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2025江苏版数学中考专题
第一部分 考点突破
第一章 数与式
第1节 实数
目标领航
真题演练
命题点1 实数的分类★☆☆
1．[2023淮安]下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0 C. D. 5
【答案】C
2．下列数：6，，，0，，，， （每两个9之间依次多一个0）中，属于整数的是____，属于负分数的是______________________，属于无理数的是____________________________________________________________________.
【答案】6，0； ，； ， （每两个9之间依次多一个0）
命题点2 相反数、绝对值、倒数★★★
3．[2024盐城]2 024的相反数是（ ）
A. 2 024 B. C. D.
【答案】B
4．[2024常州]的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2 024
【答案】D
5．[2024扬州]实数2的倒数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
命题点3 实数与数轴★☆☆
6．[2024苏州]用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
7．[2023淮安三模]如图，数轴上点所表示的实数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
8．[2023南京模拟]若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
命题点4 科学记数法★★★
9．[2024苏州]苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”.数据“2 470 000 000 000”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024常州]2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为 （ ）
A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年
【答案】C
11．[2023泰州]跨学科·化学 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为________________.
【答案】
命题点5 平方根、算术平方根、立方根★☆☆
12．[2023无锡]实数9的算术平方根是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
13．下列说法正确的是（ ）
A. 是的平方根 B. 0.2是0.4的平方根
C. 是的平方根 D. 是的平方根
【答案】D
14． ______，的算术平方根是________，的立方根是______.
【答案】5； ； 2
15．[2023无锡模拟]一个正数的平方根分别是和，则的值为______.
【答案】4
命题点6 实数的大小比较及无理数的估值★☆☆
16．[2023南通]如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在 （ ）
A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上
【答案】C
17．[2024盐城]矩形相邻两边长分别为、,设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
【答案】C
18．[2023扬州]已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
19．[2023扬州模拟]已知是的小数部分，则的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D.
【答案】D
20．比较大小：-____.（填“ ”“ ”或“”）
【答案】
21．[2023扬州二模]根据表格估算 ____.（精确到）
2.3 2.4 2.5 2.6
12.167 13.824 15.625 17.576
【答案】2.4
命题点7 实数的运算★☆☆
22．[2023常州]计算：________.
【答案】
23．计算：
（1） [2024苏州]；
（2） [2024扬州]；
（3） [2024盐城] .
解：（1） 原式．
（2） 原式．
（3）原式．
24．[2023苏州三模]若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2.
（1） 直接写出，，的值；
（2） 求的值.
解：（1） ，，.
（2） 当时，原式；
当时，原式.
综上，原式的值为5或1．
25．[2023苏州模拟]第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份.
（1） 八进制数3747换算成十进制数是________；
（2） 小华设计了一个进制数234，换算成十进制数是193，求的值.
解：（1） 2 023.
（2） 依题意得，
解得，（舍去）．
故的值是9．
第2节 代数式与整式
目标领航
真题演练
命题点1 代数式及代数式求值★☆☆
1．李奶奶买了一筐草莓，连筐共，其中筐.将草莓平均分给4位小朋友，每位小朋友可分得 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2023南通]若，则的值为（ ）
A. 24 B. 20 C. 18 D. 16
【答案】D
3．[2024苏州]若,则______.
【答案】4
命题点2 规律探究★☆☆
4．[2023盐城一模]如图是三角形数阵，，，若，相等，则用含的式子表示为________.
【答案】
5．[2022宿迁]按规律排列的单项式：，，，，， ，则第20个单项式是____________.
【答案】
6．[2023徐州一模]用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，第12个图案中圆点的个数为__.
【答案】93
【解析】第1个图案中圆点的个数是，第2个图案中圆点的个数是，第3个图案中圆点的个数是，第4个图案中圆点的个数是， 以此类推，第个图案中圆点的个数是， 第12个图案中圆点的个数是．
命题点3 整式的相关概念★☆☆
7．[2023泰州二模]单项式的次数是______.
【答案】1
8．[2023扬州模拟]若与是同类项，则________.
【答案】
命题点4 幂的运算★★☆
9．[2024连云港]下列运算结果等于的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024扬州]下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
11．[2023镇江]如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（ ）
A. 128 B. 64 C. 32 D. 16
【答案】A
【解析】由题意，得，
即，
解得
．
12．已知，，则________.
【答案】
13．计算：________.
【答案】
14．[2023南京]计算的结果是________.
【答案】
命题点5 整式的运算★★☆
15．[2023南通模拟]若是关于的完全平方式，则____________.
【答案】或7
16．计算的结果是____.
【答案】400
【解析】．
17．[2023宿迁]若实数满足，则______________.
【答案】
【解析】，
，即，
．
18．[2024无锡]计算：.
解：原式
．
19．[2024常州]先化简，再求值：,其中.
解：原式.
当时，原式.
20．[2023盐城]先化简，再求值：，其中，.
解：
．
当，时，
原式．
21．[2023无锡一模]已知多项式，.
（1） 当时，求的值.
（2） 小华认为无论取何值，的值都无法确定.小明认为可以取到适当的值，使代数式的值是常数.你认为谁的说法正确？请说明理由.
解：（1） ， 当时，原式
.
（2） 小明的说法正确，理由如下：
，
当，即时，．
命题点6 因式分解★★☆
22．已知，，则的值为 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
23．已知实数，同时满足，，则的值是（ ）
A. 2或 B. 2 C. 或6 D.
【答案】B
【解析】，，，，，，或，由题意得,．
24．分解因式：
（1） [2024盐城] ______________；
（2） [2023南通] ____________；
（3） [2023常州] ____________________；
（4） [2024扬州] ________________；
（5） [2023南京三模] __________________.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
25．若，则的值为______.
【答案】1
【解析】，．
26．[2023南京三模]
（1） 已知，是实数，证明：.
（2） 在中， ，，为直角边，斜边，则的最大值是__________.
解：（1） 证明：
，
，，
即.
（2） .
详解：中， ，，为直角边，斜边，由勾股定理得，由（1）知，，即，的最大值是．
命题点7 几何图形中的乘法公式★☆☆
27．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题.
图1 图2 图3
（1） 图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式是________________________________；
（2） 图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的式子是________________________________；
（3） 用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出代数式,，之间的等量关系:________________________________．
【答案】（1）
（2）
（3）
第3节 分式
目标领航
真题演练
命题点1 分式的相关概念与性质★☆☆
1．[2023泰州模拟]代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
2．[2023无锡模拟]下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2023常州]若代数式的值是0，则实数的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
4．[2023苏州二模]根据分式的基本性质将分式变形，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5．[2023南通二模]如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大到原来的20倍 B. 缩小到原来的
C. 扩大到原来的2倍 D. 不变
【答案】D
6．[2024盐城]若有意义，则的取值范围是________.
【答案】
7．[2023常州模拟]若分式的值为负数，则的取值范围是____________________.
【答案】且
8．[2023南京一模]已知：分式的值为整数，则整数为____________________.
【答案】，1，2，4，5，7
【解析】, 分式的值为整数且为整数，
或或，
，1，2，4，5，7.
命题点2 分式的运算★★★
9．[2023无锡一模]，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】方法一：．
方法二：，，．
11．[2023扬州一模]对于任意的值都有，则，的值分别为__________.
【答案】，3
【解析】
，
解得
12．计算：
（1） [2024扬州]；
（2） [2023南京]；
（3） [2023南通].
解：（1） 原式．
（2） 原式
．
（3） 原式
．
13．[2024连云港]下面是某同学计算的解题过程:
解：
……①
……②
.……③
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
解：从第②步开始出现错误.正确的解题过程为：
原式
.
14．[2024苏州]先化简，再求值：,其中.
解：原式
.
当时，原式．
15．[2023盐城二模]先化简，再求值：，其中满足.
解：原式，
，，
原式．
16．[2023连云港三模]先化简，再求值：，其中是方程的根.
解：原式
，
是方程的根，
，，
时，原式无意义，
当时，原式．
第4节 二次根式
目标领航
真题演练
命题点1 二次根式有意义的条件★☆☆
1．[2024连云港]若在实数范围内有意义，则的取值范围是________.
【答案】
2．[2023常州模拟]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______________________.
【答案】且
3．[2023连云港模拟]若有意义，则的取值范围是______________________.
【答案】且
命题点2 同类二次根式、最简二次根式★☆☆
4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】D
5．若最简二次根式、是同类二次根式，则______.
【答案】5
命题点3 二次根式的性质★☆☆
6．当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】 当时，代数式的值为，，，
，， 当时，
.
7．[2023扬州二模]若，则的取值范围是________.
【答案】
8．[2023无锡模拟]已知，，为三角形的三边长，则____________.
【答案】
9．[2023宿迁模拟]已知，则______.
【答案】2 023
【解析】有意义，，即，，，，
．
10．已知，，满足等式.
（1） 求，，的值.
（2） 以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，判断此三角形的形状，并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
解：（1） ，
，，，
，
，，
，，．
（2） 能，此三角形是直角三角形.
，，，
，
以，，为三边长能构成三角形，
，，， 此三角形是直角三角形，面积为．
命题点4 二次根式的运算★☆☆
11．[2023泰州]计算等于（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
12．[2023扬州一模]下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
13．[2023常州模拟]已知，则化简后为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，，， 原式．
14．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三边长分别为、、，则此三角形的面积可由公式求得，其中为该三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形，其边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】，，，，
，
当时，取最大值,为．
15．[2023南通]计算________.
【答案】
16．[2023南京]计算的结果是________.
【答案】
17．[2023泰州模拟]已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的的最小值是______.
【答案】2
18．[2023常州模拟]若的积是有理数，则无理数的值为________.
【答案】
19．将根号外的因式移到根号内：__________.
【答案】
【解析】有意义，，．
20．[2022泰州]计算：.
解：原式.
21．计算：.
解：原式．
22．已知：，，求的值.
解：，，
，，.
原式
.
23．先化简，再求值：，其中.
解：，，
原式．
24．[2023苏州模拟]已知是的小数部分，求的值.
解：由题意得,
．
第二章 方程（组）与不等式（组）
第1节 一次方程（组）
目标领航
真题演练
命题点1 一元一次方程★☆☆
1．[2023无锡模拟]若关于的一元一次方程的解是，则的值是（ ）
A. B. C. 6 D. 10
【答案】A
2．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是______.
【答案】4
3．[2023扬州三模]规定一种新的运算：，则*的解是__________.
【答案】
命题点2 二元一次方程（组）★★☆
4．[2023无锡]下面4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2023盐城一模]二元一次方程中，与互为相反数，则，的值分别为（ ）
A. ，4 B. 4， C. 3， D. ，3
【答案】D
6．[2023南通]若实数，，满足，，则代数式的值可以是 （ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】由题意可得
则
.
7．已知、满足方程组则的值为________.
【答案】
8．[2023常州模拟]若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值为________.
【答案】
【解析】得，将代入①得，
方程组的解为
，．
9．解方程组：
（1） [2024苏州]
（2） [2024常州]
解：（1）
得，，解得，
将代入①得，
方程组的解是
（2）
得，解得，
把代入①得，
方程组的解为
10．已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值.
解：
把②代入①得，
解得，将代入①得，
把，代入方程得，解得．
命题点3 一次方程（组）的实际应用★★☆
11．[2022宿迁]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房.若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
12．[2024盐城]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为__尺.
【答案】15
13．[2024扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.则速度快的人追上他需要____分钟.
【答案】2.5
14．[2022南京]某文印店用2 660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱.求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数.
解：设购买的白色复印纸的箱数为，彩色复印纸的箱数为，
由题意得
解得
答：购买的白色复印纸的箱数为22，彩色复印纸的箱数为5.
15．甲、乙两工程队共同修建长度为的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.求甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建的长度.
解：设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，根据题意得，
解得
答：甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建．
16．[2024苏州]某条城际铁路线共有A,B,C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
8:00 9:30 9:50 10:50
8:25 途经B站，不停车 10:30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1） 次列车从A站到B站行驶了__分钟，从B站到C站行驶了__分钟.
（2） 记次列车的行驶速度为,离A 站的路程为;次列车的行驶速度为，离A站的路程为.
① ________；
② 从上午8:00开始计时，时长记为分钟（如：上午,则）,已知千米/小时（可换算为4千米/分钟）,在次列车的行驶过程中,若,求的值.
解：（1） 90；60.
① .
详解：根据题意得次列车从站到站共需行驶分钟，次列车从站到站共需125分钟，，.
② 千米/分钟，，
千米/分钟，
（千米），
站与B站之间的路程为360千米，
（分钟），
当时，次列车经过B站，
由题意可知，当时，次列车在B站停车，
次列车经过B站时，次列车正在B站停车，
．当时，，
，
，解得；
．当时，，
，
，解得，不合题意，舍去；
．当时，，
，
，解得，不合题意，舍去；
．当时，，
，
，解得.
综上所述，当或125时，．
第2节 分式方程
目标领航
真题演练
命题点1 分式方程的解法★★☆
1．[2024无锡]分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如果分式方程有增根，那么的值是 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】D
3．[2023南通一模]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】D
4．[2023宿迁一模]若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是____________________.
【答案】且
【解析】解分式方程得，当且，即且时，是原分式方程的解，根据题意可得，，且．
5．若关于的方程无解，则的值是____________________.
【答案】或
【解析】去分母，整理得， 分式方程无解， 分两种情况讨论：（1）整式方程无解，即，解得.
（2）分式方程有增根，或，即或，当时，整式方程无解；当时，，解得.综上，或.
6．解方程：
（1） [2023泰州]；
（2） [2023连云港];
（3） .
解：（1） 方程两边同乘，
得，解得.
检验：当时，，
故原分式方程的解是．
（2） 方程两边同乘,
得，解得，
检验：当时，，
故原分式方程的解为．
（3） 方程两边同乘，
得，
整理得，解得．
检验：当时，，
故原分式方程无解．
命题点2 分式方程的实际应用★★☆
7．[2024扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾
解：设B型机器每天处理吨垃圾，则A型机器每天处理吨垃圾，
根据题意得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
8．[2023扬州]甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度.
解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，
由题意得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意..
答：乙同学骑自行车的速度为.
9．[2024常州]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、.若装裱后与的比是,且,,,求四周边衬的宽度.
