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第4讲　圆周运动　天体的运动 专题强化练
[基础巩固练]
1.（2024·江苏卷·11）如图所示，轻绳的一端拴一个蜂鸣器，另一端穿过竖直管握在手中。
蜂鸣器在水平面内做匀速圆周运动，缓慢下拉绳子，使蜂鸣器升高到水平面内继续做匀速圆周运动。不计空气阻力和摩擦力，与升高前相比，蜂鸣器（ ）
A．角速度不变 B．线速度减小 C．向心加速度增大 D．所受拉力大小不变
2.(2024·湖北黄石一模)电影中的太空电梯非常吸引人。现假设已经建成了如图所示的太空电梯，其通过超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转。图中配重空间站比同步空间站更高，P是缆绳上的一个平台。则下列说法正确的是（ ）
A．太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离的平方成反比
B．超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心
C．若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边落向地球
D．若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，且断裂处为椭圆的远地点
3．(2024·山东菏泽二模) 2024年4月25日晚，神舟18号载人飞船成功发射，在飞船竖直升空过程中，整流罩按原计划顺利脱落。整流罩脱落后受空气阻力与速度大小成正比，它的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．(2024·湖北·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　）
空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
5．(多选)(2023·吉林长春市第四次调研)2022年2月5日，由曲春雨、范可新、张雨婷、武大靖、任子威组成的短道速滑混合接力队夺得中国在该次冬奥会的首枚金牌，如图所示。若将运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而使冰刀受到与冰面夹角为θ(蹬冰角)的支持力，不计一切摩擦，弯道半径为R，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　)
A．运动员转弯时速度的大小为
B．运动员转弯时速度的大小为
C．若运动员转弯速度变大则需要增大蹬冰角
D．若运动员转弯速度变大则需要减小蹬冰角
6.(2024·江西上饶模拟预测)“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，由两颗恒星组成，双星系统远离其他恒星，在相互的万有引力作用下绕连线上一点做周期相同的匀速圆周运动。如图所示，A、B两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O做匀速圆周运动，经过t（小于周期）时间，A、B两恒星的动量变化量分别为、，则下列判断正确的是（　　）
B． C． D．
[素养提升练]
7．(2024·山东·模拟预测)天文学家利用开普勒太空望远镜寻找地外行星。当恒星系统中的行星运行到探测器与恒星之间时，由于行星的遮挡，探测器光度计传感器接收到的恒星亮度会变弱。可以根据恒星亮度的这种周期性微弱变化来推算行星和恒星的相关数据。如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化（和已知），已知引力常量为G，忽略探测器和恒星Q间的相对运动。则（ ）
A．三者连续两次共线的时间间隔为 B．恒星Q的质量为
C．行星P的质量为 D．恒星Q表面的重力加速度小于
8．(多选)(2024·湖南岳阳·三模)如图所示，古代起重的一个辘轳由两个直径不同，固定在同一轴上的圆柱体组成，一根轻绳绕在两圆柱上，摇把匀速转动时，小圆柱体上绳子下降，大圆柱体上绳子上升，从而提起重物，不计摩擦、滑轮和摇把重力的影响，已知重物重力大小为G，小圆柱和大圆柱体的半径分别是r和R，摇把的半径为L，摇把匀速转动的角速度为ω，则（ ）
A．摇把匀速转动时，重物上升的速度为
B．摇把匀速转动时，重物上升克服重力做功的功率为
C．摇把匀速转动时，作用在摇把上的力最小为
D．摇把上的力对摇把做的功等于重物动能的增加量
