
【对点练习】
2.(1)(教材再开发·人教九下P43T12改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为(B)
A.12 B.9 C.10 D.8
(2)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,则DE∶BC=　5∶7　.
(3)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应高线的比是　2∶3　.
【知识要点】
3.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原　三角形　相似(相似三角形的预备定理).
判定2:三边　成比例　的两个三角形相似.
判定3:两边　成比例　且　夹角相等　的两个三角形相似.
判定4:两角　分别相等　的两个三角形相似.
【对点练习】
3.下列说法正确的是(D)
A.两个直角三角形相似
B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似
C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【知识要点】
4.位似
(1)概念
位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心.
(2)性质
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于　相似比　.
②在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形上的对应点的坐标的比等于　k或-k　.
【对点练习】
4.(教材再开发·人教九下P58T10改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为(C)
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考点1　平行线分线段成比例
【示范题1】(2024·莆田模拟)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边的中点,连接DE,点F为BC边上一点,BF=2FC,连接AF交DE于点N,则下列结论中错误的是(C)
A.= B.=
C.= D.=
【跟踪训练】
(2024·泉州模拟)如图,△ABC中,D是AB边上一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,DF∥BE交AC于点F,则下列结论错误的是(D)
A.= B.=
C.= D.=
考点2　相似三角形的判定
【示范题2】(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,
∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,
∴=,∴=,
∴BD=3.
【答题关键指导】
判定三角形相似的“五个基本思路”
(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.
(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例.
(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.
(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例.
(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等,或找底和腰对应成比例.
【跟踪训练】
1.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D)
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
2.(2024·滨州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　∠ADE=∠C(答案不唯一)　.(写出一种情况即可)
考点3　相似三角形的性质
【示范题3】(2024·内江中考)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是(B)
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
【答题关键指导】
1.有时需要先说明两三角形相似,再利用相似三角形的性质解决问题.
2.利用相似三角形的性质时关键要找准对应边或对应角.
【跟踪训练】
1.(2024·乐山中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若=,则= 　.
2.(2024·山东中考)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为(B)
A. B.3 C. D.4
考点4　位似
【示范题4】(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是(D)
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
【答题关键指导】
直角坐标系中的位似变化
　(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于两位似图形的同侧,也可以在两位似图形之间.
【跟踪训练】
(2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为(A)
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
1.(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
【解析】(1)如图:
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的,
∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°,
∵AB=AC,AO⊥BC,
∴∠BAO=∠BAC.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO=∠ABC=45°,
∴∠BAO=∠DFC,
∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,
∴∠EDA=∠M,
∴△ADE∽△FMC;
(2)设BC与DF的交点为I,如图:
∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,
∴△BID∽△FIC,∴=,即=,
∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,
∴∠IBF=∠IDC,
∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°;
(3)延长ON交BF于点T,连接DT,DO,如图:
∵∠FBI=∠BOA=90°,
∴BF∥AO,
∴∠FTN=∠AON.
∵N是AF的中点,
∴AN=FN,
∵∠TNF=∠ONA,
∴△TNF≌△ONA(AAS),
∴NT=NO,FT=AO,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,
∴AO=CO,
∴FT=CO,
由(2)知,△BIF∽△DIC,
∴∠DFT=∠DCO.
∵DF=DC,
∴△DFT≌△DCO(SAS),
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,
∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,
即∠ODT=∠CDF,
∵∠CDF=90°,
∴∠ODT=∠CDF=90°,
∴ND=TO=NO.
2.(2023·福建中考)阅读下列材料,回答问题.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.
工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:
测量过程:
(ⅰ)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM = m,CN= m,测得MN=c m.
求解过程:
由测量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,
∴==,又∵①　　　　　　,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c,∴AB=②　　　　　　(m).
故小水池的最大宽度为***m.
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容;
(2)小明求得AB用到的几何知识是 　　　　　　　　　　;
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).
【解析】(1)①由测量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,∴==,
又∵∠C=∠C,∴△CMN∽△CAB,∴=.又∵MN=c,∴AB=3c(m).