解：,,，
，，
由装裱后与的比是得，解得，经检验，是原分式方程的解.
，.
答：上、下、左、右边衬的宽度分别为、、、.
10．[2023南通]为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1） 求的值.
（2） 该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
解：（1） 根据题意得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为600.
（2） 设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据题意得，
解得，
设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，
即，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56 800元施工费用．
第3节 一元二次方程
目标领航
真题演练
命题点1 一元二次方程的概念与解法★★★
1．[2023常州模拟]关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ）
A. B. 2 C. 0 D. 或2
【答案】A
2．[2023镇江]若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______.
【答案】5
3．解方程：
（1） [2024无锡];
（2） [2022徐州]；
（3） [2023无锡]；
（4） [2023苏州模拟].
解：（1） ，
，
或，
解得,．
（2） ，
，
，
，.
（3） ，
，，，
，
，
，.
（4） ,
，
，
或，
，.
命题点2 一元二次方程根的判别式★★☆
4．[2024连云港]关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________.
【答案】
5．[2023扬州]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________.
【答案】
6．[2023常州一模]若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是________________________.
【答案】且
7．[2023扬州一模]已知关于的方程.
（1） 求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2） 若等腰的三边长，，中，，、恰好是这个方程的两个根，求的值.
解：（1） 证明：，
无论取何值，原方程总有实数根.
（2） 解方程，
得，，，
、、为等腰三角形的三边长，
或，或4．
命题点3 一元二次方程根与系数的关系★☆☆
8．关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A. 有两个正根 B. 有两个负根
C. 有一个正根，一个负根 D. 无实数根
【答案】C
【解析】整理得，
，
方程有两个不相等的实数根.
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为， 有一个正根，一个负根.
9．[2023泰州]关于的一元二次方程的两根之和为________.
【答案】
10．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______.
【答案】3
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，，，，．
11．[2023无锡四模]已知： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，.
（1） 直接写出，的值：______，______；
（2） 经计算可得，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明.
解：（1） 1；3.
（2） 猜想：．
证明：根据根的定义，，
两边都乘，得，
同理，，
得，
，即．
命题点4 一元二次方程的实际应用★★★
12．[2023无锡]国家统计局统计数据显示，2020年至2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长到6.58万元.设平均每年人均可支配收入增长的百分率为，下列方程正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
13．[2023苏州模拟]某商店经销一批小家电，每个小家电的成本是40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2 160元，则该小家电的定价是____________.
【答案】52元或58元
【解析】设该小家电的定价是元，则每个小家电的利润为元，可销售个，根据题意得，整理得，解得，，即该小家电的定价是52元或58元．
14．[2023淮安]为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成.生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.
解：生态园的面积能为.
四边形是矩形，
，，
设的长度为，则的长度为，由题意得，
整理得，
解得，，
生态园的面积能为，的长为或．
15．[2023盐城模拟]某服装销售商用48 000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100 000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价高了10元.
（1） 该销售商第一次购进了这种服装多少件？每件的进价是多少元？
（2） 该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，平均每天能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件.依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3 600元，销售价应为多少？
解：（1） 设第一次购进了这种服装件，由题意得，
解得，经检验，是方程的解，且符合题意．
则．
答：第一次购进了这种服装200件，每件的进价是240元.
（2） 设销售价为元/件，则每天的销售量为件．
由题意得，
整理得，
解得，．
让利促销， 取．
答：销售价应为280元/件．
16．[2023苏州模拟]某社区利用一块长方形空地建了一个小型惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640平方米.
（1） 求通道的宽.
（2） 该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27 000元吗？
解：（1） 设通道的宽是米，则阴影部分可拼成长为米，宽为米的长方形，
依题意得，
整理得，
解得，．
又，，．
答：通道的宽是6米．
（2） 设当每个车位的月租金上涨（是10的整数倍）元时，停车场的月租金收入为元，则可租出个车位，
依题意得，
， 当时，取得最大值，最大值为27 040．
又， 停车场的月租金收入会超过27 000元．
第4节 一元一次不等式（组）
目标领航
真题演练
命题点1 不等式的基本性质★☆☆
1．[2024苏州]若,则下列结论一定正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2023南通一模]实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
命题点2 一元一次不等式（组）的解法★★☆
3．[2023南京一模]不等式的解集是__________.
【答案】
4．[2023宿迁]不等式的最大整数解是______.
【答案】3
5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________.
【答案】
6．已知,且,那么的取值范围为____________.
【答案】
7．[2023南通二模]若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】解不等式组得， 不等式组只有三个整数解，
，解得．
8．[2024连云港]解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得,
解得.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
9．[2024扬州]解不等式组并求出它的所有整数解的和.
解：解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解为1，2，3，所有整数解的和为．
10．[2023常州]解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
整数解是0，1，2.
11．[2023扬州一模]已知关于的不等式组无解，求的取值范围.
解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组无解，，
．
命题点3 一元一次不等式（组）的实际应用★★☆
12．专卖店以元/件的价格购进一批防晒衣后，提价贴上标价牌，要保证不亏损，出售时可按标价最多打（取整数）（ ）
A. 5折 B. 6折 C. 7折 D. 8折
【答案】C
【解析】设可以打折销售，依题意得，解得．
最多打7折．
13．[2023苏州二模]新修订的《中华人民共和国森林法》明确了每年3月12日为植树节.2023年植树节，某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗.已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1 250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元.
（1） 求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2） 经商量，该班决定用不超过1 300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的棵数不少于甲种树苗棵数的，求购买的甲种树苗棵数的取值范围.
解：（1） 设甲，乙两种树苗的单价分别为元，元，
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种树苗的单价为30元，乙种树苗的单价为50元．
（2） 设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，根据题意，
得
解不等式组，得，
购买的甲种树苗棵数．
14．[2022宿迁]某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动.两家超市该文化用品的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖.
（1） 若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为____元，在乙超市的购物金额为____元；
（2） 假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
解：（1） 300；240.
（2） 设购买件这种文化用品．
当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，，
选择乙超市支付的费用较少.
当时，在甲超市的购物金额为元，在乙超市的购物金额为元，
若，则；
若，则；
若，则．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
15．[2023苏州模拟]为迎接五一假期，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件种礼盒和3件种礼盒共需540元.
（1） 求、两种礼盒每件的成本价分别是多少元.
（2） 已知种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元.商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1 320元.五一当天商户最多卖出种礼盒多少件？
解：（1） 设种礼盒每件的成本价是元，种礼盒每件的成本价是元，
根据题意得
解得
答：种礼盒每件的成本价是120元，种礼盒每件的成本价是100元.
（2） 设五一当天商户卖出件种礼盒，则售出件种礼盒，
根据题意得，
解得，又为正整数，
的最大值为33．
答：五一当天商户最多卖出种礼盒33件．
16．[2023盐城]某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）.
（1） 若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价.
（2） 若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价.
解：（1） 设甲商店硬面笔记本的单价为元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据题意得，
解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元.
（2） 设乙商店硬面笔记本的原价为每本元，则乙商店软面笔记本的原价为每本元，
根据题意得，
整理得，．
且，均为正整数，
，．
答：乙商店硬面笔记本的原价为每本18元．
微专题1 方程（组）与不等式（组）的含参问题
类型1 一次方程（组）中的含参问题
一、整数解
1．关于的方程的解为正整数，则整数________.
【答案】2，3，4，7
【解析】解方程得，
方程的解为正整数，,2,3,6， 整数，3，4，7.
2．若关于、的二元一次方程组有整数解，则负整数的值为________.
【答案】
【解析】解方程组可得 方程组有整数解，为10和15的公约数，又为负整数，，解得．
二、整体求解
3．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________.
【答案】
【解析】 关于的一元一次方程的解为， 关于的一元一次方程中，解得．
4．已知的解是则的解为________________________________________.
【答案】
【解析】的解是,，
的解为
三、恒有固定解
5．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则______.
【答案】0
【解析】把代入方程，得，整理得，，，解得，,则．
6．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是________________________________________.
【答案】
【解析】方法1：把、分别代入原方程，可得方程组解得
方法 不论取何值，方程总有一个固定不变的解，解得
四、无数解
7．已知关于的方程有无数个解，则的值为________.
【答案】
【解析】，， 方程有无数个解，，，，，．
8．在关于、的方程组中，当________，________时，这个方程组有无数个解.
【答案】；
【解析】根据题意得，，解得，．
五、求参数的取值范围
9．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】解方程得，，.
10．若方程组的解，满足，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
得，即，
，
11．若关于、的二元一次方程组的解满足,,则实数的取值范围是________________.
【答案】
【解析】解方程组得,，.
方法解读
一次方程（组）中含参问题的解题方法
类别 方法
一、整数解 分式（、是整数）的值为整数，则 是 的约数
二、整体求解 若方程 的解为，则方程 的解满足
三、恒有固定解 不论 取何值，方程总有一个固定不变的解，说明这个解与 的取值无关. 方法 任取两个数值代入到原方程中，得到两个方程，组成方程组即可求解； 方法2：将含 的项合并同类项，令其系数为0，得到两个方程，组成方程组即可求解
四、无数解 关于 的方程 有无数解，则，
五、求参数的取值范围 先解方程，再根据解的情况列不等式（组）
类型2 一次不等式（组）中的含参问题
一、已知解集求参数的值
12．若关于的两个不等式与的解集相同，则的值为______.
【答案】1
13．已知关于的不等式组的解集为，则的值为________.
【答案】
二、已知解集求参数的取值范围
14．[2023南通二模]若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式组整理得由不等式组的解集为，得到，．
15．已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是________________.
【答案】
【解析】解不等式得， 关于的不等式的解也是不等式的解，故， 不等式的解集是，，解得，，．
三、有解
16．若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
17．若关于的不等式组有解，则的取值范围是________.
【答案】
四、无解
18．关于的不等式组无解，则的取值范围是________.
【答案】
19．已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
解不等式①得，解不等式②得， 不等式组无实数解，
，解得．
五、整数解
20．[2023南通一模]若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】，， 关于的不等式恰有3个正整数解， 正整数解为1，2，3，
，解得．
21．若关于的不等式组有且只有三个整数解，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【解析】不等式组整理得即，由不等式组有且只有三个整数解，得整数解为3，4，5，
，解得．
方法解读
一次不等式（组）中含参问题的解题方法
类别 方法
一、已知解集求参数的值 先解不等式（组），再根据解集（或解集相关条件）列方程（组）
二、已知解集求参数的取值范围 解不等式（组） 由解集情况，借助数轴或口诀判断参数的取值范围 验证端点值是否符合题意 写出正确答案
三、有解
四、无解
五、整数解
第三章 函数
第1节 平面直角坐标系与函数
目标领航
真题演练
命题点1 点的坐标特征★☆☆
1．[2023盐城]在平面直角坐标系中，点在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
2．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数的值为______.
【答案】2
3．[2023常州模拟]如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为______．
【答案】3
4．[2023泰州模拟]中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点____________.
【答案】
【解析】如图所示，“兵”位于点．
5．[2022南京]在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是____________.
【答案】
6．[2023连云港]画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为 、 、 、 、…、 的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点、、的坐标分别表示为、、，则点的坐标可以表示为________________.
【答案】
7．[2022南京]如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，， ，按这个规律，则是第__个点.
【答案】99
【解析】横、纵坐标和是0的有1个点，横、纵坐标和是1的有2个点，横、纵坐标和是2的有3个点，横、纵坐标和是3的有4个点， ，横、纵坐标和是的有个点，， 横、纵坐标和是13的14个点分别为、、、、、、、、、、、、、，，是第99个点．
命题点2 点的坐标变换★☆☆
8．[2023常州]在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．[2024扬州]在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10．[2022常州]在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
11．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上， ，.将绕点逆时针旋转 ，点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
12．[2023常州一模]在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别是，.平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是____________.
【答案】
命题点3 函数自变量取值范围的确定★☆☆
13．[2023无锡]函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
14．[2023扬州四模]函数的自变量的取值范围是____________________.
【答案】且
命题点4 函数图像的辨析★★☆
15．[2023常州]折返跑是一种跑步的形式.如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物.小华练习了一次的折返跑，用时.在整个过程中，他的速度大小随时间变化的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由于体力原因，第一个速度快，用的时间少，第二个速度慢，用的时间多．
16．[2023盐城]如图，关于的函数的图像与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图像上，符合要求的点只有1个；④将函数的图像向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】①当时，或，不正确．②由图像可知，当时，有最小值，正确．③令，，， 点在直线上．如图，由图像可以看出符合要求的点有3个，不正确．④将函数的图像向右平移1个单位长度时，原图像上坐标为的点在原点处；将函数的图像向右平移3个单位长度时，原图像上坐标为的点在原点处，正确．综上，只有②④正确．
17．[2023南通]如图1，中， ，，.点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为.设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为 （ ）
图1 图2
A. 54 B. 52 C. 50 D. 48
【答案】B
【解析】 ，，，.
①当时，点D在边上，如图1，此时，，，，，，，，，，当时，，.
②当时，点D在边上，如图2，此时，，，，，，，，，当时，，，．
图1 图2
18．[2023苏州三模]如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是.现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是________________.
图① 图②
【答案】
【解析】从函数的图像和运动的过程可以得出：当点运动到点时，，，过点作于，由三角形面积公式得，，又,，由题图可知当时，点与点重合，， 矩形的面积为．
第2节 一次函数的图像与性质
目标领航
真题演练
命题点1 一次函数的图像与性质★★☆
1．已知点,在一次函数的图像上，则与的大小关系是 （ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
2．[2023无锡一模]正比例函数的图像过第二、四象限，则一次函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2023南通]已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得，
解得．
4．[2023泰州二模]关于的一次函数的图像过点，，，若，则的取值范围是____________________________.
【答案】或
【解析】， 一次函数的图像过定点， 一次函数的图像过点，，，且，，
或
或
或．
5．[2023南京一模]如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，.
（1） 用“ ”“”或“ ”填空：____0，________0.
（2） 用直尺和圆规作出下列函数的图像.（保留作图痕迹）
；；.
解：（1） ； .
（2） 如图.
提示：①如图，截取,,则直线即为的图像；
②如图，截取,则直线即为的图像；
③如图，截取,则直线即为的图像.
命题点2 一次函数图像的平移★★☆
6．[2023无锡]将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7．[2023南通一模]将一次函数的图像向下平移2个单位长度后经过点，则的值为______.
