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第20课时　等腰三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.等腰三角形 (1)定义:有 相等的三角形 (2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形, 是它的对称轴 ②定理:(i)等腰三角形的两个底角 (简称: ) (ii)等腰三角形顶角 、底边上的中线和底边上的 相互重合(简称“三线合一”) (3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (简写为“ ”) 1.(1)(教材再开发·人教八上P8T6改编)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为 cm. (2)等腰三角形的顶角度数为70°,则它的底角度数为 . (3)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD= .
2.等边三角形 (1)定义: 相等的三角形 (2)性质:①等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 ②等边三角形是轴对称图形,并且有 条对称轴 (3)判定:①三个角都 的三角形 ②有一个角是60°的 三角形 2.(教材再开发·人教八上P80T2改编) 如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为 .
3.线段的垂直平分线 (1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 . (2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 上. 3.如图是求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是( ) A.∠B=45°　　　B.AE=EB C.AC=BC D.AB⊥CD
考点1　等腰三角形的性质与判定
【示范题1】(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
【答题关键指导】
等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:
如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)若AD⊥BC,则BD=DC,∠1=∠2.
(2)若BD=DC,则AD⊥BC,∠1=∠2.
(3)若∠1=∠2,则AD⊥BC,BD=DC.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .
2.(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 .
3. (2024·德阳中考)如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是 .
考点2　等边三角形的性质与判定
【示范题2】
(2024·自贡中考)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答题关键指导】
等边三角形是特殊的等腰三角形,解题时,要灵活运用下列性质:
(1)三条边相等.
(2)三个角相等,并且都等于60°.
(3)是轴对称图形,并且有三条对称轴.
(4)具有“等边对等角”及“三线合一”的性质.
【跟踪训练】
1.(2024·湖北中考)△DEF为等边三角形,分别延长FD,DE,EF,到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则∠DBF= ,FG= .
2.(2024·新疆中考)【探究】
(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
【运用】
(2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=2.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.
考点3　线段垂直平分线的性质与判定
【示范题3】(2024·凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=( )
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
【答题关键指导】
线段垂直平分线的应用特征
(1)线段垂直平分线中的两组线段相等:
①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段.
(2)当出现“垂直平分” 字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.
【跟踪训练】
1.(2024·眉山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为( )
A.7 B.8 C.10 D.12
2.(2024·山东中考)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别与AM,AN相交于点B,C;分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧在∠MAN内部相交于点P,作射线AP.分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,则F到AN的距离为 .
(2022·福建中考)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)( )
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm第20课时　等腰三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.等腰三角形 (1)定义:有　两边　相等的三角形 (2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,　底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线　是它的对称轴 ②定理:(i)等腰三角形的两个底角　相等　(简称:　等边对等角　) (ii)等腰三角形顶角　平分线　、底边上的中线和底边上的　高　相互重合(简称“三线合一”) (3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也　相等　(简写为“　等角对等边　”) 1.(1)(教材再开发·人教八上P8T6改编)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为　20　cm. (2)等腰三角形的顶角度数为70°,则它的底角度数为　55°　. (3)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD=　2　.
2.等边三角形 (1)定义:　三边　相等的三角形 (2)性质:①等边三角形的三个内角都　相等　,并且每一个角都等于　60°　 ②等边三角形是轴对称图形,并且有　三　条对称轴 (3)判定:①三个角都　相等　的三角形 ②有一个角是60°的　等腰　三角形 2.(教材再开发·人教八上P80T2改编) 如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为　 cm　.
3.线段的垂直平分线 (1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　相等　. (2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　垂直平分线　上. 3.如图是求作线段AB中点的作图痕迹,则下列结论不一定成立的是(A) A.∠B=45°　　　B.AE=EB C.AC=BC D.AB⊥CD
考点1　等腰三角形的性质与判定
【示范题1】(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为(C)
A. B.2 C.3 D.
【答题关键指导】
等腰三角形的“三线合一”,包括以下三个结论:
如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)若AD⊥BC,则BD=DC,∠1=∠2.
(2)若BD=DC,则AD⊥BC,∠1=∠2.
(3)若∠1=∠2,则AD⊥BC,BD=DC.
【跟踪训练】
1.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　100°　.
2.(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为　2　.
3. (2024·德阳中考)如图,四边形ABCD是矩形,△ADG是正三角形,点F是GD的中点,点P是矩形ABCD内一点,且△PBC是以BC为底的等腰三角形,则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　2　.
考点2　等边三角形的性质与判定
【示范题2】
(2024·自贡中考)如图,等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢(D)
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
【答题关键指导】
等边三角形是特殊的等腰三角形,解题时,要灵活运用下列性质:
(1)三条边相等.
(2)三个角相等,并且都等于60°.
(3)是轴对称图形,并且有三条对称轴.
(4)具有“等边对等角”及“三线合一”的性质.
【跟踪训练】
1.(2024·湖北中考)△DEF为等边三角形,分别延长FD,DE,EF,到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则∠DBF=　30°　,FG= 　.
2.(2024·新疆中考)【探究】
(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
①如图1,当点D在BC上时,连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由;
②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关系,并说明理由.
【运用】
(2)如图3,等边三角形ABC中,AB=6,点E在AC上,CE=2.点D是直线BC上的动点,连接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时,请直接写出BD的长.
【解析】(1)①CE+CD=CA.理由如下,
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵BD+CD=BC,
∴CE+CD=CA.
②CA+CD=CE.理由如下,
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴CE=BD,
∵CB+CD=BD,
∴CA+CD=CE.
(2)过E作EH∥AB,则△EHC为等边三角形.
①当点D在H左侧时,如图1,
∵ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC,
∴△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠ECF=∠EHD=120°,
此时△CEF不可能为直角三角形.
②当点D在H右侧,且在线段CH上时,如图2,
同理可得△EDH≌△EFC(SAS),
∴∠FCE=∠EHD=60°,∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°,
此时只有∠EFC有可能为90°,
当∠EFC=90°时,∠EDH=90°,
∴ED⊥CH,
∵CH=CE=2,
∴CD=CH=,
又∵AB=6,
∴BD=6-.
③当点D在H右侧,且在HC延长线上时,如图3,
此时只有∠CEF=90°,
∵∠DEF=60°,
∴∠CED=30°,
∵∠ECH=60°,
∴∠EDC=∠CED=30°,
∴CD=CE=2,
∴BD=6+2.
综上:BD的长为6-或6+2.
考点3　线段垂直平分线的性质与判定
【示范题3】(2024·凉山州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若△ACD的周长为50 cm,则AC+BC=(C)
A.25 cm B.45 cm
C.50 cm D.55 cm
【答题关键指导】
线段垂直平分线的应用特征
(1)线段垂直平分线中的两组线段相等:
①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
②被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段.
(2)当出现“垂直平分” 字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.
【跟踪训练】
1.(2024·眉山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为(C)
A.7 B.8 C.10 D.12
2.(2024·山东中考)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别与AM,AN相交于点B,C;分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧在∠MAN内部相交于点P,作射线AP.分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,则F到AN的距离为 　.
(2022·福建中考)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)(B)
A.9.90 cm B.11.22 cm C.19.58 cm D.22.44 cm

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