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第19课时　尺规作图
知识要点 作图方法 作法 作图依据
作一条线段等于已知线段 1.作射线OP; 2.以点O为圆心,a为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求作的线段. 圆上的点到圆心的距离等于半径
作一个角等于已知角 1.以点O为圆心,以适当长为半径作弧,分别交∠α的两边于点P,Q; 2.作射线O'A; 3.以点O'为圆心,OP长为半径作弧,交O'A于点M,可得到O'M=OP; 4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,与前弧相交于点N,可得到MN=PQ; 5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的角. 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等
作一个角的平分线 1.以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA于点N,交OB于点M,可得到OM=ON; 2.分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点P,可得到MP=PN; 3.作射线OP,OP即为所求作的角平分线. 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等
作线段的垂直平分线 1.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径,在AB两侧作弧,两弧交于两点; 2.过两弧交点的直线l即为所求作的垂直平分线. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
过已知点作直线的垂线 (1)点在直线上 (2)点在直线外 1.以点P为圆心,任意长为半径向点P两侧作弧,交直线于点A和点B,可得到PA=PB; 2.分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径向直线两侧作弧,两弧相交于M,N两点,可得到MA=MB=NA=NB; 3.连接MN,则直线MN即为所求作的垂线. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
考点1　作一条线段等于已知线段
【示范题1】用尺规作图:(不要求写作法)
如图,已知线段AB=a,CD=b,作线段EF=b-2a.
【自主解答】如图,EH=b,HI=FI=a,EF=b-2a,EF即为所求.
【答题关键指导】
作法:①作射线AB;②在射线AB上截取AC=a,则线段AC就是所求作的线段,如图.作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础,利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段.
【跟踪训练】
如图,已知线段a和线段AB.
(1)延长线段AB到C,使BC=a(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若AB=6,BC=4,点O是线段AC的中点,求线段OB的长.
【解析】(1)如图所示,即为所求;
(2)∵AB=6,BC=4,∴AC=AB+BC=10,
∵点O是线段AC的中点,
∴AO=AC=5,∴OB=AB-AO=1.
考点2　作一个角等于已知角
【示范题2】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是线段BC上一点.
(1)尺规作图:在△ABC内作∠CDE=∠B,与边AC交于点E(保留作图痕迹,不用写作法);
(2)在(1)的条件下,当∠C=30°时,求∠CDE的度数.
【自主解答】(1)如图,∠CDE为所作;
(2)∵∠B+∠C+∠A=180°,∠A=90°,∠C=30°,∴∠B=180°-90°-30°=60°,
∴∠CDE=∠B=60°.
【答题关键指导】
作法:①作射线O'A';②以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;③以O'为圆心,以OC的长为半径画弧,交O'A'于点C';④以C'为圆心,以CD的长为半径画弧,交前弧于点D';⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角,如图.
【跟踪训练】
如图,在△ABC中,∠C>∠B.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内求作∠ACD,使∠ACD=∠B,CD交AB于D.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若AC=6,AB=9,求AD的长.
【解析】(1)以B为圆心,小于AB的任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F,以C为圆心,以BE长为半径画弧,交AC于点G,以G为圆心,以EF长为半径画弧,交前弧于点H,连接CH并延长交AB于点D即可,如图所示.
(2)∵∠ACD=∠ABC,∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC,∴=,即=,
∴AD=4.
考点3　作一个角的平分线
【示范题3】尺规作图:已知∠AOB,求作∠AOB的平分线OC.(保留作图痕迹,不写作法)
【自主解答】如图所示,射线OC即为所求.
【答题关键指导】
作法:①在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C;③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线,如图.
【跟踪训练】
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,AB(1)实践与操作:利用尺规作∠ADC的平分线,交BC于点E(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)猜想与证明:试猜想线段AD,DC,BE的关系,并加以证明.
【解析】(1)如图所示,射线DE即为所求;
(2)AD=CD+BE.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADE=∠DEC,
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,
∴AD=BC=BE+CD.
2.如图,有三幢公寓楼分别建在点A,点B,点C处,AB,AC,BC是连接三幢公寓楼的三条道路,要修建一超市P,按照设计要求,超市要在△ABC的内部,且到A,C的距离必须相等,到两条道路AC,AB的距离也必须相等,请利用尺规作图确定超市P的位置.(不要求写出作法、证明,但要保留作图痕迹).
