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第15课时　二次函数的应用
考点1　用二次函数解决抛物线型问题
【示范题1】(2024·天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答题关键指导】
抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题
1.解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
2.解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.
3.注意问题:(1)题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误.(2)忽视了自变量的取值范围,造成错解.(3)由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了所在的象限,造成符号错误.
【跟踪训练】
1.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
2.(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= m.
考点2　应用二次函数性质,解决最优化问题
【示范题2】(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 m2.
【答题关键指导】
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意,列出抛物线解析式,设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型.
(2)列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围.
(3)根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处取得,注意若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值.
(4)用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是利用函数图象与性质求函数的最大值或最小值,如经济问题中的最大利润,还有几何问题中的最大面积、最大高度等,其关键是将实际问题“数学化”,即转化为相应的数学模型.
【跟踪训练】
(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为
2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少 第15课时　二次函数的应用
考点1　用二次函数解决抛物线型问题
【示范题1】(2024·天津中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答题关键指导】
抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题
1.解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
2.解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.
3.注意问题:(1)题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误.(2)忽视了自变量的取值范围,造成错解.(3)由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了所在的象限,造成符号错误.
【跟踪训练】
1.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　能　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
2.(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= 　m.
考点2　应用二次函数性质,解决最优化问题
【示范题2】(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是　46.4　m2.
【答题关键指导】
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意,列出抛物线解析式,设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型.
(2)列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围.
(3)根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处取得,注意若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值.
(4)用二次函数解决实际问题中的最优化问题,其实质就是利用函数图象与性质求函数的最大值或最小值,如经济问题中的最大利润,还有几何问题中的最大面积、最大高度等,其关键是将实际问题“数学化”,即转化为相应的数学模型.
【跟踪训练】
(2024·滨州中考)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为
2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
由题中表格可得,,
解得,
∴y与x之间的函数关系式是y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
(2)由题意可得,
w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000,
即w与x之间的函数关系式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80,且x是整数);
(3)由(2)知,
w=-4x2+324x-2 000=-4(x-)2+4 561,
∵30≤x≤80,且x是整数,
∴当x=40或41时,w取得最大值,此时w=4 560,
答:该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时,每天获利最大,最大利润是4 560元.

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