【答案】4
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系★★☆
8．[2024扬州]如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于、两点，若,,则关于的方程的解为__________.
【答案】
9．[2022扬州]如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
10．若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集是________.
【答案】
【解析】把代入得，则，所以可化为，即，因为，所以．
命题点4 一次函数解析式的确定★★☆
11．[2023扬州二模]如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为，在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，若直线同时经过点，，，，，则与的乘积为（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】B
【解析】如图所示，设直线与，轴的交点分别为，，于点，，，依题意得，，， ,, 每一级台阶的宽度和高度之比为，，，即， 直线解析式为，将代入得，解得，．
12．[2023镇江模拟]如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动.当线段最短时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当线段最短时，， 设直线的解析式为， 点A的坐标为，，， 直线的解析式为，联立得解得
13．[2023无锡]请写出一个函数，使得它的图像经过点____________________________.
【答案】（答案不唯一）
14．[2023苏州]已知一次函数的图像经过点和,则________.
【答案】
15．[2024苏州]直线与轴交于点,将直线绕点逆时针旋转 ，得到直线,则直线对应的函数表达式是____________.
【答案】
【解析】如图所示，
将代入，得，
点坐标为．
将代入，得，
点的坐标为，
，
，
．
由旋转可知， ，
．
在中，
，
，
则点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
则解得
直线的函数表达式为．
16．[2023苏州模拟]如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且 ，则直线的函数表达式为________________.
【答案】
【解析】过点作交于点，过点作轴于， ，是等腰直角三角形，，
，，在和中，
，，， 直线与轴，轴分别交于点，， 点、，，，，设直线的函数表达式为，代入，得解得 直线的解析式为．
17．[2023泰州模拟]已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转 ，则旋转后的直线对应的函数表达式为____________.
【答案】
【解析】设绕点逆时针旋转 的对应点为，旋转后的直线交直线于，连接,,过作 直线于，如图， ，，是等边三角形， ， ，，，，，，， ，，，，设直线的解析式为，将，代入得解得
直线的解析式为．
18．[2023宿迁模拟]如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点.
（1） 求直线的解析式；
（2） 求四边形的面积.
解：（1） 直线过，，，
把代入得，解得，
直线的解析式为．
（2） 把代入，得，解得，，
把代入得，，，，
把代入得，，，，
过点作轴于，
四边形的面积为．
第3节 一次函数的实际应用
真题演练
命题点1 注水问题★★☆
1．[2022苏州]一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为________.
【答案】
【解析】设出水管每分钟排水升.由题意知进水管每分钟进水10升，且，，.
2．[2022南京]某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.设注水第时，甲、乙水池中的水量分别为，.
（1） 若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式；
（2） 若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像；
（3） 若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值.
解：（1） 若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水， 注满甲需要，注满乙需要， 甲、乙同时注满，
，.
（2） 若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水， 注满甲需要，
注满乙需要， 甲在时注满，之后每分钟向乙注水，
，，
与之间的函数图像如下.
（3） 由题意得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，
的值为.
命题点2 行程问题★★★
3．[2023镇江]小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程与时间之间的函数关系，已知小明购物用时，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则的值为（ ）
A. 46 B. 48 C. 50 D. 52
【答案】D
4．[2023淮安]快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为.两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示.
（1） 请解释图中点的实际意义；
（2） 求出图中线段所表示的函数表达式；
（3） 两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间.
解：（1） 点的实际意义是：出发时，快车到达乙地，此时快车与慢车相距.
（2） 点的横坐标为，点的纵坐标为，
点的坐标为，
设直线所表示的函数表达式为，将，代入得解得
线段所表示的函数表达式为.
（3） ，
快车从乙地返回甲地的速度为，
.
答：快车到达甲地还需.
5．[2023南京一模]如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市，如图②，线段和折线分别表示小明和妈妈离家的距离与出发时间的关系.
图① 图②
（1） 小明步行的速度是____，妈妈的单位距离超市____;
（2） 求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3） 当__________________时，小明与妈妈相距.
解：（1） 100；800
（2） 由图像知，妈妈的速度为，妈妈从家到超市所用时间为， 妈妈在家拿东西的时间为，，
设直线所表示的函数表达式为，
把，代入得解得
线段所表示的函数表达式为.
（3） 或4或10.
详解：①当小明妈妈从单位骑行回家时，由题意得，解得；②当时，小明走了，当时，妈妈在家停留，小明又走了， 当时，小明与妈妈相距；③当小明妈妈回家后再以相同的速度骑行去超市时，由题意得，解得.综上，当或4或10时，小明与妈妈相距.
6．[2023苏州]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系.已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值____________；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若，求的值.
解：（1） 由负到正.
（2） 设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，,
,，
是的一次函数,
当和时，与之对应的的两个值互为相反数,
当时，,
,，
滑块从点到点所用的时间为，
整个过程总用时 （含停顿时间）,当滑块右端到达点时，滑块停顿, 滑块从点到点所用的时间为,
滑块返回的速度为，
当时，,,,
与的函数表达式为.
（3） 当时，有两种情况：
①当时，,
;
②当时，,
.
综上所述，当或18时，.
命题点3 阶段收费问题★★★
7．[2023连云港]目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一阶梯 （含400）的部分 2.67元/ 若家庭人口超过4人，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、
第二阶梯 （含）的部分 3.15元/
第三阶梯 以上的部分 3.63元/
（1） 一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为____元；
（2） 一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式；
（3） 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.（结果精确到）
解：（1） 534.
（2） 根据题意得，
关于的函数表达式为.
（3） ， 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，
由（2）知，当时，，解得.
又，且， 乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三阶梯，设乙户年用气量为，则有，解得，
.
答：该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气.
命题点4 销售问题★★★
8．[2023扬州]近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
（1） 甲、乙两种头盔的单价各是多少元
（2） 商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小 最小费用是多少元
解：（1） 设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，
根据题意，得
解得
答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元.
（2） 设再次购进甲种头盔只，则购进乙种头盔只，总费用为元，根据题意，得，
解得.
，，
随着的增大而增大，
为正整数， 当时，取得最小值，最小值为.
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1 976元.
9．[2022南通]某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/,这两种苹果的销售额（单位:元）与销售量（单位:）之间的关系如图所示.
（1） 写出图中点表示的实际意义.
（2） 分别求甲、乙两种苹果销售额（单位:元）与销售量（单位:）之间的函数解析式，并写出的取值范围.
（3） 若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1 500元.求的值.
解：（1） 两种苹果销售量都是时，销售额相同，均为1 200元.
（2） 设甲种苹果销售额与销售量之间的函数解析式为.
的图像过点，
，解得.
甲种苹果销售额与销售量的函数解析式为.
当时，设乙种苹果销售额与销售量之间的函数解析式为.
的图像过点,
，解得.
.
当时，设乙种苹果销售额与销售量之间的函数解析式为.
的图像过点，，
解得
.
乙种苹果销售额与销售量之间的函数解析式为
（3） ①当时，由题意得，
解得，不合题意，舍去.
②当时，由题意得，
解得的值为80.
第4节 反比例函数
目标领航
真题演练
命题点1 反比例函数的图像与性质★☆☆
1．[2022南京]反比例函数为常数，的图像位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限
C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
【答案】A
2．[2024扬州]在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
【答案】B
3．[2023镇江]点、在反比例函数的图像上，则____（用“ ”“ ”或“”填空）.
【答案】
4．原创题 已知反比例函数.
（1） 当时，的取值范围是____________；
（2） 当时，的取值范围是______________________；
（3） 当时，的取值范围是______________________；
（4） 当时，的取值范围是____________.
【答案】（1）
（2） 或
（3） 或
（4）
5．原创题 已知点、在反比例函数的图像上.
（1） 若，则的取值范围是____________；
（2） 若，则的取值范围是______________________.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】（1） 在反比例函数中，， 在同一象限内随的增大而减小，，， 这两个点不会在同一象限，，解得.
（2） 在反比例函数中，， 在同一象限内随的增大而减小，，， 这两个点在同一象限，或，解得或.
命题点2 反比例函数解析式的确定★☆☆
6．[2022淮安]在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是________．
【答案】
7．[2023徐州]如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，.一次函数的图像与交于点，若为的中点，则的值为______.
【答案】4
【解析】设一次函数图像与轴的交点为，与轴的交点为，则，，，轴于点，轴于点，， 四边形是正方形，轴，，，，，为的中点，为的中点，，，，.
8．[2024扬州]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为,点在反比例函数的图像上，轴于点, ,将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图像上，则的值为________.
【答案】
【解析】如图,过点作轴于点，设.
由翻折可知, , ,
,又轴，
,
,,
点的坐标为,,
,,
点与点在反比例函数的图像上,
,
解得,（舍），
.
命题点3 反比例函数系数的几何意义★★☆
9．[2024苏州]如图，点为反比例函数图像上的一点，连接,过点作的垂线与反比例函数的图像交于点,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，
点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，
，，
， ，
， ，，
又，
，
，
．
10．[2023连云港]如图，矩形的顶点在反比例函数
的图像上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是6，，则________.
【答案】
【解析】作轴于，
矩形的面积是6，的面积是3， ，，， 对角线轴，， ，，，，，，，.
11．[2022南通]平面直角坐标系中，已知点，，是函数图像上的三点.若,则的值为________.
【答案】
【解析】不妨设.如图，连接.
,, 点、点关于原点对称，， 点,在的图像上，,,.过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，垂足分别为、，直线与直线交于点， 点坐标为,点坐标为,点坐标为,,.
命题点4 一次函数与反比例函数★☆☆
12．[2023镇江二模]在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个公共点，则的值是________．
【答案】
13．[2023宿迁模拟]如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的垂线，与双曲线交于点，且，则的值为______.
【答案】4
【解析】 直线与轴交于点， 点的坐标为，又 过点作轴的垂线，与双曲线交于点， 点的坐标为，， 点在线段的垂直平分线上， 点的纵坐标为， 点在双曲线上， 点的坐标为，又 点在直线上，，解得.
14．[2024苏州]如图，中，, ，,,反比例函数的图像与交于点,与交于点.
（1） 求,的值；
（2） 点为反比例函数图像上一动点（点在,之间运动，不与,重合），过点作,交轴于点,过点作轴，交于点,连接,求面积的最大值，并求出此时点的坐标.
解：（1） ，，
．又，．
， 点．
设直线的函数表达式为，将，代入，得解得
直线的函数表达式为．
将代入，得．
.
将代入，得，
解得．
（2） 延长交轴于点，交于点．
， ，
，轴，
， ，
， ，
，，
设点的坐标为,则，，，
， 当时，有最大值，最大值为，此时．
命题点5 反比例函数的实际应用★☆☆
15．[2023南京]甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（单位：）与行驶速度（单位：）之间的函数图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
16．[2024连云港]跨学科·物理 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为和,动力为,动力臂为.则动力关于动力臂的函数表达式为____________.
【答案】
17．[2023扬州]跨学科·物理 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，.当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于____.
【答案】0.6
微专题2 反比例函数与一次函数的综合应用
类型1 交点问题
1．[2023盐城一模]方程的根可以视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得， 方程的根可视为和图像的交点的横坐标，当时，，，，当时，，，，.
思路提示
两个函数图像的交点左、右两侧函数值的相对大小不同，据此可估计交点的横坐标的取值范围.
2．[2023连云港三模]如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是____________.
【答案】
3．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的纵坐标分别为，，则的值为______.
【答案】0
、思路提示
正比例函数 与反比例函数，当、同号时，两函数图像有两个交点，这两个交点关于原点对称.
4．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值是______.
【答案】6
思路提示
将点的坐标代入两个函数解析式中，求出相应代数式的值，再整体代入，可以化繁为简.
5．[2024连云港]如图1,在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、,与轴交于点,点的横坐标为2.
图1 图2
（1） 求的值；
（2） 利用图像直接写出时的取值范围；
（3） 如图2,将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点,与轴交于点,再将函数的图像沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积.
解：（1） 点在 的图像上，
当时，.
将代入，得.
（2） 或.
详解：由（1）可知一次函数解析式为，
联立得解得或
，
根据图像可知不等式的解集为或.
（3） 由题意可知，.
如图，过点作，垂足为，可求得.
又，，，
由平移的性质可知，阴影部分的面积就是的面积，即.
类型2 线段问题
6．[2023淮安]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图像交于点.若点坐标为，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点C作轴于点D，则，,
,,，
,，，
点在的图像上，
，解得， 直线的解析式为，当时，，即，.
方法解读
“反比例函数与一次函数图像中的线段成比例”常用解题方法
（1）过交点向 轴或 轴作垂线;
（2）通过构造全等三角形或相似三角形，表示出线段之间的关系;
（3）设出线段的长度，表示出点的坐标;
（4）求解.
7．[2023苏州]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点.将点沿轴正方向平移个单位长度得到点,为轴正半轴上的点,点的横坐标大于点的横坐标,连接,的中点在反比例函数的图像上.
（1） 求,的值.
（2） 当为何值时,的值最大 最大值是多少
解：（1） 把代入，得.
把代入，得.
（2） 点的横坐标大于点的横坐标, 点在点的右侧.
如图,过点作轴的垂线,分别交,轴于点，.
，.
在和中，
，
，.
，，.
点沿轴正方向平移个单位长度得到点，，
，，
，
当时，取得最大值，最大值为36.
8．[2023泰州二模]在平面直角坐标系中，函数的图像和直线为常数，且如图所示，若函数与的图像有一个交点.
（1） 求，的值.
（2） 过动点作平行于轴的直线，分别交函数和的图像于点、.在点运动的过程中，、、三点中的一点是另外两点所连线段的中点，求此时的值.
解：（1） 把代入得，，把代入，
得，解得.
（2） 由题意得，.
①当点是线段的中点时，根据题意，得，整理得，，
方程无解，此情况不符合题意；
②当点是线段的中点时，根据题意，得，整理得，；
③当点是线段的中点时，根据题意，得，整理得，或（负值舍去）.
综上所述，或.
思路提示
未确定、、的相对位置时，需分类讨论.
类型3 面积问题
9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】分别过点A、B作轴于D、轴于，如图所示，，，是的中位线，，设，则，对于，当时，，当时，， 点，点，的面积为8,，，，．
方法解读
求不规则三角形面积的常用方法
方法1：
图① 图②
图①:;
图②:.
