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2025年浙教版七年级下册第二章二元一次方程（组）培优题型
参考答案与试题解析
一．二元一次方程（组）中的消元思想（共3小题）
1．已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若a＝1，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程y＝x的解，则a＝1；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式x﹣2y的值为定值．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】①若a＝1，应用加减消元法，求出方程组的解，判断出方程组的解x与y是否互为相反数即可；
②若方程组的解也是方程y＝x的解，也就是说x和y相等，据此求出a的值即可；
③把代入关于x，y的方程组，判断出根据方程组的每个方程求出的a的值是否相等即可；
④，①+②×2，判断出代数式x﹣2y的值为定值即可．
【解答】解：①若a＝1，则，
①×3+②×4，可得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入①，可得：3×（﹣3）﹣4y＝﹣1，
解得y＝﹣2，
∴原方程组的解是，
∵﹣3+（﹣2）≠0，
∴方程组的解x与y不互为相反数，
∴选项①不符合题意．
②若方程组的解也是方程y＝x的解，
则，
①+②，可得（2a﹣3）+（1﹣a）＝0，
解得a＝2，
∴选项②不符合题意．
③把代入，
可得，
由①解得a＝2，
由②解得a＝1，
∴方程组的解不可能是，
∴选项③不符合题意．
④，
①+②×2，可得﹣x+2y＝﹣1，
∴x﹣2y＝1，
∴无论a为何值，代数式x﹣2y的值为定值，定值为1，
∴选项④符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
2．已知关于x，y的方程组有以下结论：①当k＝0时，方程组的解是；②当x+2y＝0，则k＝3；③不论k取什么实数，x+y的值始终不变．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据二元一次方程组的解法以及二元一次方程组解的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：①当k＝0时，原方程组变为，
①×3﹣②得，
5x＝﹣5，
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①得，﹣2+y＝0，
解得y＝2，
所以方程组的解为，
因此①正确；
②当x+2y＝0，即x＝﹣2y代入原方程组可得，
，
即，
②代入①得，
k＝﹣15+6k，
解得k＝3，
因此②正确；
关于x，y的方程组将①代入②得，
x+3y＝5﹣2（2x+y），
即x+3y＝5﹣4x﹣2y，
所以5x+5y＝5，
即x+y＝1，
也就是说不论k取什么实数，x+y的值始终不变，
因此③正确，
综上所述，正确的结论有①②③．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键．
3．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　①③　．
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y．
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y＝2+a，从而可得2+a＝0，即可判断①，当a＝1时，原方程组的解满足x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，即可判断②，先解方程组，可得，然后再计算x+2y的值，即可判断③，将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【解答】解：，
①+②得：2x+2y＝4+2a，
∴x+y＝2+a，
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y＝0，
∴2+a＝0，
∴a＝﹣2，
则第一个结论正确，
②原方程组的解满足：x+y＝2+a，
∴当a＝1时，x+y＝3，
而当a＝1时，方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
则第二个结论不正确，
③，
解得：，
∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，
则第三个结论正确，
④，
由方程①得：a＝4﹣x﹣3y③，
把方程③代入方程②得：
x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），
解得：y，
则第四个结论不正确，
∴正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
二．二元一次方程（组）中的整体代换思想（共13小题）
4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】方程组两方程左右两边相加表示出x+y，代入x+y＝2024计算即可求出k的值．
【解答】解：，
①+②得：6x+6y＝6k+6，
整理得：x+y＝k+1，
代入x+y＝2024得：k+1＝2024，
解得：k＝2023．
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组，即，解是，
整理得：．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用等式的性质把方程组变为，由方程组的解为得：，解方程组即可．
【解答】解：方程组可变为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：x﹣1＝3，
解得：x＝4，
由②得：y＝﹣2，
∴方程组的解是，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是把方程组变为．
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+2n＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】将方程组转化为，根据方程组的解为得，由此得m＝4，n＝﹣2，进而可得m+2n的值．
【解答】解：将方程组转化为，
∵方程组的解为，
∴，
整理得：，
①+②，得：2m＝8，
∴m＝4，
将m＝1＝4代入①得n＝﹣2，
∴m+2n＝4+2×（﹣2）＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧，理解二元一次方程组的解是解决问题的关键．
8．已知方程组的解是，则方程组的解是 　　．
【分析】根据二元一次方程组的解确定变形后方程组的解即可．
【解答】解：方程组转化为：
∴由恒等式意义，得
∴x＝3，y＝9
∴方程组的解为
故答案为
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是整体和转化思想的运用．
