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第11课时　一次函数的实际应用
考点1　一次函数的图象信息问题
【示范题1】(2024·陕西中考)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
【自主解答】(1)设y=kx+b(0≤x≤240),代入(0,80),(150,50),
得,解得k=-,b=80,
∴y=-x+80;
(2)令x=240,则y=32,×100%=32%.
答:该车的剩余电量占“满电量”的32%.
【跟踪训练】
(2024·齐齐哈尔中考)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时,进行了时长为t秒的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题:
(1)a=　　　　米/秒,t=　　　　秒;
(2)求线段MN所在直线的函数解析式;
(3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
【解析】(1)由题意得甲无人机的速度a=48÷6=8(米/秒),t=39-19=20(秒).
答案:8　20
(2)由图象知,N(19,96),
∵甲无人机的速度为8米/秒,∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8=12(秒),∴甲无人机单独表演所用时间为19-12=7(秒),6+7=13(秒),∴M(13,48).
设线段MN所在直线的函数解析式为y=kx+b,将M(13,48),N(19,96)代入得
,解得,∴线段MN所在直线的函数解析式为y=8x-56.
(3)由题意A(0,20),B(6,48),同理线段OB所在直线的函数解析式为y=8x,线段AN所在直线的函数解析式为y=4x+20,
线段BM所在直线的函数解析式为y=48,
当0≤x≤6时,由题意得|4x+20-8x|=12,
解得x=2或x=8(舍去),
当6解得x=10或x=4(舍去),当13解得x=16或x=22(舍去),
综上,两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时,它们距离地面的高度差为12米.
考点2　应用一次函数解决最优方案问题
【示范题2】(2024·广元中考)近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:
价格/类别 短款 长款
进货价(元/件) 80 90
销售价(元/件) 100 120
(1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装分别购进的件数;
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少
【自主解答】(1)设购进短款服装x件,购进长款服装y件,
由题意可得,解得.
答:长款服装购进30件,短款服装购进20件.
(2)设第二次购进m件短款服装,
则购进(200-m)件长款服装,
由题意可得80m+90(200-m)≤16 800,
解得m≥120.
设利润为w元,则w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6 000.
∵-10<0,∴w随m的增大而减小,
∴当m=120时,
w最大=-10×120+6 000=4 800(元).
答:当购进120件短款服装,80件长款服装时有最大销售利润,最大销售利润是
4 800元.
【答题关键指导】
一次函数解决实际问题,一般涉及最优方案或最值问题,解决方法如下:
(1)一次函数关系不确定时,明确实际问题的意义,根据变量间的关系求出一次函数解析式.
(2)对于求方案问题,通常涉及两个相关量,解题方法为根据题中所要满足的解析式,通过列不等式,求解出某一个变量的取值范围,再根据另一个变量所要满足的条件,即可确定出有多少种方案.
(3)求最值的本质为求最优方案,解法有两种:①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数解析式求解,由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若为分段函数,则应分类讨论,先计算出每个分段函数的取值,再进行比较.显然,第②种方法更简单快捷.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少 并求出最少总费用.
【解析】(1)设A种花卉的单价为x元,B种花卉的单价为y元.
由题意得,解得,
答:A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元;
(2)设采购A种花卉m株,则采购B种花卉(10 000-m)株,总费用为W元.
由题意得W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000,
∵m≤4(10 000-m),解得m≤8 000.
在W=-2m+50 000中,
∵-2<0,∴W随m的增大而减小,
∴当m=8 000时,W的值最小,
Wmin=-2×8 000+50 000=34 000,
此时B种花卉株数为10 000-8 000=2 000.
答:当购进A种花卉8 000株,B种花卉2 000株时,总费用最少,最少费用为
34 000元.
(2022·福建中考)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问:可购买绿萝和吊兰各多少盆
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.
【解析】(1)设购买绿萝x盆,吊兰y盆,
依题意得,解得.
∵8×2=16,16<38,∴符合题意.
答:购买绿萝38盆,吊兰8盆.
(2)设购买绿萝m盆,则购买吊兰(46-m)盆,
依题意得m≥2(46-m),解得m≥.
设购买两种绿植的总费用为w元,
则w=9m+6(46-m)=3m+276,
∵3>0,∴w随m的增大而增大,
又∵m≥,且m为整数,∴当m=31时,w取得最小值,最小值为3×31+276=369.
答:购买两种绿植总费用的最小值为369元.第11课时　一次函数的实际应用
考点1　一次函数的图象信息问题
【示范题1】(2024·陕西中考)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
【跟踪训练】
(2024·齐齐哈尔中考)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时,进行了时长为t秒的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题:
(1)a= 米/秒,t= 秒;
(2)求线段MN所在直线的函数解析式;
(3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
考点2　应用一次函数解决最优方案问题
【示范题2】(2024·广元中考)近年来,中国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:
价格/类别 短款 长款
进货价(元/件) 80 90
销售价(元/件) 100 120
(1)该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装分别购进的件数;
(2)第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少
【答题关键指导】
一次函数解决实际问题,一般涉及最优方案或最值问题,解决方法如下:
(1)一次函数关系不确定时,明确实际问题的意义,根据变量间的关系求出一次函数解析式.
(2)对于求方案问题,通常涉及两个相关量,解题方法为根据题中所要满足的解析式,通过列不等式,求解出某一个变量的取值范围,再根据另一个变量所要满足的条件,即可确定出有多少种方案.
(3)求最值的本质为求最优方案,解法有两种:①可将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数解析式求解,由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若为分段函数,则应分类讨论,先计算出每个分段函数的取值,再进行比较.显然,第②种方法更简单快捷.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少 并求出最少总费用.
(2022·福建中考)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰,问:可购买绿萝和吊兰各多少盆
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.

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