【解析】如图,P点即为所作.
考点4　作线段的垂直平分线
【示范题4】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠B=30°.请用尺规作图法在BC上找一点D,连接AD,使得∠ADB=120°.(保留作图痕迹,不写作法)
【自主解答】如图,点D为所作.
【答题关键指导】
作法:①分别以点A和B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D;②作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂直平分线,如图.
【跟踪训练】
如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O(要求用尺规作图,保留作图痕迹.不要求写作法);
(2)若BC=8,CD=4,求BF的长.
【解析】(1)如图所示,直线EF即为所求;
(2)连接FD,
∵EF垂直平分线段BD,∴BF=DF,
∵BC=8,CD=4,∠C=90°,∴设BF=x,则CF=8-x,
∵CF2+CD2=DF2,即(8-x)2+42=x2,解得x=5,∴BF的长为5.
考点5　作圆及切线问题
【示范题5】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°.
(1)尺规作图:作Rt△ABC的内切圆(保留作图痕迹,请标明字母);
(2)若Rt△ABC中AB=3,BC=4,求Rt△ABC内切圆的面积.
【自主解答】(1)如图所示,☉O即为所求;
(2)∵Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
设☉O的半径为r,
则(3+4+5)×r=×3×4,
解得r=1,
∴Rt△ABC内切圆的面积为πr2=π×12=π.
【答题关键指导】
作圆问题:①三角形的内心(到各边距离相等):三条角平分线的交点;②三角形的外心(到各顶点距离相等):三条垂直平分线的交点;③将作圆问题转化成作角平分线或垂直平分线问题;
作圆切线问题:以切点为圆心,任意长为半径画弧,与过切点的直径所在直线有两个交点,再以这两个交点为圆心,大于这两点的距离的一半为半径画弧,两弧的两个交点连线即可.
【跟踪训练】
1.已知:如图,A,B,C三个点.求作:☉O,使☉O经过A,B,C三点.
【解析】如图,☉O即为所求,
2.尺规作图:(不写作法,保留作图痕迹)
已知:☉O和☉O外一点P.
求作:过点P的☉O的切线PA,PB.
【解析】作图如图,直线PA,PB即为所作的☉O的切线.
1.(2023·福建中考)阅读以下作图步骤:
①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;
②分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点M;
③作射线OM,连接CM,DM,如图所示.
根据以上作图,一定可以推得的结论是(A)
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建中考)如图,已知直线l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.
【解析】(1)如图1,直线l即为所求作的直线;
(2)①当∠BAC=90°,AB=AC时,如图2,
∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,
根据图形的对称性可知:BC=2,
∴AB=AC=,
∴S△ABC=AB·AC=1;
②当∠ABC=90°,BA=BC时,
如图3,分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足为M,N,
∴∠AMB=∠BNC=90°,
∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,
∴CN=2,AM=1,
∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°,
∴∠MAB=∠NBC,
∴△AMB≌△BNC(AAS),
∴BM=CN=2,
在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2=12+22=5,
∴AB=,
∴S△ABC=AB·BC=;
③当∠ACB=90°,CA=CB时,同②可得,
S△ABC=;
综上所述,△ABC的面积为1或.第19课时　尺规作图
知识要点 作图方法 作法 作图依据
作一条线段等于已知线段 1.作射线OP; 2.以点O为圆心,a为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求作的线段. 圆上的点到圆心的距离等于半径
作一个角等于已知角 1.以点O为圆心,以适当长为半径作弧,分别交∠α的两边于点P,Q; 2.作射线O'A; 3.以点O'为圆心,OP长为半径作弧,交O'A于点M,可得到O'M=OP; 4.以点M为圆心,PQ长为半径作弧,与前弧相交于点N,可得到MN=PQ; 5.过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求作的角. 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等
作一个角的平分线 1.以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA于点N,交OB于点M,可得到OM=ON; 2.分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点P,可得到MP=PN; 3.作射线OP,OP即为所求作的角平分线. 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等
作线段的垂直平分线 1.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径,在AB两侧作弧,两弧交于两点; 2.过两弧交点的直线l即为所求作的垂直平分线. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
过已知点作直线的垂线 (1)点在直线上 (2)点在直线外 1.以点P为圆心,任意长为半径向点P两侧作弧,交直线于点A和点B,可得到PA=PB; 2.分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径向直线两侧作弧,两弧相交于M,N两点,可得到MA=MB=NA=NB; 3.连接MN,则直线MN即为所求作的垂线. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
考点1　作一条线段等于已知线段
【示范题1】用尺规作图:(不要求写作法)
如图,已知线段AB=a,CD=b,作线段EF=b-2a.