方法2：
.
方法3：
.
10．[2023盐城]如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图像上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为______．
【答案】6
【解析】过点分别作于点，于点，设点，则，，
，，即，，
，，
，，
由点、的坐标得直线的表达式为， 点，
由点、的坐标得直线的表达式为，
点，，
，
.
11．[2023无锡模拟]如图，在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点．直线向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点，且的面积为18，则平移后的直线的解析式是____________．
【答案】
【解析】过点作轴于，过点作轴于，对于，令，则，，将代入中得，解得，则，即，，设反比例函数解析式为，将代入反比例函数解析式得，则.
设平移后的直线解析式为，点的横坐标为，则，将代入反比例函数解析式得，，，解得，则平移后的直线解析式为.
12．[2023苏州一模]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点.
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式.
（2） 连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积解：（1） 由题意得，
解得，
点的坐标为，点的坐标为，，
将和代入中，得解得
一次函数表达式为，反比例函数表达式为.
（2） 存在.
一次函数的图像与轴交于点， 点坐标为，
，
，
的面积为，
设点纵坐标为，
，解得或，
点在直线上，
或，
解得或，
点坐标为或.
第5节 二次函数的图像与性质
目标领航
真题演练
命题点1 二次函数的图像与性质★★★
1．[2022泰州]已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．[2023扬州]已知二次函数为常数，且,下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
【答案】B
【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故③正确，④错误；由题意得抛物线与轴的交点为，, 对称轴在轴右侧， 函数图像一定不经过第三象限，可能经过第一、二、四象限，故①错误，②正确.
3．[2023扬州一模]已知，则的最小值是（ ）
A. 8 B. C. D. 9
【答案】A
【解析】，，，， 当时，取最小值，最小值是8.
4．[2023镇江]二次函数的最大值等于______.
【答案】9
5．[2022徐州]若二次函数的图像上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为______．
【答案】4
【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 顶点到轴的距离为4， 抛物线上有且只有三个点到轴的距离为， 这三个点中有一个点为顶点，．
6．[2022盐城]若点在二次函数的图像上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】， 二次函数的图像开口向上，对称轴是直线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，到轴的距离小于2，，而，当时，，当时，，当时，，的取值范围是.
7．[2023南京模拟]已知点、、在二次函数的图像上，且为抛物线的顶点.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】， 抛物线的对称轴为直线 点为抛物线顶点，且， 抛物线开口向下，，、，，解得.
命题点2 二次函数图像的平移、对称★★☆
8．[2023徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．已知抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线恰好经过坐标原点，则的值是（ ）
A. 或2 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】 抛物线的对称轴在轴右侧，， 抛物线， 平移后的抛物线表达式是，将代入，得，解得（舍去），的值是.
10．[2023常州模拟]抛物线关于轴对称的抛物线解析式为____________________.
【答案】
命题点3 求二次函数解析式★★★
11．[2024苏州]二次函数的图像过点,,,，其中,为常数，则的值为________.
【答案】
【解析】将，，代入，
得
，
把代入，
得，
，．
12．[2024扬州]如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点.
（1） 求、的值；
（2） 若点在该二次函数的图像上，且的面积为6,求点的坐标.
解：（1） 把，代入得
解得
（2） 由（1）知，二次函数解析式为，
设点坐标为，
的面积为6，，
，，
即或，
或，
或．
命题点4 二次函数与一元二次方程★★★
13．[2023淮安二模]关于的方程的两根分别是，3，若点是二次函数的图像与轴的交点，过作轴交抛物线于另一点，则的长为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
14．[2023泰州]二次函数的图像与轴有一个交点在轴右侧,则的值可以是________________________.（填一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标为、，即一元二次方程的根为、，由根与系数的关系得，， 二次函数的图像与轴有一个交点在轴右侧，，异号，，即填任意负数均可.
15．[2022无锡]把二次函数的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：________.
【答案】
【解析】抛物线，平移后得到的抛物线所对应的解析式为，即， 平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无公共点，与轴有一个公共点，，．
16．[2023南京]已知二次函数为常数，.
（1） 若，求证：该函数的图像与轴有两个公共点；
（2） 若，求证：当时，；
（3） 若该函数的图像与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是________________________.
证明：（1） ，，
，，，
该函数的图像与轴有两个公共点.
（2） 将代入函数解析式，
得，
抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， 当时，，
当时，.
（3） 或.
详解： 易知抛物线过定点、，对称轴为直线， 该函数的图像与轴有两个公共点，，且， 当时，令，则，解得，故；当时，令，则，解得，故.综上所述，或.
命题点5 二次函数与不等式★★☆
17．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______________________.
【答案】或
18．若二次函数（、、为常数）的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______________________.
【答案】或
【解析】由图像可得或时， 当时，或，或.
命题点6 二次函数图像与系数的关系★★☆
19．[2023苏州模拟]在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
20．已知二次函数的图像如图所示，有以下结论：;;;④不等式的解集为.其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由题图可知，抛物线开口向上，则，故①正确；由题图可知，抛物线与轴无公共点，，故②错误；由题图可知，抛物线过点，，即当时，，当时，，两式作差得，即，故③正确；，即，而点，在直线上，由图像可知，当时，抛物线在直线的下方，的解集为，故④正确.
21．[2024连云港]已知抛物线、、是常数，的顶点为.
小烨同学得出以下结论：;②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3,则;④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是 （ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
【答案】B
【解析】①由题意得，.当时，，，，,但的正负不确定，故的正负不确定，故①错误；
②抛物线，，为常数，的顶点为， 当时，随的增大而减小，故②正确；
③当时，，又，，，解得，故③正确；
④根据顶点坐标可知原抛物线表达式可改写为，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得，故④错误.
第6节 二次函数的实际应用
真题演练
命题点1 面积问题★★☆
1．[2022无锡]某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）.
（1） 若矩形养殖场的总面积为，求此时的值.
（2） 当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
解：（1） 根据题意知矩形养殖场的两邻边长分别为，，
，解得或，
当时，，不符合题意，故舍去， 此时的值为2.
（2） 设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为，，
根据题意得，，,
当时，取最大值，最大值为.
答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为.
2．[2023无锡一模]有一块形状如图的五边形余料，，， ， ， ，要在这块余料中截取一块矩形材料，使其一条边在上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.
（1） 若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积.
（2） 能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出该矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
解：（1） ①若所截矩形材料的一条边是，如图1所示，过点作于点，又 ，
四边形为矩形，
图1
，，
.
②若所截矩形材料的一条边是，如图2所示，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，
图2
则四边形为矩形，四边形为矩形，，，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
.
（2） 能，如图3，在上取点，过点作于点，于点，过点作于点，
图3
则四边形为矩形，四边形为矩形，，，
， ，
为等腰直角三角形，
，设，则，
，
，
由题意可知，,又, 当时，取最大值，为30.25.
命题点2 利润问题★★★
3．[2023宿迁]某商场销售、两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元.
（1） 求、两种商品的销售单价.
（2） 经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价.设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
解：（1） 设种商品的销售单价为元，种商品的销售单价为元，
由题意可得
解得
答：种商品的销售单价为30元，种商品的销售单价为24元.
（2） 设总利润为元，由题意可得，
种商品售价不低于种商品售价，，解得，
又， 当时，取得最大值，此时.
答：取5时，商场销售、两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.
4．[2023无锡]某景区旅游商店以20元/的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/，不高于45元/．经市场调查发现，每天的销售量与销售价格（元/）之间的函数图像如图所示．
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
注：销售利润（销售价格-采购价格） 销售量.
解：（1） 当时，设函数表达式为，
分别将，代入得解得
.
当时，设函数表达式为，
分别将，代入得解得
.
综上，关于的函数表达式为
（2） 设每天获得的销售利润为元，当时，
，
, 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值,为400.
当时，，
, 当时，取得最大值,为，
当销售价格定为35元/时，每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元．
5．[2024盐城]请根据以下素材，完成探究任务.
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下：
探究任务
任务1．探寻变量关系
求、之间的数量关系.
任务2．建立数学模型
设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式.
任务3．拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案.
解：任务1 ： 安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，
加工“正”服装的有人，
根据“正”服装总件数和“风”服装相等，可得，
整理得.
任务2 ： 根据题意，知，且“雅”服装每天的获利为元，
，
整理得，
.
任务3： ，,均为整数，
， 抛物线开口向下，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意.
当时，取得最大值.
此时.
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，可获得最大利润．
命题点3 抛物线形问题★★☆
6．[2022连云港]如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是______.
【答案】4
7．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目.如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处.腾空点到地面的距离为，坡高为，着陆坡的坡度（即）为.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知这段抛物线经过点，.
（1） 求这段抛物线对应的二次函数表达式；
（2） 在空中飞行的过程中，求运动员到坡面竖直方向上的最大距离；
（3） 落点与坡顶之间的距离为__.
解：（1） 为，，
设二次函数表达式为，把、、代入得
解得
二次函数的表达式为.
（2） 作轴分别交抛物线和于、，
坡高为，着陆坡的坡度为，，，
，，
设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为，
设，
则，
，
令,解得,,,,
当时，取最大值，为.
答：运动员到坡面竖直方向上的最大距离是.
（3） 50.
8．[2023镇江模拟]如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员下落至距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开等动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.
（1） 求运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标.
（2） 运动员某次在空中调整好入水姿势时，距点的水平距离恰好为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
（3） 在该运动员入水点的正前方有，两点，且米，米，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），求的取值范围.
解：（1） 设该抛物线的解析式为，
把代入解析式得，
解析式为，
令，则，
解得，，
点在轴右侧，
入水处点的坐标为.
（2） 该运动员此次跳水失误了.
理由：运动员距点的水平距离为5米时，对应的横坐标为，
将代入解析式得，
，
该运动员此次跳水失误了.
（3） 米，米，点的坐标为， 点，的坐标分别为，，
当该运动员入水后运动路线对应的抛物线过点时，其对称轴为直线， 点，故该解析式为，
把代入，得.
当该抛物线过点时，
同理可得.
的取值范围为.
微专题3 二次函数的定点、定值、最值问题
类型1 定点、定值问题
1．已知抛物线（是常数）.
（1） 无论取何值，该抛物线都经过定点，求点的坐标；
（2） 若在的范围内，至少存在一个的值，使，求的取值范围.
解：（1） ， 当时，无论为何值，一定等于0，
抛物线经过定点，即.
（2） 由（1）可知，该抛物线与轴的一个交点为.
抛物线的对称轴为直线.
当时，抛物线的开口向上，且，如图1，设抛物线交轴于点，
，
图1
由图像可知，只需满足点在轴的上方即可，，；
当时，抛物线开口向下，且，如图2， 抛物线与轴的另一个交点在点的右侧，由图像可知，在的范围内，不存在使的的值.
图2
综上所述，的取值范围是.
2．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交轴于点，点是直线上方的抛物线上一动点（不含，两点）.
（1） 求、的值.
（2） 若直线、分别交该抛物线的对称轴于点、，试问是不是定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解：（1） 将代入抛物线表达式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，，，即.
（2） 是定值.
抛物线的对称轴为直线, 点的坐标为，
设点，则，
点的坐标为，
易得直线的表达式为，
当时，，即点，
易得直线的表达式为，
当时，，即点，，，
，为定值.
方法解读
定点问题的解题方法
问题 无论 取何值，抛物线 都经过定点，求该定点的坐标
方法1 （1）找出所有含 的项，再提公因式； （2）令与 相乘的因式为0：令，即，此时； （3）得定点坐标
方法2 任取两个 值代入函数解析式： 分别令，， 得 解得 所以抛物线经过定点
方法提示
二次函数中求线段相关代数式的定值问题
属于定量问题，采用参数计算法，即选取其中的变量（如线段长，点坐标）作为参数，将所求用含参数的式子表示出来，然后消去参数，即得定值.
类型2 对称性、增减性及最值问题
3．[2023扬州二模]函数在内有最大值6，则实数的值是__________________.
【答案】或
【解析】抛物线的对称轴为直线，由题意，分以下三种情况：
（1）当时，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，，解得；
（2）当时，在内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当或时，取得最大值，因此有或，解得或 （均舍去）；
（3）当时，在内，随的增大而减小，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得.
综上，或.
4．已知二次函数.
（1） 当时，
① 顶点坐标为____________；
② 当时，该函数的最大值为__；
③ 当时，该函数的最小值是3，求的值.
（2） 当时，函数图像上有且只有2个点到轴的距离为2，直接写出的取值范围.
解：（1）① .
② 10.
③ 当时，二次函数解析式为,当，即时，
在内，随的增大而减小，则当时，取得最小值，，
解得（舍去）或，
；
当，即时，
在内，随的增大而减小，在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，
时,， 这种情况不存在；
当时，
在内，随的增大而增大，则当时，取得最小值，，
解得或（舍去），
.
综上所述，的值为或.
（2） 或或.
详解： ，，顶点坐标为.
①当，即时，如图1，当时，， 当时，函数图像上有且只有2个点到轴的距离为2，，；
图1
②当顶点在直线上时，函数图像上有且只有2个点到轴的距离为2，如图2，此时，解得；
图2
③当，即时，如图3，
图3
根据当时，函数图像上有且只有2个点到轴的距离为2可知，解得.综上所述，或或.
5．[2023盐城二模改编]已知点，在二次函数的图像上，且满足.
（1） 如图，若二次函数的图像经过点.
① 求这个二次函数的表达式；
② 若，此时二次函数图像的顶点为点，求的正切值.
（2） 当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为______________________.
解：（1）① 二次函数的图像经过点，
，， 二次函数的表达式为.
② ，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，顶点为，
，又，
解得
，，
如图1，连接，设直线与抛物线的对称轴交于点，则,
在中，，
，，
.
图1
（2） .
详解：，顶点为，函数的最大值为2.当时，如图2，
图2
最大值与最小值的差为3，，设的对称点为，，，，根据题意得解得，，，，，，.当时，如图3，
图3
同理可得.综上，的取值范围为.
