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考点专题训练（二） 一元一次不等式与不等式组
(自测时间：100分钟　分值：100分)
考点过关自测：不等式的定义□　不等式(组)的解集□　用数轴表示不等式(组)的解集□　解一元一次不等式(组)□　不等式(组)的应用□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列各式中，是不等式的是(　D　)
A.x＝3 B．x－1
C．x＋y＝1 D．x＋5＞0
2．若x＝1是某不等式的一个解，则该不等式可以是(　C　)
A．x＞2 B．x＞3
C．x＜3 D．x＜1
3．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是(　D　)
A．2x＜6 B．－2x＞－6
C．－x≤3 D．－2x≥－6
4．如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是(　C　)
5．已知x＋3与y－5的和是负数，以下所列关系式正确的是(　B　)
A．(x＋3)＋(y－5)＞0
B．(x＋3)＋(y－5)＜0
C．(x＋3)－(y－5)＞0
D．(x＋3)＋(y－5)≤0
6．若关于x的不等式ax＋1＞0的解集为x＜，则关于x的不等式(a－1)x＞－1－a的解集是(　D　)
A．x＜－1 B．x＞－1
C．x＞－ D．x＜－
关于x的不等式ax＋1＞0的解集为x＜，所以a＝－3，所以关于x的不等式(a－1)x＞－1－a变为－4x＞2，解得x＜－.
7．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是(　A　)
A．13 B．14
C．15 D．16
设选对x道，则不选或错选的有(20－x)道，根据题意，得10x－5×(20－x)≥90，解得x≥12.因为x为整数，所以至少应选对13道题．
8．某种服装的进价为240元，出售时标价为360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多打(　A　)
A．8折 B．8.5折
C．9折 D．9.5折
设打x折，由题意，得360×0.1x－240≥240×20%，解得x≥8.故至多打8折．
9．已知实数a，b，c，其中c＜0且满足a＋b＋c＞0，4a＋c＝2b，则下列结论不正确的是(　D　)
A．a－b＜0 B．2a－b＞0
C．4ac－b2＜0 D．b－c＜0
因为4a＋c＝2b，所以c＝2b－4a＜0，所以4a－2b＞0，所以2a－b＞0，故B正确；因为a＋b＋c＞0，所以a＋b＋2b－4a＞0，即b－a＞0，所以a－b＜0.故A正确；所以4ac－b2＝4a(2b－4a)－b2＝8ab－16a2－b2＝－(4a－b)2＜0，故C正确；因为a－b＜0，2a－b＞0，所以＜a＜b.因为a＋b＋c＞0，c<0，所以a＞0，b＞0.因为4a＋c＝2b，所以4a－b＝b－c＞b＞0，故D错误．
10．设m＝2a1＋2a2＋…＋2an，其中整数a1，a2，a3，…，an满足0≤a1＜a2＜…＜an(n为正整数)，则下列说法错误的是(　C　)
A．若m＝12，则n＝2
B．若n＝2，0＜m＜100，则满足条件的m有21个
C．若n＝3，0＜m＜100，则m的最大值为98
D．存在正整数m，使得a1，a2，a3，…，an这组数的值不唯一
选项A，若m＝12，则2a1＋2a2＋…＋2an＝12，因为23＝8，24＝16，所以a1，a2，a3，…，an中，最大为3，当a1＝1，a2＝3时，21＋23＝10≠12；当a1＝2，a2＝3时，22＋23＝12；当a1＝0，a2＝3时，20＋23＝9≠12；所以n＝2；该选项正确，不符合题意；选项B，若n＝2，0＜m＜100，因为26＝64，27＝128，所以a1，a2中，最大为6，所以当a1＝0时，a2＝1，2，3，4，5，6；当a1＝1时，a2＝2，3，4，5，6；当a1＝2时，a2＝3，4，5，6；当a1＝3时，a2＝4，5，6；当a1＝4时，a2＝5，6；当a1＝5时，a2＝6；共有21种情况，所以满足条件的m有21个；该选项正确，不符合题意；选项C，若n＝3，0＜m＜100，因为26＝64，27＝128，所以a1，a2，a3中，最大为6，所以最大当a1＝0，a2＝5，a3＝6时，m的最大值为20＋25＋26＝97≠98；该选项错误，符合题意；选项D，存在正整数m，使得a1，a2，a3，…，an这组数的值不唯一；该选项正确，不符合题意．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知100克的糖水中含有10克糖，再添加m克糖，溶解后糖水变甜了(即浓度比例变大).将这一现象表示为不等式：__＞__．
12．小颖沿着某公园的环形跑道(周长大于1 km)按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑1 km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前4 km的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数__＜__(填“＞”“＝”或“＜”)3 km.
13．已知4－x3m＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝____．
14．小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读__8__．(假定小亮每天读书页数是整数)
设以后每天读x页，则2×5＋(10－2)x≥72，所以x≥7，故小明每天至少读8页才能读完.
