资源简介

2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（一）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
下列元素与集合的关系中，错误的是 （ ）
若，，下列结论正确的是 （ ）
下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是 （ ）
已知，则的值是 （ ）
和3 和
在等比数列中，设，则等于 （ ）
6 9
抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）
4 8
在复数集中，方程的根为 （ ）
计算： （ ）
若圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则圆柱的体积等于 （ ）
将4本不同的书分别给甲、乙两人，每人2本，有_________种不同的分法. （ ）
4 6 8 12
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，集合，则_________.
函数的定义域为_________.
已知等差数列中，，，，则_________.
在中，三个顶点坐标分别为，，，E为AB的中点，F为AC的中点，则_________.
在中，，则_________.
已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程为_________.
若事件为互斥事件，，，则_________.
在二项式的展开式中，二项式系数最大的项为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
要使对数有意义，求x的取值范围.
焦点在x轴上的椭圆的标准方程上有两点和，求椭圆的离心率.
已知向量，，当为何值时，与互相垂直？
证明题（每小题6分，共12分）
已知函数满足，且恒成立，求证：函数为奇函数.
如图，已知在直棱柱中，底面ABCD为正方形，求证：BD平面.
综合题（共10分）
在中，的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，，求a.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（二）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
设集合，集合，则满足条件的集合B的个数为 （ ）
1 2 3 4
在中，“”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
计算： （ ）
0
已知等差数列中，，则 （ ）
32 64 72 90
已知复数与，则 （ ）
经过点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为 （ ）
两名女生和三名男生站成一排照相，其中两名女生恰好站在两端的概率为 （ ）
已知等腰直角三角形直角边长为2，沿一条直角边旋转一周所形成的圆锥的体积为
（ ）
二项式的展开式中包含的项有 （ ）
常数项 含x的项 含的项 含的项
填空题（每小题3分，共24分）
函数的图像一定经过点_________.
已知是定义在区间上的奇函数，则_________.
函数的最小正周期为_________.
已知数列满足，，则_________.
过点与圆相交的直线中，弦长最短时的直线方程为_______.
若，，且，则_________.
已知两条直线，，若，则_________.
式子用排列数表示为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
已知复数，，若，求复数z.
已知函数为偶函数，且当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）计算的值.
已知圆C的圆心在直线上，圆C与x轴相切且圆经过点，求圆C的标准方程.
证明题（每小题6分，共12分）
求证：.
如图，已知中，，SA平面ABC，ADSC，求证：AD平面SBC.
综合题（共10分）
在数列中，，.
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的通项公式.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（三）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
已知集合，，则 （ ）
若，则“”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是
（ ）
对任意实数且，关于x的函数的图像必过定点 （ ）
已知，则 （ ）
若复数z满足，则在复平面内对应的点在 （ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
设等差数列的前n项和为，若，则 （ ）
28 148 168 248
已知向量，，则向量的模是 （ ）
5
在二项式的展开式中，若的系数为160，则 （ ）
1
已知事件A与B互斥，，，那么 （ ）
0.7 0.6 0.4 0.3
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，用列举法可以表示为_________.
已知函数且，则_________.
计算：_________.
已知的顶点，，，则边OA上的中线长为_________.
已知单位向量的夹角为，若，则_________.
若实数x满足不等式，则x的取值范围是_________.
已知是等比数列，为其前n项和，若是的等差中项，，则_________.
表面积为的球的体积为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
若一元二次不等式无解，求实数a的取值范围.
中，分别是角所对的边，已知，，，求的面积.
定义在上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式.
证明题（每小题6分，共12分）
在中，已知，求证：是等腰三角形或直角三角形.
如图，在矩形ABCD中，，，沿对角线BD把折起，使点C移到点，且在平面ABD内的射影O恰好落在AB上. 求证：平面平面.
综合题（共10分）
在平面直角坐标系中，双曲线经过点，其中一条渐近线的方程为，椭圆与双曲线有相同的焦点. 椭圆的左焦点、左顶点和上顶点分别为，且点F到直线AB的距离的距离为. 求：
（1）双曲线的方程；
（2）椭圆的方程.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（四）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
已知集合，，则 （ ）
“”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
函数的定义域是 （ ）
函数的最小正周期和最大值分别是 （ ）
和3 和2 和3 和2
已知两点，，与平行且方向相反的向量可能是 （ ）
若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 （ ）
已知等比数列满足，且，则数列的公比为
（ ）
2
设抛物线的焦点为F，点在C上，，则C的方程为 （ ）
在四面体中，若，则点P在平面ABC内的射影一定是的
（ ）
外心 内心 垂心 重心
一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，小球的编号分别为，若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X取值为3的概率为（ ）
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，则_________.
已知，若是第二象限角，则的值为_________.
设直线l过点，其倾斜角的余弦值为，则直线l的方程为_________.
记等差数列的前n项和为，若，，则_________.
已知函数在上是减函数，且，则满足的实数x的取值范围是_________.