方法解读
二次函数 在 内的最值问题，分三种情况讨论
（1）若,则当 时，随 的增大而减小
图示
结论 当 时,函数取得最大值;当 时,函数取得最小值
（2）若,则当 时，随 的增大而增大
图示
结论 当 时,函数取得最大值;当 时,函数取得最小值
（3）若
图示
结论 当 时,函数取得最小值；比较 和 时的 值，较大的 值为函数的最大值
类型3 线段最值问题
6．[2023连云港二模]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 如图，点为直线下方抛物线上的一个动点，于点，轴交于点，求的最大值和此时点的坐标.
解：（1）把、代入得解得
抛物线对应的函数表达式为.
（2） 在中，令,得，，由，易得直线的解析式为，
设，其中,则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，,
当时，取最大值，为，此时点的坐标为.
7．[2024连云港]在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，.
（1） 若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式.
（2） 如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、,连接、.求证：平分.
（3） 当,时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点.若的最大值为4,求的值.
解：（1）分别将、代入，得
解得
函数表达式为.
（2） 证明：连接，
，
，
当时，，
即点，
当时，，
即点.
，，
，，，
在中，
.
，
，
.
，
，
，
平分.
（3） 设，则，.
当时，.
令，
解得，.
，
，
点在的上方，如图1，
图1
设，则，
其图像的对称轴为，且.
①当时，，
图2
由图2可知当时，取得最大值，
解得或（舍去）.
②当时，得，
图3
由图3可知当时，取得最大值，
解得（舍去）.
综上所述，的值为.
方法解读中小学教育资源及组卷应用平台
2025江苏版数学中考专题
第一部分 考点突破
第一章 数与式
第1节 实数
目标领航
真题演练
命题点1 实数的分类★☆☆
1．[2023淮安]下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．5
2．下列数：6，，，0，，，， （每两个9之间依次多一个0）中，属于整数的是____，属于负分数的是______________________，属于无理数的是____________________________________________________________________.
命题点2 相反数、绝对值、倒数★★★
3．[2024盐城]2 024的相反数是（ ）
A．2 024 B． C． D．
4．[2024常州]的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2 024
5．[2024扬州]实数2的倒数是（ ）
A． B．2 C． D．
命题点3 实数与数轴★☆☆
6．[2024苏州]用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．[2023淮安三模]如图，数轴上点所表示的实数是（ ）
A． B． C． D．2
8．[2023南京模拟]若有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
命题点4 科学记数法★★★
9．[2024苏州]苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”.数据“2 470 000 000 000”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024常州]2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为 （ ）
A．光年 B．光年
C．光年 D．光年
11．[2023泰州]跨学科·化学 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下的溶度积约为，将数据用科学记数法表示为________________.
命题点5 平方根、算术平方根、立方根★☆☆
12．[2023无锡]实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
13．下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．0.2是0.4的平方根
C．是的平方根 D．是的平方根
14． ______，的算术平方根是________，的立方根是______.
15．[2023无锡模拟]一个正数的平方根分别是和，则的值为______.
命题点6 实数的大小比较及无理数的估值★☆☆
16．[2023南通]如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 的点应在 （ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
17．[2024盐城]矩形相邻两边长分别为、,设其面积为，则在哪两个连续整数之间（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
18．[2023扬州]已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
19．[2023扬州模拟]已知是的小数部分，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
20．比较大小：-____.（填“ ”“ ”或“”）
21．[2023扬州二模]根据表格估算 ____.（精确到）
2.3 2.4 2.5 2.6
12.167 13.824 15.625 17.576
命题点7 实数的运算★☆☆
22．[2023常州]计算：________.
23．计算：
（1） [2024苏州]；
（2） [2024扬州]；
（3） [2024盐城] .
24．[2023苏州三模]若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2.
（1） 直接写出，，的值；
（2） 求的值.
25．[2023苏州模拟]第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份.
（1） 八进制数3747换算成十进制数是________；
（2） 小华设计了一个进制数234，换算成十进制数是193，求的值.
第2节 代数式与整式
目标领航
真题演练
命题点1 代数式及代数式求值★☆☆
1．李奶奶买了一筐草莓，连筐共，其中筐.将草莓平均分给4位小朋友，每位小朋友可分得 （ ）
A． B． C． D．
2．[2023南通]若，则的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
3．[2024苏州]若,则______.
命题点2 规律探究★☆☆
4．[2023盐城一模]如图是三角形数阵，，，若，相等，则用含的式子表示为________.
5．[2022宿迁]按规律排列的单项式：，，，，， ，则第20个单项式是____________.
6．[2023徐州一模]用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，第12个图案中圆点的个数为__.
命题点3 整式的相关概念★☆☆
7．[2023泰州二模]单项式的次数是______.
8．[2023扬州模拟]若与是同类项，则________.
命题点4 幂的运算★★☆
9．[2024连云港]下列运算结果等于的是 （ ）
A． B． C． D．
10．[2024扬州]下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．[2023镇江]如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
12．已知，，则________.
13．计算：________.
14．[2023南京]计算的结果是________.
命题点5 整式的运算★★☆
15．[2023南通模拟]若是关于的完全平方式，则____________.
16．计算的结果是____.
17．[2023宿迁]若实数满足，则______________.
18．[2024无锡]计算：.
19．[2024常州]先化简，再求值：,其中.
20．[2023盐城]先化简，再求值：，其中，.
21．[2023无锡一模]已知多项式，.
（1） 当时，求的值.
（2） 小华认为无论取何值，的值都无法确定.小明认为可以取到适当的值，使代数式的值是常数.你认为谁的说法正确？请说明理由.
命题点6 因式分解★★☆
22．已知，，则的值为 （ ）
A． B．2 C． D．4
23．已知实数，同时满足，，则的值是（ ）
A．2或 B．2 C．或6 D．
24．分解因式：
（1） [2024盐城] ______________；
（2） [2023南通] ____________；
（3） [2023常州] ____________________；
（4） [2024扬州] ________________；
（5） [2023南京三模] __________________.
25．若，则的值为______.
26．[2023南京三模]
（1） 已知，是实数，证明：.
（2） 在中， ，，为直角边，斜边，则的最大值是__________.
命题点7 几何图形中的乘法公式★☆☆
27．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题
图1 图2 图3
（1） 图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式是________________________________；
（2） 图2中阴影部分的面积能解释的因式分解的式子是________________________________；
（3） 用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出代数式,，之间的等量关系:________________________________．
目标领航
真题演练
命题点1 分式的相关概念与性质★☆☆
1．[2023泰州模拟]代数式，，，，，中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[2023无锡模拟]下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．[2023常州]若代数式的值是0，则实数的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．[2023苏州二模]根据分式的基本性质将分式变形，下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．[2023南通二模]如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍 D．不变
6．[2024盐城]若有意义，则的取值范围是________.
7．[2023常州模拟]若分式的值为负数，则的取值范围是____________________.
8．[2023南京一模]已知：分式的值为整数，则整数为____________________.
命题点2 分式的运算★★★
9．[2023无锡一模]，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
11．[2023扬州一模]对于任意的值都有，则，的值分别为__________.
12．计算：
（1） [2024扬州]；
（2） [2023南京]；
（3） [2023南通].
13．[2024连云港]下面是某同学计算的解题过程:
13.解：
……①
……②
.……③
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
14．[2024苏州]先化简，再求值：,其中.
15．[2023盐城二模]先化简，再求值：，其中满足.
16．[2023连云港三模]先化简，再求值：，其中是方程的根.
第4节 二次根式
目标领航
真题演练
命题点1 二次根式有意义的条件★☆☆
1．[2024连云港]若在实数范围内有意义，则的取值范围是________.
2．[2023常州模拟]若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______________________.
3．[2023连云港模拟]若有意义，则的取值范围是______________________.
命题点2 同类二次根式、最简二次根式★☆☆
4．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．若最简二次根式、是同类二次根式，则______.
命题点3 二次根式的性质★☆☆
6．当时，代数式的值为，则当时，代数式的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．[2023扬州二模]若，则的取值范围是________.
8．[2023无锡模拟]已知，，为三角形的三边长，则____________.
9．[2023宿迁模拟]已知，则______.
10．已知，，满足等式.
（1） 求，，的值.
（2） 以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，判断此三角形的形状，并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.
命题点4 二次根式的运算★☆☆
11．[2023泰州]计算等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
12．[2023扬州一模]下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．[2023常州模拟]已知，则化简后为 （ ）
A． B． C． D．
14．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三边长分别为、、，则此三角形的面积可由公式求得，其中为该三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形，其边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
15．[2023南通]计算________.
16．[2023南京]计算的结果是________.
17．[2023泰州模拟]已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的的最小值是______.
18．[2023常州模拟]若的积是有理数，则无理数的值为________.
19．将根号外的因式移到根号内：__________.
20．[2022泰州]计算：.
21．计算：.
22．已知：，，求的值.
23．先化简，再求值：，其中.
24．[2023苏州模拟]已知是的小数部分，求的值.
第二章 方程（组）与不等式（组）
第1节 一次方程（组）
目标领航
真题演练
命题点1 一元一次方程★☆☆
1．[2023无锡模拟]若关于的一元一次方程的解是，则的值是（ ）
A． B． C．6 D．10
2．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是______.
3．[2023扬州三模]规定一种新的运算：，则*的解是__________.
命题点2 二元一次方程（组）★★☆
4．[2023无锡]下面4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
5．[2023盐城一模]二元一次方程中，与互为相反数，则，的值分别为（ ）
A．，4 B．4， C．3， D．，3
6．[2023南通]若实数，，满足，，则代数式的值可以是 （ ）
A．3 B． C．2 D．
7．已知、满足方程组则的值为________.
8．[2023常州模拟]若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的一个解，则的值为________.
9．解方程组：
（1） [2024苏州]
（2） [2024常州]
10．已知方程组的解也是关于、的方程的一个解，求的值.
命题点3 一次方程（组）的实际应用★★☆
11．[2022宿迁]我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房.若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2024盐城]中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为__尺.
13．[2024扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他.则速度快的人追上他需要____分钟.
14．[2022南京]某文印店用2 660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱.求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数.
15．甲、乙两工程队共同修建长度为的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.求甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建的长度.
16．[2024苏州]某条城际铁路线共有A,B,C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
8:00 9:30 9:50 10:50
8:25 途经B站，不停车 10:30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1） 次列车从A站到B站行驶了__分钟，从B站到C站行驶了__分钟.
（2） 记次列车的行驶速度为,离A站的路程为;次列车的行驶速度为，离A站的路程为.
① ________；
② 从上午8:00开始计时，时长记为分钟（如：上午,则）,已知千米/小时（可换算为4千米/分钟）,在次列车的行驶过程中,若,求的值.
第2节 分式方程
目标领航
真题演练
命题点1 分式方程的解法★★☆
1．[2024无锡]分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．如果分式方程有增根，那么的值是 （ ）
A．3 B． C．6 D．
3．[2023南通一模]关于的方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．[2023宿迁一模]若关于的分式方程的解大于1，则的取值范围是____________________.
5．若关于的方程无解，则的值是____________________.
6．解方程：
（1） [2023泰州]；
（2） [2023连云港];
（3） .
命题点2 分式方程的实际应用★★☆
7．[2024扬州]为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾
8．[2023扬州]甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度.
9．[2024常州]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、.若装裱后与的比是,且,,,求四周边衬的宽度.
10．[2023南通]为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1） 求的值.
（2） 该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于.该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
第3节 一元二次方程
目标领航
真题演练
命题点1 一元二次方程的概念与解法★★★
1．[2023常州模拟]关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ）
A． B．2 C．0 D．或2
2．[2023镇江]若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______.
3．解方程：
（1） [2024无锡];
（2） [2022徐州]；
（3） [2023无锡]；
（4） [2023苏州模拟].
命题点2 一元二次方程根的判别式★★☆
4．[2024连云港]关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________.
5．[2023扬州]若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________.
6．[2023常州一模]若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是________________________.
7．[2023扬州一模]已知关于的方程.
（1） 求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2） 若等腰的三边长，，中，，、恰好是这个方程的两个根，求的值.
命题点3 一元二次方程根与系数的关系★☆☆
8．关于的方程（为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．有两个正根 B．有两个负根
C．有一个正根，一个负根 D．无实数根
9．[2023泰州]关于的一元二次方程的两根之和为________.
10．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______.
11．[2023无锡四模]已知： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，.
（1） 直接写出，的值：______，______；
（2） 经计算可得，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明.
命题点4 一元二次方程的实际应用★★★
12．[2023无锡]国家统计局统计数据显示，2020年至2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长到6.58万元.设平均每年人均可支配收入增长的百分率为，下列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
13．[2023苏州模拟]某商店经销一批小家电，每个小家电的成本是40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2 160元，则该小家电的定价是____________.
14．[2023淮安]为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成.生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.
15．[2023盐城模拟]某服装销售商用48 000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100 000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价高了10元.
（1） 该销售商第一次购进了这种服装多少件？每件的进价是多少元？
（2） 该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，平均每天能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件.依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3 600元，销售价应为多少？
16．[2023苏州模拟]某社区利用一块长方形空地建了一个小型惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640平方米.
（1） 求通道的宽.
（2） 该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27 000元吗？
第4节 一元一次不等式（组）
目标领航
真题演练
命题点1 不等式的基本性质★☆☆
1．[2024苏州]若,则下列结论一定正确的是 （ ）
A． B． C． D．
2．[2023南通一模]实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
命题点2 一元一次不等式（组）的解法★★☆
3．[2023南京一模]不等式的解集是__________.
4．[2023宿迁]不等式的最大整数解是______.
5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________.
6．已知,且,那么的取值范围为____________.
7．[2023南通二模]若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是____________.
8．[2024连云港]解不等式,并把解集在数轴上表示出来.
9．[2024扬州]解不等式组并求出它的所有整数解的和.
10．[2023常州]解不等式组把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.
11．[2023扬州一模]已知关于的不等式组无解，求的取值范围.
命题点3 一元一次不等式（组）的实际应用★★☆
12．专卖店以元/件的价格购进一批防晒衣后，提价贴上标价牌，要保证不亏损，出售时可按标价最多打（取整数）（ ）
A．5折 B．6折 C．7折 D．8折
13．[2023苏州二模]新修订的《中华人民共和国森林法》明确了每年3月12日为植树节.2023年植树节，某班开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗.已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1 250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元.
（1） 求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2） 经商量，该班决定用不超过1 300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的棵数不少于甲种树苗棵数的，求购买的甲种树苗棵数的取值范围.