9．已知方程组的解是，则方程组的解是 　　．
【分析】由两个方程组可知，a＝x﹣1，b＝y+2，由，可以求得x、y的值，本题得以解决．
【解答】解：在方程组中，设x﹣1＝a，y+2＝b，
则变形为方程组，
∵方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是运用整体的数学思想解答问题．
10．关于x，y的方程组的解为，则：
①m+n＝　　；
②关于x，y的方程组的解为 　　．
【分析】本题考查整体代换的思想解二元一次方程组，第一问将m+n看成整体去求解，第二问仍然采用整体代换的方法，整理出关于x、y的二元一次方程组，从而求解．
【解答】解：①：将代入原方程，
得：，
①+②得：3m+3n＝2，
∴m+n；
①﹣②得：m﹣n＝4mn，
②：
，
③+④得：（m+n）（x+y﹣2）＝1，
∴x+y⑤，
③﹣④得：（m﹣n）（x﹣y）＝2mn，
∴x﹣y⑥，
，
解方程组得
．
故答案为：．
【点评】本题在常规解二元一次方程组的基础上加大了难度，需要从整体看待题目，解决问题，提高学生思考问题深度和广度．
11．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y方程组的解为 　　．
【分析】根据已知条件中的方程组和方程组的解，可知所求方程组中的2x＝4，﹣y＝5，解方程求出x，y即可．
【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴于x，y方程组中，
解得：，
∴关于x，y方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
12．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是 　　．
【分析】令x﹣1＝X，﹣3y＝Y，则方程组可化为关于X，Y的方程组，其解为，从而得到关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
【解答】解：令x﹣1＝X，﹣3y＝Y，则方程组可化为关于X，Y的方程组，
∵方程组的解为，
∴方程组的解为，即，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，令x﹣1＝X，﹣3y＝Y，得到关于X和Y的二元一次方程组的解并求出x和y是本题的关键．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 　　．
【分析】由关于x，y的二元一次方程组的解是，可得出关于（m+n），（m﹣n）的二元一次方程组的解是，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴出关于（m+n），（m﹣n）的二元一次方程组的解是，
解得：
，
∴关于m、n的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，利用整体思想求解方程组是解题的关键．
14．已知方程组的解为，则方程组的解为 　　．
【分析】先把方程组的解代入方程组得到关于a，b的方程组，再把各个方程的左右两边同时乘以5从而得到其同解方程组，由此可得答案．
【解答】解：∵方程组的解为，
∴，
方程组变形为：，
∴，
∴方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
15．若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　　．
【分析】根据关于x、y的方程组的解为，得到关于x、y的方程组中，求出x，y即可．
【解答】解：∵关于x、y的方程组的解为，
∴关于x、y的方程组中，
解得：，
∴关于x、y的方程组的解为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是根据题意得到．
16．已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的解如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 4 2 …
关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝k的解如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 4 1 ﹣2 …
则关于x，y的二元一次方程组的解是 　　．
【分析】先由表格求出的解，再根据两个方程组个关系求解．
【解答】解：由表可得：的解为：，
∴将整理得：
，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为：，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解与系数的关系是解题的关键．
三．二元一次方程（组）的整数解问题（共14小题）
17．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 　1或3　．
【分析】先利用加减消元法解方程组，求出x，y，再根据方程组有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a即可．
【解答】解：，
①×3得：3ax+6y＝15③，
②×2得：4x+6y＝0④，
③﹣④得：（3a﹣4）x＝15，
，
把代入②得：，
∵关于x、y的方程组有整数解，
∴3a﹣4＝±1或±3或±5或±15，
4﹣3a＝±1或±2或±5或±10，
∴a＝1或3或或，
∵a为正整数，
∴a＝1或3，
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
18．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
【解答】解：对方程组
②﹣①×2，得（a﹣2）x＝2，
∴，
∵关于x、y的方程组的解为整数，
∴a﹣2＝±1，±2．即a＝0、1、3、4，
∴满足条件的所有a的值的和为0+1+3+4＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
19．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝3时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解：
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝9，则a＝1．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】①当a＝3时求出原方程组的解，将其解和a＝3代入x+y＝2a+1，若使方程成立，则正确，否则，则不正确；
②求出原方程组的解，当x+y＝0时，求a的值即可；
③使x和y均不小于0，求出a的取值范围，从而得到a的所能可能整数值，分别将a的值代入原方程组的解求出具体解即可；
④将原方程组的解代入2x+y＝9求出a的值即可．
【解答】解：①当a＝3时，原方程组的解为，将它代入x+y＝2a+1，
