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第9课时　函数初步
【知识要点】
1.平面直角坐标系
(1)各象限点的坐标的符号特征:
第一象限(+,+);第二象限 ;
第三象限(-,-);第四象限 .
(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点 为0;y轴上的点 为0;原点的坐标为 .
(3)直线y=x上的点坐标特征:横坐标与纵坐标 .
(4)直线y=-x上的点坐标特征:横坐标与纵坐标 .
【对点练习】
1.(1)下面各点在第二象限的是( )
A.(-2,0) B.(-2,4)
C.(2,4) D.(2,-4)
(2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.0
(3)已知:点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于x轴对称,则(m+n)2 022的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.201
【知识要点】
2.函数的定义
(1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做 ,数值变化的量叫做 .
(2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有 确定的值与其对应,那么就说 是自变量, 是 的函数.
如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 .
【对点练习】
2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是( )
A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r
(2)下列说法正确的是( )
A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数
B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数
C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数
D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点1　平面直角坐标系中点的坐标
【示范题1】(2024·滨州中考)若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是( )
A.a> B.a<
C.0【答题关键指导】
1.关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标互为相反数.
2.关于y轴对称,则纵坐标不变,横坐标互为相反数.
3.关于原点对称,则横坐标、纵坐标均互为相反数.
【跟踪训练】
1.(2024·扬州中考)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P'的坐标为( )
A.(-1,-2) B.(-1,2)
C.(1,-2) D.(1,2)
2.(2024·江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为 .
考点2　函数中自变量的取值范围
【示范题2】函数y=的自变量x的取值范围是( )
A.x=2 B.x≠2 C.x=3 D.x≠3
【跟踪训练】
1.(2024·滨州中考)若函数y=的解析式在实数范围内有意义,则自变量x的取值范围是 .
2.(2024·泸州中考)函数y=的自变量x的取值范围是 .
考点3　用函数图象描述事物的变化规律
【示范题3】(2024·广安中考)向如图所示的空容器内匀速注水,从水刚接触底部时开始计时,直至把容器注满,在注水过程中,设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕),时间为x(单位:秒),则y关于x的函数图象大致为( )
【答题关键指导】
解答图象中的动点问题的两种思路
(1)准确把握图形的变与不变,如动态问题中求三角形的面积时,结合三角形的底和高的变化,求出相应的函数解析式,再结合函数的有关性质进行判断.
(2)把动点问题进行分类讨论,指出相应部分的函数解析式与所给选项比较.
【跟踪训练】
1.(2024·凉山州中考)匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
2.(2024·河南中考)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1),插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是( )
A.当P=440W时,I=2A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1A,Q的增加量相同
D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多
考点4　函数图象信息综合分析及应用
【示范题4】(2024·天津中考)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家.如图图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.6
②填空:张华从文化广场返回家的速度为 km/min;
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式;
(2)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.6【答题关键指导】
从函数图象获取信息的三个关键点
(1)分清图象的横纵坐标的意义及自变量的取值范围.
(2)若是分段函数要分段讨论.
(3)观察特殊点、特殊线:拐点是判断函数图象的倾斜程度或增减性发生变化的关键;平行线:函数值随自变量x的增大而保持不变.
【跟踪训练】
(2024·广元中考)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→C→B以
1 cm/s的速度匀速运动至点B,图②是点P运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则该三角形的斜边AB的长为( )
A.5 B.7 C.3 D.2第9课时　函数初步
【知识要点】
1.平面直角坐标系
(1)各象限点的坐标的符号特征:
第一象限(+,+);第二象限　(-,+)　;
第三象限(-,-);第四象限　(+,-)　.
(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点　纵坐标　为0;y轴上的点　横坐标　为0;原点的坐标为　(0,0)　.
(3)直线y=x上的点坐标特征:横坐标与纵坐标　相等　.
(4)直线y=-x上的点坐标特征:横坐标与纵坐标　互为相反数　.