14．[2022宿迁]某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动.两家超市该文化用品的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖.
（1） 若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为____元，在乙超市的购物金额为____元；
（2） 假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
15．[2023苏州模拟]为迎接五一假期，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件种礼盒和3件种礼盒共需540元.
（1） 求、两种礼盒每件的成本价分别是多少元.
（2） 已知种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元.商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1 320元.五一当天商户最多卖出种礼盒多少件？
16．[2023盐城]某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）.
（1） 若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价.
（2） 若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出.班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价.
微专题1 方程（组）与不等式（组）的含参问题
类型1 一次方程（组）中的含参问题
一、整数解
1．关于的方程的解为正整数，则整数________.
2．若关于、的二元一次方程组有整数解，则负整数的值为________.
二、整体求解
3．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________.
4．已知的解是则的解为________________________________________.
三、恒有固定解
5．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则______.
6．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是________________________________________.
四、无数解
7．已知关于的方程有无数个解，则的值为________.
8．在关于、的方程组中，当________，________时，这个方程组有无数个解.
五、求参数的取值范围
9．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是____________.
10．若方程组的解，满足，则的取值范围是____________.
11．若关于、的二元一次方程组的解满足,,则实数的取值范围是________________.
方法解读
一次方程（组）中含参问题的解题方法
类别 方法
一、整数解 分式（、是整数）的值为整数，则 是 的约数
二、整体求解 若方程 的解为，则方程 的解满足
三、恒有固定解 不论 取何值，方程总有一个固定不变的解，说明这个解与 的取值无关. 方法 任取两个数值代入到原方程中，得到两个方程，组成方程组即可求解； 方法2：将含 的项合并同类项，令其系数为0，得到两个方程，组成方程组即可求解
四、无数解 关于 的方程 有无数解，则，
五、求参数的取值范围 先解方程，再根据解的情况列不等式（组）
类型2 一次不等式（组）中的含参问题
一、已知解集求参数的值
12．若关于的两个不等式与的解集相同，则的值为______.
13．已知关于的不等式组的解集为，则的值为________.
二、已知解集求参数的取值范围
14．[2023南通二模]若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知关于的不等式的解也是不等式的解，则常数的取值范围是________________.
三、有解
16．若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若关于的不等式组有解，则的取值范围是________.
四、无解
18．关于的不等式组无解，则的取值范围是________.
19．已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是__________.
五、整数解
20．[2023南通一模]若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是____________.
21．若关于的不等式组有且只有三个整数解，则实数的取值范围是______________.
方法解读
一次不等式（组）中含参问题的解题方法
类别 方法
一、已知解集求参数的值 先解不等式（组），再根据解集（或解集相关条件）列方程（组）
二、已知解集求参数的取值范围 解不等式（组） 由解集情况，借助数轴或口诀判断参数的取值范围 验证端点值是否符合题意 写出正确答案
三、有解
四、无解
五、整数解
第三章 函数
第1节 平面直角坐标系与函数
目标领航
真题演练
命题点1 点的坐标特征★☆☆
1．[2023盐城]在平面直角坐标系中，点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数的值为______.
3．[2023常州模拟]如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为______．
4．[2023泰州模拟]中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱.如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点____________.
5．[2022南京]在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是____________.
6．[2023连云港]画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为 、 、 、 、…、 的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点、、的坐标分别表示为、、，则点的坐标可以表示为________________.
7．[2022南京]如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点按如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，， ，按这个规律，则是第__个点.
命题点2 点的坐标变换★☆☆
8．[2023常州]在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
9．[2024扬州]在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．[2022常州]在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上， ，.将绕点逆时针旋转 ，点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．[2023常州一模]在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别是，.平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标是____________.
命题点3 函数自变量取值范围的确定★☆☆
13．[2023无锡]函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．[2023扬州四模]函数的自变量的取值范围是____________________.
命题点4 函数图像的辨析★★☆
15．[2023常州]折返跑是一种跑步的形式.如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物.小华练习了一次的折返跑，用时.在整个过程中，他的速度大小随时间变化的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．[2023盐城]如图，关于的函数的图像与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图像上，符合要求的点只有1个；④将函数的图像向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
17．[2023南通]如图1，中， ，，.点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为.设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图2所示，则的值为 （ ）
图1 图2
A．54 B．52 C．50 D．48
18．[2023苏州三模]如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是.现，两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是________________.
图① 图②
第2节 一次函数的图像与性质
目标领航
真题演练
命题点1 一次函数的图像与性质★★☆
1．已知点,在一次函数的图像上，则与的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．无法确定
2．[2023无锡一模]正比例函数的图像过第二、四象限，则一次函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2023南通]已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________.
4．[2023泰州二模]关于的一次函数的图像过点，，，若，则的取值范围是____________________________.
5．[2023南京一模]如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，.
（1） 用“ ”“”或“ ”填空：____0，________0.
（2） 用直尺和圆规作出下列函数的图像.（保留作图痕迹）
；；.
命题点2 一次函数图像的平移★★☆
6．[2023无锡]将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式为 （ ）
A． B． C． D．
7．[2023南通一模]将一次函数的图像向下平移2个单位长度后经过点，则的值为______.
命题点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系★★☆
8．[2024扬州]如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于、两点，若,,则关于的方程的解为__________.
9．[2022扬州]如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为__________.
10．若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集是________.
命题点4 一次函数解析式的确定★★☆
11．[2023扬州二模]如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为，在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，若直线同时经过点，，，，，则与的乘积为（ ）
A． B．3 C． D．5
12．[2023镇江模拟]如图，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上运动.当线段最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
13．[2023无锡]请写出一个函数，使得它的图像经过点____________________________.
14．[2023苏州]已知一次函数的图像经过点和,则________.
15．[2024苏州]直线与轴交于点,将直线绕点逆时针旋转 ，得到直线,则直线对应的函数表达式是____________.
16．[2023苏州模拟]如图，直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴负半轴交于点，且 ，则直线的函数表达式为________________.
17．[2023泰州模拟]已知直线过点且平行于轴，点的坐标为，将直线绕点逆时针旋转 ，则旋转后的直线对应的函数表达式为____________.
18．[2023宿迁模拟]如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，直线与轴交于点.
（1） 求直线的解析式；
（2） 求四边形的面积.
第3节 一次函数的实际应用
真题演练
命题点1 注水问题★★☆
1．[2022苏州]一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中的值为________.
2．[2022南京]某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止.已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水.设注水第时，甲、乙水池中的水量分别为，.
（1） 若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式；
（2） 若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像；
（3） 若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值.
命题点2 行程问题★★★
3．[2023镇江]小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程与时间之间的函数关系，已知小明购物用时，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
4．[2023淮安]快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为.两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示.
（1） 请解释图中点的实际意义；
（2） 求出图中线段所表示的函数表达式；
（3） 两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间.
5．[2023南京一模]如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市，如图②，线段和折线分别表示小明和妈妈离家的距离与出发时间的关系.
图① 图②
（1） 小明步行的速度是____，妈妈的单位距离超市____;
（2） 求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3） 当__________________时，小明与妈妈相距.
6．[2023苏州]某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动.如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止.设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记，与具有函数关系.已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）.请你根据所给条件解决下列问题：
（1） 滑块从点到点的滑动过程中，的值____________；（填“由负到正”或“由正到负”）
（2） 滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；
（3） 在整个往返过程中，若，求的值.
命题点3 阶段收费问题★★★
7．[2023连云港]目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：
阶梯 年用气量 销售价格 备注
第一阶梯 （含400）的部分 2.67元/ 若家庭人口超过4人，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、
第二阶梯 （含）的部分 3.15元/
第三阶梯 以上的部分 3.63元/
（1） 一户家庭人口为3人，年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为____元；
（2） 一户家庭人口不超过4人，年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元，求与的函数表达式；
（3） 甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.（结果精确到）
命题点4 销售问题★★★
8．[2023扬州]近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2 920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.
（1） 甲、乙两种头盔的单价各是多少元
（2） 商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小 最小费用是多少元
9．[2022南通]某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/,这两种苹果的销售额（单位:元）与销售量（单位:）之间的关系如图所示.
（1） 写出图中点表示的实际意义.
（2） 分别求甲、乙两种苹果销售额（单位:元）与销售量（单位:）之间的函数解析式，并写出的取值范围.
（3） 若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1 500元.求的值.
第4节 反比例函数
目标领航
真题演练
命题点1 反比例函数的图像与性质★☆☆
1．[2022南京]反比例函数为常数，的图像位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
2．[2024扬州]在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．[2023镇江]点、在反比例函数的图像上，则____（用“ ”“ ”或“”填空）.
4．原创题 已知反比例函数.
（1） 当时，的取值范围是____________；
（2） 当时，的取值范围是______________________；
（3） 当时，的取值范围是______________________；
（4） 当时，的取值范围是____________.
5．原创题 已知点、在反比例函数的图像上.
（1） 若，则的取值范围是____________；
（2） 若，则的取值范围是______________________.
命题点2 反比例函数解析式的确定★☆☆
6．[2022淮安]在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是________．
7．[2023徐州]如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，.一次函数的图像与交于点，若为的中点，则的值为______.
8．[2024扬州]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为,点在反比例函数的图像上，轴于点, ,将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图像上，则的值为________.
命题点3 反比例函数系数的几何意义★★☆
9．[2024苏州]如图，点为反比例函数图像上的一点，连接,过点作的垂线与反比例函数的图像交于点,则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2023连云港]如图，矩形的顶点在反比例函数
的图像上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点.若矩形的面积是6，，则________.
11．[2022南通]平面直角坐标系中，已知点，，是函数图像上的三点.若,则的值为________.
命题点4 一次函数与反比例函数★☆☆
12．[2023镇江二模]在平面直角坐标系中，若双曲线与直线恰有1个公共点，则的值是________．
13．[2023宿迁模拟]如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的垂线，与双曲线交于点，且，则的值为______.
14．[2024苏州]如图，中，, ，,,反比例函数的图像与交于点,与交于点.
（1） 求,的值；
（2） 点为反比例函数图像上一动点（点在,之间运动，不与,重合），过点作,交轴于点,过点作轴，交于点,连接,求面积的最大值，并求出此时点的坐标.
命题点5 反比例函数的实际应用★☆☆
15．[2023南京]甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（单位：）与行驶速度（单位：）之间的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
16．[2024连云港]跨学科·物理 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为和,动力为,动力臂为.则动力关于动力臂的函数表达式为____________.
17．[2023扬州]跨学科·物理 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，.当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于____.
微专题2 反比例函数与一次函数的综合应用
类型1 交点问题
1．[2023盐城一模]方程的根可以视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
思路提示
两个函数图像的交点左、右两侧函数值的相对大小不同，据此可估计交点的横坐标的取值范围.
2．[2023连云港三模]如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是____________.
3．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的纵坐标分别为，，则的值为______.
、思路提示
正比例函数 与反比例函数，当、同号时，两函数图像有两个交点，这两个交点关于原点对称.
4．在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值是______.
思路提示
将点的坐标代入两个函数解析式中，求出相应代数式的值，再整体代入，可以化繁为简.
5．[2024连云港]如图1,在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、,与轴交于点,点的横坐标为2.
图1 图2
（1） 求的值；
（2） 利用图像直接写出时的取值范围；
（3） 如图2,将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点,与轴交于点,再将函数的图像沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积.
类型2 线段问题
6．[2023淮安]如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于、两点，且与反比例函数在第一象限内的图像交于点.若点坐标为，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
方法解读
“反比例函数与一次函数图像中的线段成比例”常用解题方法
（1）过交点向 轴或 轴作垂线;
（2）通过构造全等三角形或相似三角形，表示出线段之间的关系;
（3）设出线段的长度，表示出点的坐标;
（4）求解.
7．[2023苏州]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点.将点沿轴正方向平移个单位长度得到点,为轴正半轴上的点,点的横坐标大于点的横坐标,连接,的中点在反比例函数的图像上.
（1） 求,的值.
（2） 当为何值时,的值最大 最大值是多少
8．[2023泰州二模]在平面直角坐标系中，函数的图像和直线为常数，且如图所示，若函数与的图像有一个交点.
（1） 求，的值.
（2） 过动点作平行于轴的直线，分别交函数和的图像于点、.在点运动的过程中，、、三点中的一点是另外两点所连线段的中点，求此时的值.
思路提示
未确定、、的相对位置时，需分类讨论.
类型3 面积问题
9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
方法解读
求不规则三角形面积的常用方法
方法1：
图① 图②
图①:;
图②:.
方法2：
.
方法3：
.
10．[2023盐城]如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图像上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为______．
11．[2023无锡模拟]如图，在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点．直线向上平移后与反比例函数图像在第一象限内交于点，且的面积为18，则平移后的直线的解析式是____________．
12．[2023苏州一模]如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点.
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式.
（2） 连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
第5节 二次函数的图像与性质
目标领航
真题演练
命题点1 二次函数的图像与性质★★★
1．[2022泰州]已知点、、在下列某一函数图像上，且，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
2．[2023扬州]已知二次函数为常数，且,下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，随的增大而减小；④当时，随的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．② D．③④
3．[2023扬州一模]已知，则的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
4．[2023镇江]二次函数的最大值等于______.
5．[2022徐州]若二次函数的图像上有且只有三个点到轴的距离等于，则的值为______．
6．[2022盐城]若点在二次函数的图像上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________.
7．[2023南京模拟]已知点、、在二次函数的图像上，且为抛物线的顶点.若，则的取值范围是__________.
命题点2 二次函数图像的平移、对称★★☆
8．[2023徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线恰好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
10．[2023常州模拟]抛物线关于轴对称的抛物线解析式为____________________.
命题点3 求二次函数解析式★★★
11．[2024苏州]二次函数的图像过点,,,，其中,为常数，则的值为________.
12．[2024扬州]如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点.
（1） 求、的值；
（2） 若点在该二次函数的图像上，且的面积为6,求点的坐标.
命题点4 二次函数与一元二次方程★★★
13．[2023淮安二模]关于的方程的两根分别是，3，若点是二次函数的图像与轴的交点，过作轴交抛物线于另一点，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
14．[2023泰州]二次函数的图像与轴有一个交点在轴右侧,则的值可以是________________________.（填一个值即可）
15．[2022无锡]把二次函数的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件：________.