左边为x+y＝24﹣17＝7，右边为2a+1＝2×3+1＝7，
∴①正确；
②解原方程组，得，
当x，y的值互为相反数时，得x+y＝0，即2+2a+2﹣a＝0，
解得a＝﹣4，
∴当a＝﹣4时，当x，y的值互为相反数，
∴②不正确；
③∵原方程组的解为，且x，y都为自然数，
∴，其解集为﹣1≤a≤2，
∴a＝﹣1，0，1，2，将它们分别代入，得，，，．
∴③正确；
④原方程组的解为，
若2x+y＝9，得2（2+2a）+2﹣a＝9，解得a＝1，
∴④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握其解法是本题的关键．
20．已知关于x和y的方程组（k为常数），得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
④若x和y互为相反数，则k，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据二元一次方程组的解，二元一次方程的解以及解二元一次方程组判断即可．
【解答】解：方程组，
①+②×3得8x+2y＝10，即4x+y＝5，故①正确；
若k＝1，则，
解得，
∴（2x﹣1）y＝1，故②正确；
解方程组，得，
方程组有非负整数解时，有，
∴﹣1≤k≤1.5，
∴k＝﹣1或1，故③不正确；
若x和y互为相反数，则x+y＝0，
∴2k+3＝0，
∴k，故④正确．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解；
②若2x+y＝3，则a＝﹣1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将a＝1代入原方程组得，解得，经检验得是x+y＝a+3的解，故①正确；方程组两方程相加得2x+y＝6+3a，根据2x+y＝3，得到6+3a＝3，解得a＝﹣1，故②正确；根据x+2y＝6﹣3a，2x+y＝6+3a，得到3x+3y＝12，得到x+y＝4，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据x+y＝4，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确．
【解答】解：将a＝1代入原方程组得，
解得，
将代入方程x+y＝a+3左右两边，
左边＝5﹣1＝4，右边1+3＝4，
∴当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解，故①正确；
方程组①+②得2x+y＝6+3a，
若2x+y＝3，则6+3a＝3，解得a＝﹣1，故②正确；
∵x+2y＝6﹣3a，2x+y＝6+3a，
∴两方程相加得3x+3y＝12，
∴x+y＝4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；
∵x+y＝4，
∴x，y都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键．
22．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由题意联立方程组，求出a、b的值，即可确定（1）正确；由已知，得到mn+2m﹣4＝0，求出m即可确定（2）正确；根据n+2＝±1，n+2＝±2，n+2＝±4，可求m、n的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，得到2k（x﹣y）＝0，由对任意有理数x、y都成立，则k＝0，即可 确定（4）不正确．
【解答】解：∵T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，
∴，
解得，故（1）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
∵n≠﹣2，
∴，故（2）正确；
∵T（m，n）＝0，
∴mn+2m﹣4＝0，
当n＝﹣2时，则﹣4＝0不成立，
∴n≠﹣2，
∴，
∵m、n都是整数，
∴n+2＝±4或n+2＝±2或n+2＝±1，
∴n＝2或﹣6或0或﹣4或﹣1或﹣3，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵T（kx，y）＝T（ky，x），
∴kxy+2kx﹣4＝kxy+2ky﹣4，
∴2kx﹣2ky＝0，
∴2k（x﹣y）＝0，
∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，
∴k＝0，故（4）错误．
综上：正确的有①②．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
23．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣1＝﹣1，若T（﹣2，1）＝5，T（1，2）＝﹣5，则下列结论正确的有（　　）个．
①a＝﹣1，b＝﹣2；
②若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则；
③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】首先根据题意可得，求解即可判断结论①；由T（m，n）＝0（n≠﹣2）可得﹣mn﹣2m﹣1＝0，结合n≠﹣2即可判断结论②；由T（m，n）＝0可得﹣mn﹣2m﹣1＝0，整理可得，结合m、n均为整数可知n+2＝±1，进一步求得m的值，即可判断结论③．
【解答】解：根据题意，T（﹣2，1）＝5，T（1，2）＝﹣5，
∴，
解得，故结论①正确；
∵T（m，n）＝0，即﹣mn﹣2m﹣1＝0，
∵n≠﹣2，
∴，故结论②正确；
∵T（m，n）＝0，即﹣mn﹣2m﹣1＝0，
∵n≠﹣2，
∴，
又∵m、n均为整数，
∴n+2＝±1，
∴n＝﹣1或﹣3，
∴满足条件的m、n值为或，故结论③错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键．
24．塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有1400多年的历史．某销售商将255kg塘栖枇杷分成A型、B型两种礼盒进行销售，①A型每盒2kg，每盒售价a元；②B型每盒3.5kg，每盒售价比A型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒A型，两盒B型，一共花费340元．
（1）请问A型、B型售价分别是多少元？
（2）假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元．
①若这批塘栖枇杷全部售完，请问A型、B型分别有多少盒？
②若该销售商留下m（m＞0）盒A型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出m的值．
【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，解方程求解；
（2）①设A型礼盒装共包装了x盒，B型礼盒装共包装了y盒，根据题意列出二元一次方程，解方程求解即可； ②由题意得出，，结合x≥0，y≥0，m＞0，得出m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得B型礼盒售价为（2a﹣50）元，
