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2.1两条直线的位置关系
一、单选题
1．下列图形中与是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，两条直线相交于一点，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线，相交于点，过点作，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（ ）
A． B．C． D．
5．如图，，下列说法中正确的个数是（ ）
①； ②，依据是同角的余角相等；
③； ④当时，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，直线和直线相交于点，，则 ．
7．若，则的余角等于 ，补角等于 ．
8．已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ．
9．在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ．
10．如图，平面内，，点E，O，F在一条直线上，下列结论：
①；
②与互补；
③平分；
④；
⑤因为，所以与，互余．
其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题
11．如图，已知A，O，B三点共线，，OD平分，．
(1)图中与互余的角是________；
(2)求的度数．
12．根据题意计算：
(1)一个角的余角比它的补角的多，求这个角；
(2)一个角的补角加上的和等于这个角的余角的倍，求这个角的余角和补角．
13．如图，点是直线上一点，平分，在直线另一侧以为顶点作．
(1)若，那么______；与的关系是______；与的关系是______；
(2)试说明与的关系成立的理由．
14.如图，点O为直线上一点，过点O 作射线，使 ．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边 在射线上，另一边在直线的下方．
(1)求图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边在的内部，且恰好平分求的度数．
(2)将图①中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．
15.如图所示，是平角，，，、分别是、的平分线．
(1)猜想与是否互补，并说明理由；
(2)求的度数；
(3)如果只改变和的度数，其他条件不变，则与有什么样的数量关系？请直接写出结论．
16.学习情境·实践探究
【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．
【计算与观察】
(1)若，则___________；若，则___________；
【猜想与证明】
(2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由；
【拓展与运用】
(3)若，求的度数．
17.【问题提出】
（1）如图1，点、、在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ；
【问题探究】
（2）如图2，点、、不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由．
18.已知O是直线上的一点，是直角，平分．
【猜想】
如图1，当的两边在直线同侧时，小明通过实验测量得到与的相关数量，如下表：求与的数量关系．
【探究】
小明将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置．探究和的数量关系是否符合【猜想】中的结论，并说明理由．
【拓展】
将图1中的边与重合的位置开始，绕顶点顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间秒，为的角平分线，当时，求的值．
19.若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．
．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小：
(3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．
①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值：
②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）．
20.已知，从的顶点出发，在的内部作一条射线，若射线将分得的两个角中有一个角与相加和为，则称射线是的“角余分线”．
例如：如图，，射线在的内部，，，所以射线是的“角余分线”．
(1)若，射线在的内部，且，则射线________（填“是”或“不是”）的“角余分线”；
(2)若射线是的“角余分线”，且射线平分，则________；
(3)已知，射线在的内部，射线是的角平分线，射线是的“角余分线”，若射线是的“角余分线”，请直接写出的度数．
21.如图1，已知射线．
(1)若，且，求的度数．
(2)若是的平分线，是的平分线，求的度数．
(3)若分别是和
的平分线，，求的度数．
(4)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”．
①若平分，且为的“分余线”，则　 　；
②如图2，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数．
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、D两个角的两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意；
B、两角没有公共顶点，故B不符合题意；
C、两角是对顶角，故C符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了对顶角和邻补角，根据对顶角相等可得：，又因为，可以求出，根据邻补角定义可得：，所以可得：．
【详解】解：，，
，
又，
，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A、图中，与互余，故本选项不符合题意；
B、图中，不一定互补，故本选项错误；
C、图中，互为补角，故本选项正确；
D、图中，不是互补关系，故本选项错误．
故选：C．
5．B
【分析】由，可得，故，结合图形，，故，，，由此可判断选项是否符合题意．本题考查了余角，几何图形的角运算，关键是掌握余角的定义．
【详解】解：，
，即，，
，依据是同角的余角相等；
故②符合题意，