16．[2023南京]已知二次函数为常数，.
（1） 若，求证：该函数的图像与轴有两个公共点；
（2） 若，求证：当时，；
（3） 若该函数的图像与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是________________________.
命题点5 二次函数与不等式★★☆
17．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______________________.
18．若二次函数（、、为常数）的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______________________.
命题点6 二次函数图像与系数的关系★★☆
19．[2023苏州模拟]在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
20．已知二次函数的图像如图所示，有以下结论：;;;④不等式的解集为.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．[2024连云港]已知抛物线、、是常数，的顶点为.
小烨同学得出以下结论：;②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3,则;④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
第6节 二次函数的实际应用
真题演练
命题点1 面积问题★★☆
1．[2022无锡]某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图）.
（1） 若矩形养殖场的总面积为，求此时的值.
（2） 当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
2．[2023无锡一模]有一块形状如图的五边形余料，，， ， ， ，要在这块余料中截取一块矩形材料，使其一条边在上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.
（1） 若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积.
（2） 能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出该矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由.
命题点2 利润问题★★★
3．[2023宿迁]某商场销售、两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元.
（1） 求、两种商品的销售单价.
（2） 经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价.设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
4．[2023无锡]某景区旅游商店以20元/的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/，不高于45元/．经市场调查发现，每天的销售量与销售价格（元/）之间的函数图像如图所示．
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？
注：销售利润（销售价格-采购价格） 销售量.
5．[2024盐城]请根据以下素材，完成探究任务.
信息整理
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式. ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件. ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整理 现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，列表如下：
探究任务
任务1．探寻变量关系
求、之间的数量关系
任务2．建立数学模型
设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式
任务3．拟定加工方案
制定使每天总利润最大的加工方案
命题点3 抛物线形问题★★☆
6．[2022连云港]如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是______.
7．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目.如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处.腾空点到地面的距离为，坡高为，着陆坡的坡度（即）为.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知这段抛物线经过点，.
（1） 求这段抛物线对应的二次函数表达式；
（2） 在空中飞行的过程中，求运动员到坡面竖直方向上的最大距离；
（3） 落点与坡顶之间的距离为__.
8．[2023镇江模拟]如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员下落至距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开等动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线.
（1） 求运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标.
（2） 运动员某次在空中调整好入水姿势时，距点的水平距离恰好为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
（3） 在该运动员入水点的正前方有，两点，且米，米，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，若该运动员出水点在之间（包括，两点），求的取值范围.
微专题3 二次函数的定点、定值、最值问题
类型1 定点、定值问题
1．已知抛物线（是常数）.
（1） 无论取何值，该抛物线都经过定点，求点的坐标；
（2） 若在的范围内，至少存在一个的值，使，求的取值范围.
2．如图，已知抛物线经过点和点，其对称轴交轴于点，点是直线上方的抛物线上一动点（不含，两点）.
（1） 求、的值.
（2） 若直线、分别交该抛物线的对称轴于点、，试问是不是定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
方法解读
定点问题的解题方法
问题 无论 取何值，抛物线 都经过定点，求该定点的坐标
方法1 （1）找出所有含 的项，再提公因式； （2）令与 相乘的因式为0：令，即，此时； （3）得定点坐标
方法2 任取两个 值代入函数解析式： 分别令，， 得 解得 所以抛物线经过定点
方法提示
二次函数中求线段相关代数式的定值问题
属于定量问题，采用参数计算法，即选取其中的变量（如线段长，点坐标）作为参数，将所求用含参数的式子表示出来，然后消去参数，即得定值.
类型2 对称性、增减性及最值问题
3．[2023扬州二模]函数在内有最大值6，则实数的值是__________________.
4．已知二次函数.
（1） 当时，
① 顶点坐标为____________；
② 当时，该函数的最大值为__；
③ 当时，该函数的最小值是3，求的值.
（2） 当时，函数图像上有且只有2个点到轴的距离为2，直接写出的取值范围.
5．[2023盐城二模改编]已知点，在二次函数的图像上，且满足.
（1） 如图，若二次函数的图像经过点.
① 求这个二次函数的表达式；
② 若，此时二次函数图像的顶点为点，求的正切值.
（2） 当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，点，在对称轴的异侧，则的取值范围为______________________.
方法解读
二次函数 在 内的最值问题，分三种情况讨论
（1）若,则当 时，随 的增大而减小
图示
结论 当 时,函数取得最大值;当 时,函数取得最小值
（2）若,则当 时，随 的增大而增大
图示
结论 当 时,函数取得最大值;当 时,函数取得最小值
（3）若
图示
结论 当 时,函数取得最小值；比较 和 时的 值，较大的 值为函数的最大值
类型3 线段最值问题
6．[2023连云港二模]在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 如图，点为直线下方抛物线上的一个动点，于点，轴交于点，求的最大值和此时点的坐标.
7．[2024连云港]在平面直角坐标系中，已知抛物线、为常数，.
（1） 若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式.
（2） 如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点、,连接、.求证：平分.
（3） 当,时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点.若的最大值为4,求的值.
方法解读
二次函数中求线段最值的方法
问题1 点 为直线 上方抛物线上的一个动点，线段 轴交 于点，求 的最大值
图示
方法 设，则, ，得到关于 的二次函数，从而得到 的最大值
问题2 点 为直线 上方抛物线上的一个动点，线段 交 于点，线段 轴交 于点，求 的最大值
图示
方法 先求出线段 的长度，再利用相似或三角函数把 用 表示出来：
类型4 面积问题
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一动点，且在直线的上方.
（1） 求这个二次函数的解析式.
（2） 当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标和面积的最大值.
9．[2023无锡模拟]如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点.连接、，已知.
（1） 求直线的函数表达式；
（2） 为抛物线上一点（异于点），若，求点的坐标.
方法解读
一、二次函数中求面积最值的方法
（1）三角形
图示
方法 铅垂高×水平宽
（2）四边形
图示 或
方法
二、同底等高的两个三角形面积相等
已知 ，点 与点 关于 对称
图示
结论
微专题4 与二次函数有关的几何图形存在性问题
类型1 三角形存在性问题
一、等腰三角形
1．如图，一次函数的图像与轴，轴分别交于、两点，二次函数的图像经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线.
（1） 求该二次函数的表达式.
（2） 在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
二、直角三角形
2．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图像与一次函数的图像交于、两点，与轴交于、两点，且点的坐标为.
（1） 求二次函数的解析式.
（2） 在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
方法解读
一、等腰三角形存在性的解题方法
问题 已知点，和直线，在 上找点，使 为等腰三角形
解题方法 （1）含参设点，用参数表示未知点的坐标. （2）表示出线段、、的长度. （3）分三种情况讨论： ； ；
二、直角三角形存在性的解题方法
问题 已知点，和直线，在 上找点，使 是直角三角形
解题方法 （1）含参设点，用参数表示未知点的坐标. （2）表示出线段、、的长度. （3）分三种情况讨论： ，； ，； ，
三、相似三角形
3．如图，二次函数的图像经过点、，点是轴正半轴上一动点，过点作垂直于轴的直线分别交抛物线和直线于点和点.设点的横坐标为.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 点在线段上时（不含、两点），若以、、为顶点的三角形与相似，求的值.
类型2 平行四边形存在性问题
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、，其对称轴交轴于点，交直线于点，交抛物线于点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 点为直线上的动点，求周长的最小值.
（3） 点为直线上一点（点不与点重合），在抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．如图，矩形在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，，抛物线经过，两点且顶点在边上，与直线交于另一点.
（1） 求抛物线的解析式.
（2） 求点的坐标.
（3） 若点在抛物线上，点在轴上，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
三、相似三角形存在性的解题方法
已知条件 题目一般会给出已知三角形与未知三角形的一组角相等
解题方法 （1）先分析已知三角形的边、角的特点，进而得出已知三角形是不是特殊三角形； （2）含参设点，用参数表示未知点的坐标（根据题目需要）； （3）表示出已知三角形两边或三边长度（根据题目需要）、未知三角形两边长度； （4）分类讨论，根据相似三角形的对应边成比例求解
思路提示
平行四边形存在性的解题思路1
已知条件 已知两个定点
解题思路 若能表示出平行四边形的四个顶点的坐标，则可利用对边平行且相等或对边水平宽相等、铅垂高相等列方程求解
平行四边形存在性的解题思路2
已知条件 已知两个定点
解题思路 若平行四边形的四个顶点中某些点的坐标不易表示，则可过平行四边形的顶点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用全等求出第三个点的横坐标或纵坐标，然后代入函数解析式求解
第四章 三角形
第1节 基本平面图形、相交线与平行线
目标领航
真题演练
命题点1 线与角★☆☆
1．互不重合的、、三点在同一条直线上，已知，，，则这三点的位置关系是 （ ）
A．点在、两点之间 B．点在、两点之间
C．点在、两点之间 D．无法确定
2．[2022连云港]已知的补角为 ，则____ .
命题点2 相交线与平行线★☆☆
3．[2022苏州]如图，直线与相交于点， ， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．[2022常州]如图，斑马线的作用是引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直于马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．如图，在同一平面内，经过直线外一点的4条直线中，与直线相交的直线至少有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
6．[2023苏州]如图，在正方形网格内,线段的两个端点都在格点上,网格内另有,,,四个格点，下面四个结论中,正确的是（ ）
A．连接,则 B．连接,则
C．连接,则 D．连接,则
命题点3 平行线的性质与判定★★☆
7．[2023宿迁一模]如图，直线、被直线所截，下列条件不能判定直线与平行的是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2024盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若 ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．[2024苏州]如图，,若 , ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2022盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是 （ ）
A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
11．如图，木棒、与分别在、处用铆钉铆住（可旋转）， ， ，将木棒绕点逆时针旋转到与木棒平行的位置，则至少要旋转__ .
12．如图，， ，那么，，的关系是________________.
命题点4 命题与证明★☆☆
13．下列命题是假命题的是（ ）
A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
14．[2023无锡]下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正边形共有条对称轴.其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．用反证法证明“是无理数”时，最恰当的证法是先假设（ ）
A．是分数 B．是整数
C．是有理数 D．是实数
16．[2022无锡]请写出命题“如果，那么”的逆命题：________________________________.
17．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，则的值可以是________________________.
第2节 三角形与多边形
目标领航
真题演练
命题点1 三角形三边关系★★☆
1．[2023盐城]下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：），其中能搭成一个三角形的是 （ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
2．[2023徐州]若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为________________（写出一个即可）.
3．[2023盐城模拟]已知、、为的三边长，且、满足，为奇数，则的值为____.
4．[2022苏州]定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为______.
5．[2023扬州二模]若等腰三角形的周长为4，则腰长的取值范围是____________.
命题点2 三角形的内角与外角★★☆
6．[2023淮安]将直角三角板和直尺按照图中位置摆放，若 ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．[2023盐城]小华将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．[2024连云港]如图，直线,直线, ,则__ .
9．[2023徐州]如图，在中，若，， ， ，则__ .
10．三角形纸片中， ， ，将纸片折叠，使点落在内（如图），若 ，则的度数为________.
命题点3 三角形中的重要线段★☆☆
11．[2023连云港模拟]如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
12．[2023盐城一模]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则它的顶角为______________________.
13．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，若 ，则________.
14．[2023泰州二模]如图，，的平分线交于点，若 ， ，则的度数为________.
命题点4 三角形的重心★☆☆
15．[2023泰州模拟]如图，已知在中， ，点是的重心，，，那么________.
16．[2023泰州三模]如图，平面直角坐标系中，点，点在轴负半轴上，，点为的重心，若将绕点旋转 ，则旋转后三角形的重心的坐标为____________________________.
命题点5 三角形的中位线★★☆
17．[2023盐城]在中，，分别为边，的中点，，则的长为______.
18．[2024无锡]在中，，，，，，分别是，，的中点，则的周长为______.
19．[2022镇江]如图,在和中, ,、、分别为、、的中点,若,则______.
20．[2023徐州模拟]如图1，在中， ， ，点、分别在边、上，且.连接，点、、分别为、、的中点.连接，，.
图1 图2
（1） 观察猜想：图1中，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2） 探究证明：把绕点按逆时针方向旋转到图2的位置，证明（1）中的结论仍然成立；
（3） 拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，求面积的最大值.
命题点6 多边形的内角与外角★☆☆
21．[2023无锡三模]正八边形的每一个内角的度数都是 （ ）
A． B． C． D．
22．[2024无锡]正十二边形的内角和等于______度.
23．[2023扬州]如果一个多边形每一个外角都是 ,那么这个多边形的边数为______.
第3节 全等三角形
目标领航
真题演练
命题点1 全等三角形的性质与判定★★★
1．[2022扬州]如图，小明家仿古家具中的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A．,, B．,,
C．,, D．,,
2．[2022南通]如图，点，,,在一条直线上，,,要使,只需添加一个条件，则这个条件可以是____________________________.
3．[2023淮安]已知：如图，点为线段上一点，，，.
求证：.
4．[2024盐城]已知：如图，点、、、在同一条直线上，,.
若________，则.
请从；；这3个选项中选择一个作为条件（写序号）,使结论成立，并说明理由.
5．[2024苏州]如图，中，,分别以,为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点,连接,,,与交于点.
（1） 求证：;
（2） 若, ,求的长.
6．[2022常州]在四边形中，是边上的一点．若，则点叫作该四边形的“等形点”．
（1） 正方形________“等形点”.（填“存在”或“不存在”）
（2） 如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长.
（3） 在四边形中，．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．
命题点2 垂直平分线的性质与判定★★☆
7．[2023苏州模拟]如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，.作直线，交于点，交于点，连接.若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
8．[2023宿迁四模]如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点、，若，，，则等于（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
命题点3 角平分线的性质与判定★★☆
9．[2023盐城模拟]如图，，、分别平分、，过点且与垂直.若，，则的面积为（ ）
A．20 B．16 C．40 D．32
10．[2023扬州二模]如图，已知四边形的对角互补，且，，.过顶点作于，则的值为（ ）
A．9 B． C．7.2 D．6
11．[2023常州二模]如图，平分，点是上一点，点是上一点，，若，，则点到的距离是________.
微专题5 全等三角形模型
类型1 “手拉手”型
1．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现：若有两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手”模型.
