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新高考2卷——2025届高考数学全真模拟卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2024年北京高考真题]若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
2．[2024年天津高考真题]集合，，则( )
A. B. C. D.
3．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]已知向量，，若，则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]当时，曲线与的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
5．[2024年全国甲卷高考真题]已知b是a，c的等差中项，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.
6．[2024年新课标全国Ⅱ卷高考真题]已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.1 C.2 D.3
7．[2024年天津高考真题]已知函数的最小正周期为，则在的最小值为( )
A. B. C.0 D.
8．[2024年上海高考真题]已知定义在R上的函数，集合对于任意，在使得的所有中，下列说法成立的是( )
A.存在是偶函数 B.存在在处取到最大值
C.存在在R上单调递增 D.存在在处取到极小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．[2024年新课标全国Ⅱ卷高考真题]抛物线的准线为l，P为C上的动点.对P作的一条切线，Q为切点，对P作l的垂线，垂足为B.则( )
A.l与相切 B.当P，A，B三点共线时，
C.当时， D.满足的点P有且仅有2个
10．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）( )
A. B. C. D.
11．[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]设函数，则( )
A.是的极小值点 B.当时，
C.当时， D.当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．[2024年天津高考真题]若函数恰有一个零点，则a的取值范围为__________.
13．[2024年上海高考真题]已知三角形三条边长分别为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为__________.
14．[2024年上海高考真题]某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(13分)[2024年上海高考真题]为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
锻炼时长 学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 139 191 179 43 28
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长；（精确到0.1）
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
附：，.
16．(15分)[2024年天津高考真题]已知数列是等比数列，公比大于0，其前n项和为，若，.
（1）求数列的前n项和.
（2）设，.
（ⅰ）当，时，求证：；
（ⅱ）求.
17．(15分)[2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题]已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
18．(17分)[2024年天津高考真题]已知椭圆，椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．(17分)[2024年上海高考真题]如图，PA，PB，PC为圆锥的三条母线，.
（1）证明：；
（2）若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的大小.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得，.故选：C.
2．答案：B
解析：因为集合，，所以，故选：B.
3．答案：D
解析：解法一：因为，所以，即.因为，，所以，，得，所以，解得，故选D.
解法二：因为，，所以.因为，所以，所以，所以，解得，故选D.
4．答案：C
解析：因为函数的最小正周期，所以函数在上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数与在上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
5．答案：C
解析：根据题意有，即，所以直线过点.设圆的圆心为C，连接CM，则时，最小，将圆的方程化为，则，所以，所以的最小值为，故选C.
6．答案：B
解析：设正三棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作平面ABC于点O，PO交平面于点，连接，，如图所示.由，可得，，又，，所以正三棱台的体积，解得，故.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则，因为平面ABC，所以是与平面ABC所成的角，在中，，故选B.
7．答案：A
解析：由的最小正周期为，可得，所以，所以.当时，，，所以，故选A.
8．答案：B
解析：对于A，因为，所以在上恒成立，此时与是偶函数矛盾，故A错误；
对于B，不妨取，满足在处取到最大值，故B正确；
对于C，若存在在R上单调递增，则对任意，当时都有，则此时，与矛盾，故C错误；对于D，若存在在处取到极小值，则存在一个，对于任意x满足，都有，，而由以及M的含义知，与对于任意x满足矛盾，故D错误.故选B.
9．答案：ABD
解析：对于A，易知，故l与相切，A正确；
对于B，，的半径，当P，A，B三点共线时，，所以，，故B正确；
对于C，当时，，或，，易知PA与AB不垂直，故C错误；
对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知，由抛物线定义可知，因为，所以，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为，即，代入可得，解得，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD.
10．答案：BC
解析：由题意可知，，所以，，所以，所以A错误，B正确；
因为，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正确，D错误.故选BC.
11．答案：ACD
解析：对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；
对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.
12．答案：
解析：①当时，，令，得，，即有两个零点，不满足题意.②当时，令，则，由可得，则，解得或.
（ⅰ）若，则由可得，化简得，令，，则在上单调递减，在上单调递增，又，，当时，，作出的大致图象如图所示.（ⅱ）若，因为不是的零点，所以.由可得，化简得，令，且，则在，上单调递减，在上单调递增，又，，当时，，当时，，作出的大致图象如图所示.数形结合可知，若恰有一个零点，则，解得或，即a的取值范围为.
13．答案：3
解析：由题意可知，则，由双曲线的定义可得，则，因此双曲线的离心率.
14．答案：0.85（或）
解析：A题库占，B题库占，C题库占，则所求概率.
15．答案：(1)
(2)
(3)有
解析：(1)由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为.
(2)估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
.
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
(3)由题列联表如下：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关.其中..
则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.
16．答案：（1）
（2）（ⅰ）证明见解析
（ⅱ）
解析：（1）设的公比为，则，得，所以.
（2）（ⅰ）由（1）知，，所以.
当时，，
，
所以.
设，，则，
所以在上单调递增，，所以，即.
（ⅱ）令，得，令，得，，
令，得，，，，
所以，，…，是一个以为首项，2k为公差的等差数列.
因为，所以，
所以，，
两式相减，得，
所以.
17．答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2），
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.综上，b的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）存在，点T的纵坐标的取值范围是
解析：（1）因为，所以，，
由题知，，，
所以，得，所以，.
故椭圆的方程为.
（2）设，，.
当直线PQ的斜率不存在时，不妨设，，
则，解得.
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为，
由可得，
所以，，.
因为
，
所以对恒成立，
则有，解得.
综上可得，，即点T的纵坐标的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取BC的中点M，连接AM，PM，
因为，所以，
因为PB，PC均是圆锥的母线，所以，所以，
又，平面PMA，所以平面PMA，
又平面PMA，所以.
（2）设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，所以.
因为，所以，
因为BC为底面直径，A为底面圆周上一点，，所以.
因为，，，所以，
过点B作，交PA于点H，连接CH，
由对称性可知，，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，所以，则，
在中，，
故，即二面角的大小为.

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