答案:①∠C=∠C　②3c
(2)求得AB用到的几何知识是:相似三角形的判定和性质.
答案:相似三角形的判定与性质
(3)测量过程:(ⅰ)在小水池外选点C,如图,用测角仪在点B处测得∠ABC=α,在点A处测得∠BAC=β;
(ⅱ)用皮尺测得 BC=a m.
求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a.
过点C作 CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CBD中,cos∠CBD=,
即cos α=,所以BD=acos α.
同理,CD=asin α.在Rt△ACD中,tan∠CAD=,即tan β=,所以 AD=,
所以AB=BD+AD=acos α+(m).
故小水池的最大宽度为(acos α+) m.第31课时　相似与位似
【知识要点】
1.平行线分线段成比例
(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的 成比例.
(2)平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的 成比例.
【对点练习】
1.(1)如图①,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,则=.
(2)如图②,在△ABC中,因为DE∥BC,所以=,也可以说=.
【知识要点】
2.相似三角形的性质
性质1:相似三角形的对应角 ,对应边的比 .
性质2:相似三角形周长的比等于 .
性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 .
性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的 .
【对点练习】
2.(1)(教材再开发·人教九下P43T12改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为( )
A.12 B.9 C.10 D.8
(2)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,则DE∶BC= .
(3)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应高线的比是 .
【知识要点】
3.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 相似(相似三角形的预备定理).
判定2:三边 的两个三角形相似.
判定3:两边 且 的两个三角形相似.
判定4:两角 的两个三角形相似.
【对点练习】
3.下列说法正确的是( )
A.两个直角三角形相似
B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似
C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【知识要点】
4.位似
(1)概念
位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心.
(2)性质
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 .
②在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形上的对应点的坐标的比等于 .
【对点练习】
4.(教材再开发·人教九下P58T10改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为( )
A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考点1　平行线分线段成比例
【示范题1】(2024·莆田模拟)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边的中点,连接DE,点F为BC边上一点,BF=2FC,连接AF交DE于点N,则下列结论中错误的是( )
A.= B.=
C.= D.=
【跟踪训练】
(2024·泉州模拟)如图,△ABC中,D是AB边上一点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,DF∥BE交AC于点F,则下列结论错误的是( )
A.= B.=
C.= D.=
考点2　相似三角形的判定
【示范题2】(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【答题关键指导】
判定三角形相似的“五个基本思路”
(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.
(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例.
(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.
(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例.
(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等,或找底和腰对应成比例.
【跟踪训练】
1.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
2.(2024·滨州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
考点3　相似三角形的性质
【示范题3】(2024·内江中考)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1∶1 B.1∶3
C.1∶6 D.1∶9
【答题关键指导】
1.有时需要先说明两三角形相似,再利用相似三角形的性质解决问题.
2.利用相似三角形的性质时关键要找准对应边或对应角.
【跟踪训练】
1.(2024·乐山中考)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若=,则= .
2.(2024·山东中考)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF为( )
A. B.3 C. D.4
考点4　位似
【示范题4】(2024·凉山州中考)如图,一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1,若OB∶BB1=2∶3,则△A1B1C1的面积是( )
A.90 cm2 B.135 cm2
C.150 cm2 D.375 cm2
【答题关键指导】
直角坐标系中的位似变化
　(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于两位似图形的同侧,也可以在两位似图形之间.
【跟踪训练】
(2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为( )
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
1.(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
2.(2023·福建中考)阅读下列材料,回答问题.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图1.
工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图3.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下:
测量过程:
(ⅰ)在小水池外选点C,如图4,测得AC=a m,BC=b m;
(ⅱ)分别在AC,BC上测得CM = m,CN= m,测得MN=c m.
求解过程:
由测量知,AC=a,BC=b,CM=,CN=,
∴==,又∵① ,
∴△CMN∽△CAB,∴=.
又∵MN=c,∴AB=② (m).
故小水池的最大宽度为***m.
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容;
(2)小明求得AB用到的几何知识是 ;
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分).

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