（1） 如图1，和是两个等腰直角三角形，，， ，连接，，两线交于点，和全等的三角形是__________，和的数量关系是____________.
图1
（2） 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，.
图2
① 求的度数；
② 连接交于点，直接写出的值.
（3） 如图3，已知点为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于，连接交于，连接，线段长度的最大值是__.
图3
模型分析
“手拉手”型
模型特点 由两个等顶角的等腰三角形组成，且顶角顶点为公共点（在 和 中，,，）
模型展示 （1）“等腰三角形”型
（2）“等边三角形”型
（3）“等腰直角三角形”型
结论 ； （2）直线 与 所夹的锐角或直角等于
类型2 “一线三等角”型
2．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的角度为 ，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组边长对应相等时，模型中必定存在全等三角形.
（1） 如图1，在等腰直角中， ，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，求证：；
图1
（2） 如图2，在等腰直角中， ，，且在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是第一、三象限的角平分线上的一个点，求点的坐标.
图2 备用图
模型分析
“一线三等角”型
模型特点 三个相等的角的顶点在一条线上，且有一组相等的边（在 和 中，,）
模型展示 （1）“直角三角形”型
（2）“锐角三角形”型
（3）“钝角三角形”型
结论
类型3 “半角”型
3．半角模型的图形中含有两个共顶点的角，其中，锐角等于较大角的一半，且已知这个较大角的两边（取线段）相等.通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，即可构造出全等三角形.
（1） 如图1，在四边形中，， ， ，、分别是边、上的点，且 .探究图中线段，，之间的数量关系.
图1
（2） 在中， ，，点在线段上，点在射线上， .
① 如图2，当点在线段上时，若，，求的面积；
图2
② 如图3，当点在的延长线上时，若，，求的长.
图3
模型分析
“半角”型
模型特点 角内部有半角，且有一组相等的边
（1）一般型 特点：,， . 方法：截长补短（延长线段 至点，使）. 结论：；
（2）“正方形”型 特点：,. 方法：截长补短（延长线段 至点，使）. 结论：；
（3）“等腰直角三角形”型 特点：，. 方法：旋转（将 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合）. 结论：；
微专题6 与角平分线有关的添加辅助线的方法
方法1 向角的两边作垂线
1．如图，的外角的平分线与的平分线相交于点.求证：点在与相邻的外角的平分线上.
2．已知 ，是的平分线，点是边上一点，直角顶点在射线上移动，使一直角边经过点，另一直角边与边交于点.
（1） 如图①所示，求证：.
①
（2） 若另一直角边与边的反向延长线相交于点（如图②所示），则与还相等吗？若相等，请予以证明；若不相等，请说明理由.
②
方法解读
向角的两边作垂线
特征 已知角平分线 平分
方法 过点 作 于点，于点
图示
结论 ，
方法2 截长补短
3．如图，在中， ，、是的角平分线，且交于点.求证：.
方法解读
截长补短
特征 已知角平分线但无垂直，求（证）线段的数量关系（ 平分，点 是射线 上任意一点）
方法 在 上截取，使，连接
图示
结论
方法3 延长垂线段
4．如图所示，在中，平分交于点，若 ，是的中点，，，则的长为________.
5．如图，已知 ，，平分，交的延长线于点.
（1） 若，求的长；
（2） 求证：.
方法解读
延长垂线段
特征 已知角平分线和垂直于角平分线的线段 平分，
方法 延长 交 于点
图示
结论 ，是等腰三角形
方法4 作平行线
6．如图，在中， ，平分，为上一点，于点，若，则的长为__________.
7．如图，在中，，，，平分，则的长为________.
方法解读
作平行线
条件 点 在 的平分线上
方法 过点 作 交 于点
图示
结论 ，是等腰三角形
第4节 等腰三角形与直角三角形
目标领航
真题演练
命题点1 等腰三角形的性质与判定★★★
1．[2023宿迁]若等腰三角形有一个内角为 ，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
2．[2022淮安]如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
3．[2023南京三模]如图，在中，是上一点，.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2023苏州一模]如图，在中，、的平分线相交于点，过点，且.求证：.
5．[2023南京一模]如图，在中，,的顶点，，分别在，，上运动，且，.
（1） 求证：；
（2） 若，，则的取值范围是________________；
（3） 已知，，直接写出的取值范围（用含，的式子表示）.
命题点2 等边三角形的性质与判定★★★
6．[2023盐城二模]如图，，为等边三角形，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．[2023徐州一模]如图，是等边三角形，延长到点，使，连接.若，则的长为________.
8．已知：如图，点为线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点.
（1） 求证：；
（2） 求证：为等边三角形.
命题点3 勾股定理及其逆定理★★★
9．[2023南京]我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，里，里，里，则的面积是（ ）
A．80平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
10．[2023扬州]我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为、,斜边长为,若,,则每个直角三角形的面积为__.
11．[2023南通]勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则______（用含的式子表示）.
12．[2023扬州模拟]如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处爬到内壁处的最短路程为__（杯壁厚度不计）.
命题点4 直角三角形的性质★★★
13．如图，在中， ，是边上的一点，，、分别是、的中点，，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．4
14．已知中， ， ，，则______.
15．[2023苏州一模]如图，，是的边上的两个点， ，，.若边上有且只有1个点，满足是等腰三角形，则的取值范围是__________.
16．[2024连云港]如图，在中， , ,.点在边上，过点作,垂足为,过点作,垂足为.连接,取的中点.在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为________.
17．[2023泰州一模]如图，在中， ，高、交于点，点、分别为、的中点，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，求的长.
微专题7 与中点有关的添加辅助线的方法
方法1 构造“中线”法——直角中点
1．如图，，，，.
（1） 求证：；
（2） 若点为的中点，连接，试判断与的位置关系，并说明理由.
方法解读
构造“中线”法——直角 中点
已知 中，，为 的中点
方法 连接，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质
图示
结论
方法2 构造“中位线”法——多个中点
2．如图所示，在中， ，、分别在、上，，、的中点分别是、，直线分别交、于点、.求的度数.
方法解读
构造“中位线”法——多个中点
已知 D、分别为、的中点
方法 构造中位线：连接
图示
结论 ，，
方法3 “倍长中线”法——单一中点
3．如图，是的中线，点在的延长线上，，.若，则的长为______.
4．如图，是直角三角形， ，是斜边的中点，、分别是边、上的点，且.求证：.
方法解读
“倍长中线”法——单一中点
已知 中，点 是 的中点
方法 延长 至点，使，连接 或，构造“8”字型全等
图示
结论
方法4 等腰三角形的“三线合一”法 等腰中点
5．如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰的面积为21，求周长的最小值.
方法解读
等腰三角形的“三线合一”法——等腰 中点
已知 ，点 为 的中点
方法 连接，即可运用等腰三角形的“三线合一”性质
图示
结论 ，，
方法5 构造“全等三角形”法——平行线间夹中点
6．如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接.若，，则的长为________.
7．如图，在中，，平分交于点，作，垂足在线段上，
连接.
求证：
（1） 点是的中点；
（2） .
方法解读
构造“全等三角形”法——平行线间夹中点
已知 ，点 是 的中点
方法 延长 交 于点，构造“8”字型全等
图示
结论
方法6 构造“等腰三角形” 法 垂直平分线
8．如图，在中，为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、.
（1） 若，则____ .
（2） 若的平分线和边的垂直平分线相交于点，过点作垂直于的延长线于点.求证：.
方法解读
构造“等腰三角形”法——垂直平分线
已知 中，，且 为 的中点
方法 连接，运用垂直平分线的性质
图示
结论
第5节 相似三角形
目标领航
真题演练
命题点1 黄金分割★☆☆
1．[2023泰州二模]如图，已知点是线段的黄金分割点，且.若表示以为边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则与的大小关系为______________.
2．[2023连云港一模]如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖到底部的距离是468米，第二球体点处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点、、在同一条直线上），且，那么底部到球体之间的距离是__________________米（结果保留根号）.
命题点2 相似三角形的性质与判定★★★
3．[2022连云港]的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
4．[2022徐州]如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
5．[2023徐州]如图，在中， ， ，，为的中点.若点在边上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
6．[2024盐城]两个相似多边形的相似比为,则它们的周长的比为________.
7．[2024无锡]如图,在中,,,直线,是上的动点（端点除外）,射线交于点,在射线上取一点,使得,作,交射线于点,设,,当时,______;在点运动的过程中，关于的函数表达式为____________________.
8．[2024苏州]如图，中， ,,,点,分别在,边上，,连接,将沿翻折，得到，连接,.若的面积是面积的2倍，则________.
9．[2023苏州]如图,是的内接三角形,是的直径,,,点在上，连接并延长,交于点,连接,作,垂足为.
（1） 求证:；
（2） 若,求的长.
命题点3 图形的位似★☆☆
10．[2023无锡四模]《墨子·天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．4
11．[2023泰州二模]如图，与关于点位似，其中，，若，则______.
12．[2023常州模拟]如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求画图.（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1） 在图1中，以为边，画出，使，为格点；
图1
（2） 在图2中，以点为位似中心.画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
图2
（3） 在图3中，在边上找一个点，满足.
图3
命题点4 相似三角形的应用★★☆
13．[2023南京]如图，不等臂跷跷板的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为，则跷跷板的支撑点到地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
14．[2024扬州]跨学科·物理 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像.设,，小孔到的距离为,则小孔到的距离为__.
15．[2023南京]如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源与铅笔所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），.
（1） 在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变.
（2） 桌面上一点恰在点的正下方，且，，，桌面的高度为.在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大.
① 画出此时所在位置的示意图；
② 的长度的最大值为__.
微专题8 相似三角形模型
类型1 “A”字型
1．如图，在中， ，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边向点以的速度移动.若、两点同时开始运动，点运动到点时停止，点也随之停止.运动过程中，若以、、为顶点的三角形与相似，则运动时间为____________.
2．如图，在三角形纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是____________．
3．如图，中，，在边上移动（不与，重合），交于点，连接，设，.
（1） 当为中点时，求的值；
（2） 若，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围.
模型分析
1.“ ”字型
条件
图示
结论
2.反“ ”字型
条件
图示
结论
类型2 “8”字型
4．[2023镇江二模]如图，在矩形中，若，，，则的长为______.
5．如图，在中，弦、交于点,.若，，，则______.
模型分析
1.“8”字型
条件
图示
结论
2.反“8”字型
条件
图示
结论
类型3 “母子”型
6．如图，在中， ，，垂足为，若，，则________.
7．如图，中， ， ，交的延长线于点，若，则______.
8．如图，在中，是边上的一点，以点为圆心，的长为半径作圆，恰好与边相切于点，与边交于点，连接.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的半径.
模型分析
“母子”型
（1）一般“母子”型
条件
图示
结论 ，
（2）垂直“母子”型
条件 ，
图示
结论 ，，，
类型4 “一线三等角”型
9．如图,的顶点与坐标原点重合, ,,当点在反比例函数的图像上移动时,点坐标满足的函数解析式为____________.
10．[2023南京三模]已知，点为矩形的边上的一个动点，连接，过点作的垂线，交于点，连接,，，在点运动的过程中，的最大值为________.
模型分析
“一线三等角”型
条件
图示 （1）“锐角三角形”型
（2）“直角三角形”型
（3）“钝角三角形”型
结论
类型5 “手拉手”型
11．在中，，将绕点逆时针旋转得到，且，的延长线与交于点，若，.
（1） 求证：；
（2） 求的长.
12．如图1，在中， ， ，，点，分别为，的中点.绕点顺时针旋转，设旋转角为，记直线与直线的交点为点.
图1 图2 备用图
（1） 如图1，当 时，与的数量关系为____________，与的位置关系为____________.
（2） 当 时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由.
（3） 绕点顺时针旋转一周，求点运动轨迹的长度和点到直线距离的最大值.
模型分析
“手拉手”型
（1）“任意三角形”型
条件 ，
图示
结论 ， ，
（2）“直角三角形”型
条件 ，
图示
结论 ， ， ，
第6节 锐角三角函数
目标领航
真题演练
命题点1 根据定义求锐角三角函数值★★☆
1．[2024无锡]如图，在菱形中， ,是的中点,则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．[2023宿迁]如图,在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.、、三点都在格点上,则________.
3．[2023常州]如图，在中， ，点在边上，连接.若，，则________.
4．[2023淮安]如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠地拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是________.
5．[2022扬州]在中， ，、、分别为、、的对边，若，则的值为__________.
命题点2 特殊角的三角函数值★★☆
6．的值为（ ）
A． B． C． D．
7．[2023淮安一模]如图，以为圆心，适当长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．[2023扬州模拟]在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．[2023盐城]计算：.
10．计算： .
11．[2023南京二模]规定：，，.据此回答下列问题.
（1） 下列等式成立的是____（填序号）.
①；
②；
③.
（2） 利用上面的规定求：
① 的值；
② 的值.
命题点3 解直角三角形★★☆
12．[2023宿迁模拟]在中， ，，，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
13．[2023徐州一模]如图，是的高.若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
14．[2023苏州]如图,是半圆的直径，点,在半圆上,,连接,，,过点作,交的延长线于点.设的面积为,的面积为,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．[2023盐城一模]已知中，，， ，则__________________.
16．[2023南通一模]如图，在中， ，.延长到，使，连接，则________.
17．[2023盐城二模]已知为钝角三角形，其中 ，有下列条件：
①；②；
③；④.
（1） 你认为从中至少选择______个条件，可以求出边的长；
（2） 你选择的条件是______________（直接填写序号），并写出求长的解答过程.
第7节 解直角三角形的实际应用
真题演练
命题点1 仰角、俯角问题★★★
1．[2024盐城]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面的点处，测得教学楼底端点的俯角为 ,再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点处，测得教学楼顶端点的俯角为 ,则教学楼的高度约为__.（精确到,参考数据：,,）
2．[2023南京]如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点，.无人机悬停在处，此时在处测得的仰角为；无人机垂直上升悬停在处，此时在处测得的仰角为，点，，，在同一平面内，，两点在的同侧.求无人机在处时离地面的高度.（参考数据：，.）
命题点2 坡度、坡角问题★★★
3．[2023连云港]渔湾是国家“”级风景区，图1是景区游览的部分示意图.如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为 的山坡

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