【对点练习】
1.(1)下面各点在第二象限的是(B)
A.(-2,0) B.(-2,4)
C.(2,4) D.(2,-4)
(2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为(C)
A.-1 B.1 C.-3 D.0
(3)已知:点A(m-1,3)与点B(2,n-1)关于x轴对称,则(m+n)2 022的值为(B)
A.0 B.1 C.-1 D.201
【知识要点】
2.函数的定义
(1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做　常量　,数值变化的量叫做　变量　.
(2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有　唯一　确定的值与其对应,那么就说　x　是自变量,　y　是　x　的函数.
如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的　函数值　.
【对点练习】
2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是(B)
A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r
(2)下列说法正确的是(A)
A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数
B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数
C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数
D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点1　平面直角坐标系中点的坐标
【示范题1】(2024·滨州中考)若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是(A)
A.a> B.a<
C.0【答题关键指导】
1.关于x轴对称,则横坐标不变,纵坐标互为相反数.
2.关于y轴对称,则纵坐标不变,横坐标互为相反数.
3.关于原点对称,则横坐标、纵坐标均互为相反数.
【跟踪训练】
1.(2024·扬州中考)在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P'的坐标为(A)
A.(-1,-2) B.(-1,2)
C.(1,-2) D.(1,2)
2.(2024·江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为　(3,4)　.
考点2　函数中自变量的取值范围
【示范题2】函数y=的自变量x的取值范围是(D)
A.x=2 B.x≠2 C.x=3 D.x≠3
【跟踪训练】
1.(2024·滨州中考)若函数y=的解析式在实数范围内有意义,则自变量x的取值范围是　x≠1　.
2.(2024·泸州中考)函数y=的自变量x的取值范围是　x≥-2　.
考点3　用函数图象描述事物的变化规律
【示范题3】(2024·广安中考)向如图所示的空容器内匀速注水,从水刚接触底部时开始计时,直至把容器注满,在注水过程中,设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕),时间为x(单位:秒),则y关于x的函数图象大致为(B)
【答题关键指导】
解答图象中的动点问题的两种思路
(1)准确把握图形的变与不变,如动态问题中求三角形的面积时,结合三角形的底和高的变化,求出相应的函数解析式,再结合函数的有关性质进行判断.
(2)把动点问题进行分类讨论,指出相应部分的函数解析式与所给选项比较.
【跟踪训练】
1.(2024·凉山州中考)匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是(C)
2.(2024·河南中考)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1),插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是(C)
A.当P=440W时,I=2A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1A,Q的增加量相同
D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多
考点4　函数图象信息综合分析及应用
【示范题4】(2024·天津中考)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家.如图图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 　 0.6 　 　
②填空:张华从文化广场返回家的速度为　　　　　km/min;
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式;
(2)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.6【自主解答】(1)①由题中图象可填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.15 0.6 0.6 1.5
②由题中图象可知,张华从文化广场返回家的速度为=0.075(km/min).
答案:0.075
③张华从家到画社的速度为=0.15(km/min),
张华从画社到文化广场的速度为=0.15(km/min),当0≤x≤4时,y=0.15x;
当4当19(2)爸爸的速度为=0.075(km/min),
设张华出发x分钟时和爸爸相遇,
根据题意得0.15x-2.25=0.075(x-8),
解得x=22,
∴0.15×22-2.25=1.05(km),
答:从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km.
【答题关键指导】
从函数图象获取信息的三个关键点
(1)分清图象的横纵坐标的意义及自变量的取值范围.
(2)若是分段函数要分段讨论.
(3)观察特殊点、特殊线:拐点是判断函数图象的倾斜程度或增减性发生变化的关键;平行线:函数值随自变量x的增大而保持不变.
【跟踪训练】
(2024·广元中考)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→C→B以
1 cm/s的速度匀速运动至点B,图②是点P运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则该三角形的斜边AB的长为(A)
A.5 B.7 C.3 D.2

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