9．(多选)(2022·河南新乡·期中)如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m的可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴转动。三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三个物体与O点共线且，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。若圆盘从静止开始转动，角速度缓慢地增大，取重力加速度大小，则对于这个过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体A、B同时达到最大静摩擦力
B．物体C受到的静摩擦力先增大后不变
C．当时整体会发生滑动
D．当时，在增大的过程中B、C间的拉力不断增大
10．(2024·四川内江检测题)某玩具可简化为如图所示的模型，竖直杆上同一点O系有两根长度均为l的轻绳，两轻绳下端各系一质量为m的小球，两小球间用长为l的轻绳相连，轻绳不可伸长。当球绳系统绕竖直杆以不同的角速度匀速转动时，小球A、B关于杆对称，关于绳上的弹力与绳上的弹力大小与角速度平方的关系图像，正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．(2024·江西卷·14)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。
12．(2024·湖南长沙·一模)质量为M，半径为R的半球静止地放置在光滑水平地面上，其表面也是光滑的。半球顶端放有一质量为m的小滑块（可视为质点），开始时两物体均处于静止状态。小滑块在外界的微小扰动下从静止开始自由下滑，小滑块的位置用其和球心连线与竖直方向夹角表示。已知重力加速度为g。
（1）若半球在外力作用下始终保持静止，求当半球对小滑块支持力等于滑块重力一半时对应角度的余弦值；
（2）若半球可在水平面内自由滑动，现发现小物块脱离半球时对应角度为，已知cos37°=0.8，sin37°=0.6，试求：
①半球与小滑块质量之比；
②如下图所示，当运动时间无限小时，曲线运动可以看成圆周运动，对应圆称为曲率圆，其半径称为曲率半径，即把整条曲线用一系列不同曲率半径的小圆弧替代。求小滑块的运动轨迹曲线在其脱离半球时对应点的曲率半径（答案可用分数表示）。
[尖优生选练]
13.(2024·青海西宁期末)转盘游戏深受人们喜爱，现将其简化为如图所示模型。倾角为的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动，盘面上距离轴r处有一可视为质点的小物块与圆盘始终保持相对静止，物块与盘面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，圆盘的角速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法错误的是（　　）
A．μ的最小值为
B．物块从最低点第一次转到最高点的过程中，转盘对物块的冲量大小为
C．物块运动到任意关于转轴对称的两点时受到的摩擦力的大小分别为、，一定有
D．ω增大，物块在最高点受到的摩擦力一定增大
第4讲　圆周运动　天体的运动 专题强化练 参考答案
1.　C
解析　设绳子与竖直方向夹角为θ，小球做圆周运动的半径为r，小球质量为m。对小球分析有，。根据a、b两个位置可知，b位置更高，则θb >θa，代入上式，故此FTb > FTa，anb > ana，故C正确、D错误；根据角动量守恒有mvr = mωr2 = L
可解出θb >θa，代入上式，有vb > va，ωb >ωa 故AB错误。
2.　B
解析　太空电梯上各点具有相同的角速度，根据可知，太空电梯上各点加速度与该点离地球球心的距离成正比，故A错误；P平台如果只受地球万有引力，则圆周运动角速度比同步空间站要快，而实际圆周运动角速度等于同步空间站角速度，则在万有引力之外，P平台还受到缆绳拉力，故地球的引力与缆绳拉力提供P平台做圆周运动所需的向心力，P平台做圆周运动所需的向心力小于地球对它的万有引力，所以超级缆绳对P平台的作用力方向背离地心，故B正确；若从配重空间站向外自由释放一个小物块，则小物块会一边朝配重空间站转动的方向向前运动一边偏离地球，做离心运动，故C错误；若两空间站之间缆绳断裂，配重空间站将绕地球做椭圆运动，其断裂处为椭圆的近地点，因为在近地点线速度较大，半径较小，需要的向心力更大，故D错误。
3.　A
解析　空气阻力与速度大小成正比，设空气阻力为，上升阶段由牛顿第二定律，随着速度的减小，加速度逐渐减小，上升阶段做加速度逐渐减小的减速运动。在最高点加速度为，下降阶段由牛顿第二定律，随着速度的增大，加速度继续减小，下降阶段做加速度逐渐减小的加速运动。故选A。
4.　A
解析　A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；
B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；
