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第13课时　反比例函数与一次函数的综合
考点1　有关取值范围问题
【示范题1】(2024·山东中考)列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系:
x - a 1
2x+b a 1
7
(1)求a,b的值,并补全表格;
(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y=的图象上方时,直接写出x的取值范围.
【自主解答】(1)当x=-时,2x+b=a,即-7+b=a,当x=a时,2x+b=1,即2a+b=1,∴,解得,∴一次函数解析式为y=2x+5,当x=1时,y=7.
∵当x=1时,y==7,即k=7,∴反比例函数解析式为y=,当x=-时,y=7÷(-)=-2,当x=-2时,y=-,
补全表格如下:
x - a 1
2x+b a 1 7
-2 - 7
(2)由表格信息可得两个函数的交点坐标分别为(-,-2),(1,7),
∴当y=2x+b的图象在y=的图象上方时,x的取值范围为-1.
【跟踪训练】
(2024·湖北中考)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函数y=的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
【解析】(1)由题意得-3+m=0,n+m=4,k=4n,解得m=3,n=1,k=4;
(2)∵S△AOC∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离,∴点C位于点B的右侧,∴a>1.
考点2　有关面积问题
【示范题2】(2024·甘肃中考)如图,在平面直角坐标系中,将函数y=ax的图象向上平移3个单位长度,得到一次函数y=ax+b的图象,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,4).过点B(0,2)作x轴的平行线分别交y=ax+b与y=(x>0)的图象于C,D两点.
(1)求一次函数y=ax+b和反比例函数y=的解析式;
(2)连接AD,求△ACD的面积.
【自主解答】(1)∵函数y=ax+b的图象是由函数y=ax的图象向上平移3个单位长度得到的,∴b=3.
将点A坐标代入一次函数解析式得,2a+3=4,解得a=,
∴一次函数解析式为y=x+3.
将点A坐标代入反比例函数解析式得,k=2×4=8,
∴反比例函数解析式为y=.
(2)将y=2代入y=x+3得,x+3=2,解得x=-2,
∴点C的坐标为(-2,2).
将y=2代入y=得x=4,
∴点D的坐标为(4,2),所以CD=4-(-2)=6,∴S△ACD=×6×(4-2)=6.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)如图,一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象交于A(2,4),B(n,-2)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)直线AB与x轴交于点C,点P(m,0)是x轴上的点,若△PAC的面积大于12,请直接写出m的取值范围.
【解析】(1)把点A(2,4)代入y=,得k=8,
∴反比例函数的解析式为y=.
把点B(n,-2)代入y=得n=-4,
∴B(-4,-2)
∵点A(2,4),B(-4,-2)在一次函数y=ax+b的图象上,
∴,解得,
∴一次函数的解析式为y=x+2.
(2)在函数y=x+2中,当y=0时,x=-2,
∴C(-2,0),
则PC=|m+2|.
∵S△PAC=×|m+2|×4>12,
∴|m+2|>6,
解得m>4或m<-8.第13课时　反比例函数与一次函数的综合
考点1　有关取值范围问题
【示范题1】(2024·山东中考)列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系:
x - a 1
2x+b a 1
7
(1)求a,b的值,并补全表格;
(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y=的图象上方时,直接写出x的取值范围.
【跟踪训练】
(2024·湖北中考)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函数y=的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
考点2　有关面积问题
【示范题2】(2024·甘肃中考)如图,在平面直角坐标系中,将函数y=ax的图象向上平移3个单位长度,得到一次函数y=ax+b的图象,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,4).过点B(0,2)作x轴的平行线分别交y=ax+b与y=(x>0)的图象于C,D两点.
(1)求一次函数y=ax+b和反比例函数y=的解析式;
(2)连接AD,求△ACD的面积.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)如图,一次函数y=ax+b(a,b为常数,a≠0)的图象与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象交于A(2,4),B(n,-2)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)直线AB与x轴交于点C,点P(m,0)是x轴上的点,若△PAC的面积大于12,请直接写出m的取值范围.

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