【答题关键指导】
作法:①作射线AB;②在射线AB上截取AC=a,则线段AC就是所求作的线段,如图.作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础,利用它可以作出已知线段的和、差、倍等线段.
【跟踪训练】
如图,已知线段a和线段AB.
(1)延长线段AB到C,使BC=a(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若AB=6,BC=4,点O是线段AC的中点,求线段OB的长.
考点2　作一个角等于已知角
【示范题2】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是线段BC上一点.
(1)尺规作图:在△ABC内作∠CDE=∠B,与边AC交于点E(保留作图痕迹,不用写作法);
(2)在(1)的条件下,当∠C=30°时,求∠CDE的度数.
【答题关键指导】
作法:①作射线O'A';②以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;③以O'为圆心,以OC的长为半径画弧,交O'A'于点C';④以C'为圆心,以CD的长为半径画弧,交前弧于点D';⑤过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'就是所求作的角,如图.
【跟踪训练】
如图,在△ABC中,∠C>∠B.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内求作∠ACD,使∠ACD=∠B,CD交AB于D.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若AC=6,AB=9,求AD的长.
考点3　作一个角的平分线
【示范题3】尺规作图:已知∠AOB,求作∠AOB的平分线OC.(保留作图痕迹,不写作法)
【答题关键指导】
作法:①在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C;③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线,如图.
【跟踪训练】
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,AB(1)实践与操作:利用尺规作∠ADC的平分线,交BC于点E(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)猜想与证明:试猜想线段AD,DC,BE的关系,并加以证明.
2.如图,有三幢公寓楼分别建在点A,点B,点C处,AB,AC,BC是连接三幢公寓楼的三条道路,要修建一超市P,按照设计要求,超市要在△ABC的内部,且到A,C的距离必须相等,到两条道路AC,AB的距离也必须相等,请利用尺规作图确定超市P的位置.(不要求写出作法、证明,但要保留作图痕迹).
考点4　作线段的垂直平分线
【示范题4】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠B=30°.请用尺规作图法在BC上找一点D,连接AD,使得∠ADB=120°.(保留作图痕迹,不写作法)
【答题关键指导】
作法:①分别以点A和B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D;②作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂直平分线,如图.
【跟踪训练】
如图,BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F,垂足为点O(要求用尺规作图,保留作图痕迹.不要求写作法);
(2)若BC=8,CD=4,求BF的长.
考点5　作圆及切线问题
【示范题5】如图,已知△ABC中,∠ABC=90°.
(1)尺规作图:作Rt△ABC的内切圆(保留作图痕迹,请标明字母);
(2)若Rt△ABC中AB=3,BC=4,求Rt△ABC内切圆的面积.
【答题关键指导】
作圆问题:①三角形的内心(到各边距离相等):三条角平分线的交点;②三角形的外心(到各顶点距离相等):三条垂直平分线的交点;③将作圆问题转化成作角平分线或垂直平分线问题;
作圆切线问题:以切点为圆心,任意长为半径画弧,与过切点的直径所在直线有两个交点,再以这两个交点为圆心,大于这两点的距离的一半为半径画弧,两弧的两个交点连线即可.
【跟踪训练】
1.已知:如图,A,B,C三个点.求作:☉O,使☉O经过A,B,C三点.
2.尺规作图:(不写作法,保留作图痕迹)
已知:☉O和☉O外一点P.
求作:过点P的☉O的切线PA,PB.
1.(2023·福建中考)阅读以下作图步骤:
①在OA和OB上分别截取OC,OD,使OC=OD;
②分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点M;
③作射线OM,连接CM,DM,如图所示.
根据以上作图,一定可以推得的结论是( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
2.(2024·福建中考)如图,已知直线l1∥l2.
(1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积.

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