15．对于下列结论：①x为自然数，则x＞1；②x为负数，则x＜0；③x不大于10，则x＞10；④m为非负数，则m≥0，正确的有__②④__．
①x为自然数，则x＞0，错误，不合题意；②x为负数，则x＜0，正确，符合题意；③x不大于10，则x≤10，错误，不合题意；④m为非负数，则m≥0，正确，符合题意．
16．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程x＝2－2(x－a)的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为__9__．
由得因为不等式组无解，所以≤2，所以a≤4.因为x＝2－2(x－a)，所以x＝.因为x＝2－2(x－a)的解为非负数，所以≥0，所以a≥－1，所以－1≤a≤4，所以满足题意的整数a＝－1，0，1，2，3，4，所以满足条件的所有整数a的和为－1＋0＋1＋2＋3＋4＝9.
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知2a＋3b＋c＝0，a＞b＞c，求2－3的取值范围．
因为2a＋3b＋c＝0，所以3b＝－2a－c.
又因为a＞b＞c，所以3a＞－2a－c＞3c.
由3a＞－2a－c，得5a＞－c，
所以5＞－，所以＞－5，所以－3＜15.
由－2a－c＞3c，得－2a＞4c，
所以－2＞，所以＜－，所以－3＞.
综上所述，＜－3＜15，
所以2＋＜2－3＜15＋2，
所以＜2－3＜17.
18．(本题满分12分)5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3 500元、2 800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
A设备 (单位：台) B设备 (单位：台) 总生产成本 (单位：元)
第一批 10 5 35 000
第二批 15 10 57 500
(1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
(2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
(1)设A，B两种设备平均每台的成本分别为x元，y元，
由题意，得解得
答：A，B两种设备平均每件的成本分别为2 500元，2 000元．
(2)设公司计划正式生产A设备x台，则生产B设备(100－x)台，
由题意，得解得70≤x≤75.
因为x是整数，所以x＝70，71，72，73，74，75，
所以一共有6种生产方案．
由(1)知，A，B两种设备平均每件的利润分别为1 000，800元．
因为A设备平均每件的利润1 000元大于B设备平均每件的利润800元，所以当x＝75，100－x＝100－75＝25，
即生产A设备75台，B设备25台时，能获得最大利润．
19．(本题满分14分)我们知道，|x|表示数轴上数x所对应的点与原点的距离，|x－y|表示数轴上数x对应的点与数y对应的点之间的距离．请据此解决以下问题：
(1)若方程|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝a有解，求a的取值范围；
(2)求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2 024|的最小值；
(3)若不等式|2 023x－2 024|≤k有且只有100个整数解，求k的取值范围．
(1)因为当x在数轴上表示的点位于1表示的点与3表示的点之间的线段上时，所以2≤a＜3.
当x在数轴上表示的点位于1表示的点左边或与1表示的点重合时，则x表示的点到2表示的点的距离不小于1，到3表示的点的距离不小于2，则a≥3.
同理，x在数轴上表示的点位于3表示的点右边或与3表示的点重合时，则a≥3.
综上，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝a有解，a的取值范围为a≥2.
(2)因为|x－1|＋|x－2 024|的最小值为2 023，此时x位于1表示的点与2 024表示的点的线段上，
|x－2|＋|x－2 023|的最小值为2 021，此时x位于2表示的点与2 023表示的点的线段上，
|x－3|＋|x－2 022|的最小值为2 019，此时x位于3表示的点与2 022表示的点的线段上……，
|x－1 012|＋|x－1 013|的最小值为1，此时x位于1 012表示的点与1 013表示的点的线段上，
所以当x在数轴上1 012表示的点与1 013表示的点间的线段上时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2 024|的值最小，最小值为1＋3＋5＋…＋2 021＋2 023.
因为1＋2 023＝2 024，3＋2 021＝2 024，…，1 011＋1 013＝2 024，
而1，3，…，2 023共有个数，故有个2 024，
所以1＋3＋5＋…＋2 023＝2 024×506＝1 024 144，
故最小值为1 024 144.
(3)由|2 023x－2 024|≤k，得－k≤2 023x－2 024≤k，
所以≤x≤.
另一方面，由|2 023x－2 024|≤k，有且只有100个整数解，
所以
由①，得101 149≤k＜103 172，
由②，得99 128≤k＜101 151，
综上所述，101 149≤k＜101 151.
20．(本题满分14分)【阅读理解】
在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.
【解决问题】
(1)若a＞0，则－__＞__(填“＞”“＝”或“＜”)0；
(2)已知A＝，B＝，当x＞－1时，比较A与的大小，并说明理由；
(3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油(油箱未加满)，而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升(x≠y).
①小王两次加油的平均单价为____元/升，小张两次加油的平均单价为____元/升；(用含x，y的代数式表示，化简结果)；
②请通过计算判断小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低．
(1)－＝＝.
因为a＞0，所以a＋1＞1，
所以＞0，即－＞0.
(2)A＜.理由如下：
A－＝－＝－＝－.
因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以－＜0，所以A＜.