由题意，不一定相等，
故①不符合题意，
，
，
即，
故③符合题意，
当时，，，
，
故④不符合题意，
故选：B．
二、填空题
6．
【分析】此题考查了对顶角的性质．根据对顶角相等进行解答即可．
【详解】解：∵，与是对顶角，
∴，
故答案为：
7．
【分析】本题考查了余角和补角，根据余角和补角的定义即可求解，熟练掌握余角和补角的有关计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的余角等于，的补角等于，
故答案为：，．
8．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，根据一个角的余角比这个角的补角的多，即可列方程求解，熟练掌握余角的和等于，互补的两角之和为是解决此题的关键．
【详解】设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，
根据题意，得，
解得．
∴，，
即这个角的余角的度数为，补角的度数为，
故答案为：，．
9．或
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可．
【详解】解：当在同侧时，如图，
，，
；
当在异侧时，如图，
，，
；
故答案为：或．
10．①②③
【分析】本题考查了角度的计算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分线的定义．根据余角的定义、角的计算和角平分线性质，对五个结论逐一计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，①的说法正确；
∵，
即与互补，②的说法正确；
∵，，点E，O，F在一条直线上，
∴，
即平分，③的说法正确；
∵，
∴，
而和不一定相等，
∴，④的说法错误；
∵互余是指两个角的和为，即两个角互为余角，
∴与，互余的说法是错误的，
⑤的说法错误，
故答案为：①②③．
三、解答题
11．（1）∵，
∴
∴图中与互余的角是；
（2）因为，平分，
所以，
又因为，
所以，
由（1）知与互余，
所以．
12．（1）解：设这个角为x，则它的补角为，余角为，
由题意得：，
解得，
即这个角是；
（2）解：设这个角为x，则它的补角为，余角为，
根据题意列方程，得，
解得，
即这个角为，则它的余角为，补角为．
13．（1）解：∵点是直线上一点，
∴，
∵，
∴，
∴与互余，
∵，
∴，
∵平分，
∴
，
∴∠AOE+∠COD=1800，
∴与互补；
故答案为：，互余，互补；
（2）∵点是直线上一点，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即∠AOE+∠COD=1800．
14.（1）解：∵平分， ，
，
；
（2）解：，理由如下，
∵ ，
∴,
,，
，
,
即与的数量关系为：．
15.（1）解：与互补；理由如下：
因为，，是的平分线，
所以，
所以，
所以，
所以与互补；
（2）解：因为，分别是、的平分线，
所以，，
所以；
（3）解：．
因为，分别是、的平分线，
所以，，
所以．
16.（1）解：∵，，
，
．
，，
，
．
故答案为：，．
（2）解：与互补．理由如下：
∵，，
∴，，
∴∠ACB+∠DCE=900 +∠DCB+900 -∠DCB=1800，
∴与互补．
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，解得．
17.解：（1）∵点、、在一条直线上，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）．理由：
∵是内的一条射线，
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）仍然成立．理由：
∵平分，平分，
∴．
∵是内的一条射线，
∴，
∴，
则．
∵，
∴．
18.解：猜想：；
∵平分，
∴，
∵是直角，
∴；
探究：符合，理由如下：
∵平分，
∴，
∵是直角，
∴；
拓展：①当时，，则，
∵为的角平分线，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
②当时，，则，
∵为的角平分线，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或．
19.（1）解：∵是的“绝配角”，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：当在下方时，
∵是的“绝配角”，
∴ ，
∵，
∴，
解得（舍去）；
当在内部时，
同（1）可得，
∵与互补，
∴，
∴；
当在外部时，且在的上方时，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
∴，
∴
∵与互补，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或；
（3）解：①当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
故答案为：4或16；
②当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得（舍去）；
当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
综上所述，，
故答案为：．
20.（1）解：∵，射线在的内部，且，
∴
∴
∴射线是的“角余分线”；
故答案为：是．
（2）解：∵射线平分，设
∴
又∵射线是的“角余分线”，
∴
∴
∴
故答案为：．
（3）解：∵射线是的角平分线，
∴，
设，
则
∵射线是的“角余分线”，
∴或
∴，即①；或即②；
∵射线是的角余分线，
∴或
∴③或，即④
当，时（即①③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即①④成立），如图所示，
∴
解得：
∴；
当，时（即②③成立），如图所示
∴
解得：
∴；
当，时（即②④成立），如图所示
∴
解得：
∴；
∵，
∴，则在的外部，不是的角余分线，不合题意，舍去
综上所述，或或
21.（1）
解： ，，
，
，
∴∠COD=200，
；
（2）∵OB是的平分线，
，
是的平分线，
∴，
，
，
；
（3）
如图：
，
∴设，
分别是和的平分线，
，，
，
，
即：，
解得：，
；
（4）①平分，且为的“分余线”，
，且，
，
，
，
故答案为：；
②如图2，
为的平分线，
，
为的“分余线”，
或，
若时，
令，
则，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
若时，
令则，
，
，
解得：，
综上所述，为或．

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