得a+2（2a﹣50）＝340，
解得：a＝88，
则2a﹣50＝126元，
答：A型售价88元、B型售价126元；
（2）①设A型礼盒装共包装了x盒，B型礼盒装共包装了y盒，
由题意得：，
解得，
答：A型礼盒装40盒，B型礼盒50盒；
②由①知2x+3.5y＝255，可得．
由题意得，，
解得：，
∴，
∵x，y，m都是整数，且x≥0，y≥0，m＞0，
∴m＝14．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．
25．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；
（3）根据（2）中的租车方案可以计算出相应的费用，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
（2）设租用甲种货车a辆，乙种货车b辆，
依题意得：3a+4b＝31，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
（3）方案1所需租车费为：100×9+120×1＝1020（元），
方案2所需租车费为：100×5+120×4＝980（元），
方案3所需租车费为：100×1+120×7＝940（元），
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元，
答：费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
【点评】本题考查二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组或方程．
26．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 　1650　元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 　6　箱．（直接写出答案）
【分析】（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意得：20x+10y＝1100，即可求解；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，由题意列出方程组，求解即可；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，由题意列出方程，求出正整数解即可．
【解答】解：（1）设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：20x+10y＝1100，
∴30x+15y＝1.5（20x+10y）＝1.5×1100＝1650（元），
故答案为：1650；
（2）①设牛奶一箱x元，咖啡一箱y元，
由题意得：，
解得：，
答：牛奶与咖啡每箱分别为30元、50元；
②设牛奶与咖啡总箱数为a，则打折的牛奶箱数为a，
打折牛奶价格为：30×0.6＝18（元），打折咖啡价格为：50×0.6＝30（元），
即打折咖啡价格与牛奶原价相同，
设原价咖啡为b箱，则打折咖啡与原价牛奶共有（a﹣b）箱，
由题意得：18a+30×（a﹣b）+50b＝1200，
整理得：27a+20b＝1200，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∵a＞b，
∴a＝40，b＝6，
即此次按原价采购的咖啡有6箱，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键．
27．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a＜30＜b． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则a＝ 　18　，b＝　62　．
【分析】（1）设一盒水笔x元，一包笔记本y元，根据购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买水笔m盒，笔记本n包，根据将880元全部用完，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（3）由题意可知，共需笔记本为（a+b）本，水笔（a+30）支，根据任务2中购买的奖品刚好全部发完，分别列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）设一盒水笔x元，一包笔记本y元，
由题意得：，
解得：，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
（2）设购买水笔m盒，笔记本n包，
由题意得：120m+80n＝880，
整理得：n＝11m，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案：
①购买水笔2盒，笔记本8包；
②购买水笔4盒，笔记本5包；
③购买水笔6盒，笔记本2包；
答：将880元全部用完，可以购买购买水笔2盒，笔记本8包或水笔4盒，笔记本5包或水笔6盒，笔记本2包；
（3）由题意可知，共需笔记本为（a+b）本，水笔（a+30）支，
方案①中，水笔为：2×12＝24（支），笔记本为：8×16＝128（本），
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
方案②中，水笔为：4×12＝48（支），笔记本为：5×16＝80（本），
由题意得：，
解得：，符合题意；
方案③中，水笔为：6×12＝72（支），笔记本为：2×16＝32（本），
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，a＝18，b＝62，
故答案为：18，62．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
28．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元； 买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）AmBn
①A款加料奶茶与B款奶茶之和为 　2m　（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
【分析】任务1：根据“买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元”列方程组求解；
任务2：①根据“A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的”求出总数，再求解；
②根据“购买奶茶一共用了190元”列方程，再求出整数解．
【解答】解：任务1：设A款普通奶茶的单价为x元，B款普通奶茶的销售单价为y元，
则：，
解得：，
答：A款普通奶茶的单价为14元，B款普通奶茶的销售单价为16元；
任务2：①∵A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的，
∴购买奶茶总杯数3m，
∴A款加料奶茶与B款奶茶之和为：3m﹣m＝2m，
故答案为：2m；