(3)①根据题意，小王两次加油的平均单价为＝；设小张的油箱容积为m升，则小张两次加油的平均单价为＝.
②－＝－＝－.
因为x＞0，y＞0，所以－＜0，所以＜，
所以小王和小张的两种加油方式中，小王的加油方式平均单价更低．考点专题训练（二） 一元一次不等式与不等式组
(自测时间：100分钟　分值：100分)
考点过关自测：不等式的定义□　不等式(组)的解集□　用数轴表示不等式(组)的解集□　解一元一次不等式(组)□　不等式(组)的应用□
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．下列各式中，是不等式的是(　　)
A.x＝3 B．x－1
C．x＋y＝1 D．x＋5＞0
2．若x＝1是某不等式的一个解，则该不等式可以是(　　)
A．x＞2 B．x＞3
C．x＜3 D．x＜1
3．如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是(　　)
A．2x＜6 B．－2x＞－6
C．－x≤3 D．－2x≥－6
4．如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是(　　)
5．已知x＋3与y－5的和是负数，以下所列关系式正确的是(　　)
A．(x＋3)＋(y－5)＞0
B．(x＋3)＋(y－5)＜0
C．(x＋3)－(y－5)＞0
D．(x＋3)＋(y－5)≤0
6．若关于x的不等式ax＋1＞0的解集为x＜，则关于x的不等式(a－1)x＞－1－a的解集是(　　)
A．x＜－1 B．x＞－1
C．x＞－ D．x＜－
7．在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
8．某种服装的进价为240元，出售时标价为360元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于20%，那么至多打(　　)
A．8折 B．8.5折
C．9折 D．9.5折
9．已知实数a，b，c，其中c＜0且满足a＋b＋c＞0，4a＋c＝2b，则下列结论不正确的是(　　)
A．a－b＜0 B．2a－b＞0
C．4ac－b2＜0 D．b－c＜0
10．设m＝2a1＋2a2＋…＋2an，其中整数a1，a2，a3，…，an满足0≤a1＜a2＜…＜an(n为正整数)，则下列说法错误的是(　　)
A．若m＝12，则n＝2
B．若n＝2，0＜m＜100，则满足条件的m有21个
C．若n＝3，0＜m＜100，则m的最大值为98
D．存在正整数m，使得a1，a2，a3，…，an这组数的值不唯一
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
11．已知100克的糖水中含有10克糖，再添加m克糖，溶解后糖水变甜了(即浓度比例变大).将这一现象表示为不等式：__ __．
12．小颖沿着某公园的环形跑道(周长大于1 km)按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，她从起点出发，每跑1 km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前4 km的里程数数据如图所示，当小颖跑了2圈时，她的运动里程数__ __(填“＞”“＝”或“＜”)3 km.
13．已知4－x3m＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝__ __．
14．小亮借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始2天每天只读5页，在剩下的时间里，小明每天至少要读__ __．(假定小亮每天读书页数是整数)
15．对于下列结论：①x为自然数，则x＞1；②x为负数，则x＜0；③x不大于10，则x＞10；④m为非负数，则m≥0，正确的有__ __．
16．已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程x＝2－2(x－a)的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为__ __．
三、解答题(本大题共4小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知2a＋3b＋c＝0，a＞b＞c，求2－3的取值范围．
18．(本题满分12分)5G具有高速率、低时延、高可靠性等特点，是新一代信息技术发展方向和数字经济的重要基础设施，5G将开启令人振奋的全新机遇，为世界相互连接、计算和沟通方式带来超越想象的变革，中国的5G规模领先世界．某科技公司试生产了两批A，B两种5G通信设备，经市场调查研究，将A，B两种设备的售价分别定为3 500元、2 800元．两批试生产的设备情况及相应的生产成本统计如下表：
A设备 (单位：台) B设备 (单位：台) 总生产成本 (单位：元)
第一批 10 5 35 000
第二批 15 10 57 500
(1)A，B两种设备平均每台的成本分别为多少元？
(2)因核心科技材料供不应求，该公司计划正式生产A，B两种设备共100台，若A设备数量不超过B设备数量的3倍，并且B设备数量不超过30台，一共有多少种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？
19．(本题满分14分)我们知道，|x|表示数轴上数x所对应的点与原点的距离，|x－y|表示数轴上数x对应的点与数y对应的点之间的距离．请据此解决以下问题：
(1)若方程|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＝a有解，求a的取值范围；
(2)求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2 024|的最小值；
(3)若不等式|2 023x－2 024|≤k有且只有100个整数解，求k的取值范围．
20．(本题满分14分)【阅读理解】
在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.
【解决问题】
(1)若a＞0，则－__ __(填“＞”“＝”或“＜”)0；
(2)已知A＝，B＝，当x＞－1时，比较A与的大小，并说明理由；
(3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油(油箱未加满)，而小张每次都把油箱加满．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升(x≠y).
①小王两次加油的平均单价为__ __元/升，小张两次加油的平均单价为__ __元/升；(用含x，y的代数式表示，化简结果)；
②请通过计算判断小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低．

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