D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。
5.　AD
解析　依题意，运动员转弯时，根据牛顿第二定律有＝m，可得其转弯时速度的大小为v＝，故A正确，B错误；依题意，根据运动员转弯时速度的大小v＝可知，若减小蹬冰角θ，则tan θ减小，运动员转弯速度v将变大，故C错误，D正确。
6.　D
解析　系统所受的合外力为零，系统的总动量守恒，根据牛顿第二定律，加速度为，则有，由于角速度相同，因此，两恒星的速度方向始终相反，则，因此系统的总动量始终为零，可得，，故选D。
7.　B
解析　由图（b）可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为，则三者连续两次共线的时间间隔为，故A错误；行星P绕恒星Q运行的公转周期为，
对行星P，万有引力提供向心力有，可得恒星Q的质量，行星P的质量无法求出，故C错误，B正确；行星P绕恒星Q运行的加速度，由于行星不是贴着恒星表面飞行，恒星Q表面的重力加速度大于，故D错误。
8.　BC
解析　由题可知大圆柱体绳子上升的速度，小圆柱体绳子下降的速度，故绳子实际上升的速度，故重物上升的速度，A错误；根据功率的公式，可知，物体克服重力的功率，B正确；
摇把转动一周所做的功为,施加在摇把上的力为,克服重力所做的功为，则有，摇把转动一周，绳子上升的距离，，则重物上升的高度，故克服重力所做的功，由功能原理可知，所以最小力为，C正确；摇把上的力所做的功，除了使重物的动能增加，还使重物的重力势能也增加了，D错误。
9.　BC
解析　当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力。三个物体的角速度相等，由可知，因为C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，此时对C有，计算得出。当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC间绳子开始提供拉力，B的摩擦力增大，达最大静摩擦力后，AB之间绳子开始有力的作用，随着角速度增大，A的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A的摩擦力也达到最大，且BC的拉力大于AB整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到绳的拉力，对C可得，对AB整体可得，计算得出。当时整体会发生滑动，选项A错误，BC正确；在时，B、C间的拉力为零，当时，在增大的过程中B、C间的拉力逐渐增大，选项D错误。
10.　B
解析　在绳绷直前绳上弹力为零，绳上拉力大小为，设绳与竖直杆间的夹角为θ，有，得，当绳恰好绷直时，绳与竖直杆间的夹角为30°，有，得，当时，竖直方向有，得，水平方向有，解得。综上可知：先与角速度平方成正比，后保持不变；开始为零，当角速度平方增大到一定值后与角速度平方成一次增函数关系。故选B。
11.　（1）；（2）
解析　(1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得， 联立解得
（2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为，
对转椅根据牛顿第二定律得
沿切线方向
竖直方向
联立解得
12.　（1）；（2）①，②
解析　（1）由动能定理可得，小滑块做圆周运动，向心力满足
，联立上式得。
（2）①设小滑块脱离半球时，半球速度大小为，小滑块相对半球速度大小为。水平方向动量守恒，整体机械能守恒
，脱离前，小滑块相对半球做圆周运动，在脱离瞬间，只受重力作用，以半球（此瞬间为惯性系）为参考系，小滑块受力满足
，联立可得。
②由上式解得，即小滑块实际速度为，如图所示，此时小滑块可视为做曲率半径为的圆周运动，
滑块速度与水平方向夹角满足，小滑块对应向心加速度为
由圆周运动向心加速度公式可得，代入数据得。
13.　B
解析　A．在最低点物块容易脱落，根据牛顿第二定律得解得
，方向沿斜面向上；则最大静摩擦力至少为
，根据得，，故A正确，不符合题意；物块从最低点第一次转到最高点的过程中，动量变化量的大小为，此过程重力的冲量大小为，根据动量定理，转盘对物块的冲量I与重力的冲量的矢量和等于动量变化量，此过程动量变化量的方向与重力的冲量的方向相互垂直，则有，解得故B错误，符合题意；物块运动到任意关于转轴对称的两点时受到的摩擦力的大小分别为f1、f2，根据力矢量三角形，
联立两式可得，故C正确，不符合题意；如图所示：
在最高点，当ω增大时，物体由沿半径方向向外的趋势，摩擦力的方向沿半径方向指向圆心，由，可知，摩擦力一定增大，故D正确，不符合题意。故选B。

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