②由题意得：14m+16（2m﹣n）+18n＝190，且n＜3m，
方程的整数解为：m＝4，n＝3，
∴3m＝12，
答：班主任购买奶茶的总杯数为12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
29．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．
情境 内容 图形
情境1 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板200张，35cm×50cm的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．
根据以上信息，解决以下问题：
（1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
（2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%？请通过计算说明理由．
（3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为100%，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
【分析】（1）设竖式无盖的纸盒x个，横式无盖的纸盒y个，由用库存纸板制作两种无盖纸盒，恰好将库存纸板用完，列出方程组，即可求解；
（2）设竖式无盖的纸盒m个，横式无盖的纸盒n个，由使得纸板的使用率为100%，列出方程组，即可求解；
（3）设竖式无盖的纸盒a个，横式无盖的纸盒b个，丙种纸板为（240+c）张，列出方程组，可求b＝364，由b，c为非负整数，0≤c≤9，可求c的值，即可求解．
【解答】解：（1）设竖式无盖的纸盒x个，横式无盖的纸盒y个，
由题意可得：，
解得：，
答：竖式无盖的纸盒40个，横式无盖的纸盒80个；
（2）设竖式无盖的纸盒m个，横式无盖的纸盒n个，
由题意可得：，
解得：，
答：通过做200个竖式无盖纸盒和400个横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%；
（3）设竖式无盖的纸盒a个，横式无盖的纸盒b个，丙种纸板为（240+c）张，
由题意可得：，
解得：b＝364，
∵b，c为非负整数，0≤c≤9，
∴c＝5或0，
∴丙纸板的张数为245张或240张．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
30．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
【分析】（1）据图可得，1只竖式和横式长方体各需的铁片张数；
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用（35﹣m﹣n）块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（35﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）填表如下：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中 4 1
1只横式无盖铁容器中 3 2
（2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，依题意得：
，
解得：，
答：可加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个；
（3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用（35﹣m﹣n）块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，
依题意，得：，
∴nm﹣21．
∵m，n，（35﹣m﹣n）均为非负整数，
∴，．
当m＝25，n＝9时，19；
当m＝20，n＝3时，18．
∵19＞18，
∴最多可以加工成19个铁盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
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2025年浙教版七年级下册第二章二元一次方程（组）培优题型
一．二元一次方程（组）中的消元思想
1．已知关于x，y的方程组，a为常数，下列结论：①若a＝1，则方程组的解x与y互为相反数；②若方程组的解也是方程y＝x的解，则a＝1；③方程组的解可能是；④无论a为何值，代数式x﹣2y的值为定值．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．已知关于x，y的方程组有以下结论：①当k＝0时，方程组的解是；②当x+2y＝0，则k＝3；③不论k取什么实数，x+y的值始终不变．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 　 　．
①当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y．
二．二元一次方程（组）中的整体代换思想
4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2024，则k的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
5．已知方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，若m，n满足二元一次方程组，则m+2n＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　．
9．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　．
10．关于x，y的方程组的解为，则：
①m+n＝　 　；
②关于x，y的方程组的解为 　 　．
11．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y方程组的解为 　 　．
12．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是 　 　．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m、n的二元一次方程组的解是 　 　．
14．已知方程组的解为，则方程组的解为 　 　．
15．若关于x、y的方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 　．
16．已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的解如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 4 2 …
关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝k的解如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 4 1 ﹣2 …
则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　．
三．二元一次方程（组）的整数解问题
17．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 　 　．
18．若关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数a的值的和为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
19．已知关于x，y的方程组给出下列结论：
①当a＝3时，方程组的解也是x+y＝2a+1的解：
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y＝9，则a＝1．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
20．已知关于x和y的方程组（k为常数），得到下列结论：
①无论k取何值，都有4x+y＝5；
②若k＝1，则（2x﹣1）y＝1；
③方程组有非负整数解时，k＝1；
④若x和y互为相反数，则k，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝a+3的解；
②若2x+y＝3，则a＝﹣1；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8，则下列结论正确的个数为（　　）
（1）a＝1，b＝2；
（2）若T（m，n）＝0，（n≠﹣2），则；
（3）若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣1＝﹣1，若T（﹣2，1）＝5，T（1，2）＝﹣5，则下列结论正确的有（　　）个．
①a＝﹣1，b＝﹣2；
②若T（m，n）＝0（n≠﹣2），则；
③若T（m，n）＝0，则m、n有且仅有3组整数解；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
24．塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有1400多年的历史．某销售商将255kg塘栖枇杷分成A型、B型两种礼盒进行销售，①A型每盒2kg，每盒售价a元；②B型每盒3.5kg，每盒售价比A型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒A型，两盒B型，一共花费340元．
（1）请问A型、B型售价分别是多少元？
（2）假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元．
①若这批塘栖枇杷全部售完，请问A型、B型分别有多少盒？
②若该销售商留下m（m＞0）盒A型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出m的值．
25．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
26．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元）
方案一 20 10 1100
方案二 30 15
（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是 　 　元；
（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；
①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？
②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价采购的咖啡有 　 　箱．（直接写出答案）
27．根据以下素材，探索完成任务．
设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
素材3 （1）1盒水笔有12支，1包笔记本有16本． （2）计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a＜30＜b． （3）一等奖：1支水笔和一本笔记本，二等奖：一支水笔，三等奖：一本笔记本．
问题解决
任务1 确定单价 求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2 确定购买数量 将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？
任务3 确定购买人数 任务2中购买的奖品刚好全部发完，则a＝ 　 　，b＝　 　．
28．根据以下素材，探索完成任务．
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励
素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元； 买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数的
问题解决
任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价．
任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式普通奶茶（杯）加料奶茶（杯）AmBn
①A款加料奶茶与B款奶茶之和为 　 　（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数．
29．某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．
情境 内容 图形
情境1 工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板200张，35cm×50cm的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4．
根据以上信息，解决以下问题：
（1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
（2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%？请通过计算说明理由．
（3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为100%，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
30．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．
（1）填表：
长方形铁片张数 正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中
（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？
（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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