已知复数为纯虚数，则_________.
若，则_________.
把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
求函数的定义域.
已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆上一点P到两焦点的距离之差为2，求椭圆的标准方程.
已知的内角的对边分别为，若，，，求：
（1）的值；
（2）c的值.
证明题（每小题6分，共12分）
已知平面上三个向量的模均为1，它们之间的夹角均为，求证：.
如图，在空间四边形PABC中，平面BAC，，若点A在在上的射影分别是，求证：.
综合题（共10分）
已知等差数列的前n项和为，数列为正项等比数列，满足，，是与的等差中项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，是数列的前n项和，求.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（五）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
已知集合，，，则集合P的真子集的个数为
（ ）
1 2 3 4
若，则下列各选项中正确的是 （ ）
若，则
已知，则a的取值范围是 （ ）
若函数为奇函数，当时，，则的值为 （ ）
1 0 2
设，，则角位于 （ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
已知成等比数列，且是方程的两个根，则 （ ）
3 1
已知向量，，且，则实数m的值是 （ ）
2
抛物线的焦点坐标是 （ ）
复数等于 （ ）
从9名男生和5名女生中各选1人组成班级羽毛球混合双打代表队，共可能组成______种不同的代表队. （ ）
45 63 14 4
填空题（每小题3分，共24分）
已知，则m的值为_________.
已知函数，则_________.
已知函数在区间上为增函数，则m的取值范围是_________.
已知直线与直线平行，则实数m的值为_________.
函数的最大值是_________.
若，，和的夹角是，则_________.
已知圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，则该圆锥的体积为_________.
的展开式中含的项的系数为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
解不等式：.
已知在等比数列中，公比，，求的值.
甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是，且两人投球命中与否互相之间没有影响.
（1）若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率；
（2）若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.
证明题（每小题6分，共12分）
已知在中，角的对边分别为，若，求证：为等腰三角形.
如图，已知在正方体中，分别为棱的中点，求证：EG平面.
综合题（共10分）
已知直线与圆相切. 求：
（1）实数c的值；
（2）经过切点且与直线l垂直的直线方程.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（六）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
设集合，，则 （ ）
下列函数的定义域是的是 （ ）
若函数在区间上是偶函数，且在内是减函数，则下列各式成立的是
（ ）
若函数的图像经过点，则b的值为 （ ）
3 1 0
已知角的终边过点，则的值是 （ ）
已知等差数列的前n项和为，，则 （ ）
20 60 42 66
“向量”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
下列结论中，正确的是 （ ）
①过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
②过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③垂直与同一个平面的两条直线平行；
④垂直与同一个平面的两个平面平行.
①③ ②③ ①④ ①②
双曲线的离心率是 （ ）
若一个袋子装有2个红球和2个白球，先取出1个球，放回子后再取1个球，则取出同色球的概率是 （ ）
填空题（每小题3分，共24分）
不等式的解集是_________.
已知奇函数的定义域为，则a的值为_________.
若函数，且，则_________.
在中，若，则_________.
已知在数列中，，且，则该数列的第5项_________.
某地区随机抽取1000位老人测量血压，结果血压（舒张压）在这一小组的频率为0.4，则该组的人数为_________.
以椭圆的左焦点为圆心，半径为3的圆的标准方程为_________.
二项式的展开式中，各项系数之和为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
已知复数为纯虚数，求m的值.
设，求的值.
已知抛物线与直线l的两个交点的横坐标恰是方程的两个实数解，求直线l的方程.
证明题（每小题6分，共12分）
求证：函数在区间上是增函数.
如图，在四棱锥中，ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，求证：ADPB.
综合题（共10分）
已知向量，，若，求：
（1）函数的解析式；
（2）函数的最小正周期.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（七）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
“”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
函数的定义域为 （ ）
在中，，，，则等于 （ ）
或
设，，，则的大小关系是 （ ）
复数的共轭复数是 （ ）
在四边形ABCD中，，且，那么四边形ABCD为
（ ）
平行四边形 矩形 菱形 正方形
已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为 （ ）
半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）
设等差数列的前n项和为，若，，则 （ ）
10 12 20
的展开式的第4项的二项式系数为 （ ）
15 20
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，则B的子集个数为_________.
已知，则_________.
已知指数函数在区间上的最大值是最小值的2被，则_________.
已知，，且，则_________.
已知向量满足，则的夹角为_________.
设是公比为q的等比数列，且成等差数列，则_________.
已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是_________.
甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则乙不输的概率为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
已知一元二次不等式的解集为，解关于x的不等式.
中，分别是角所对的边，已知，，，求的面积.
在各项都为正数的等差数列中，若，求.
证明题（每小题6分，共12分）
设是上的任意函数，定义，求证：是定义在上的奇函数.
如图，已知，，，垂足分别为，求证：.
综合题（共10分）
已知椭圆C于椭圆的焦点相同，且椭圆C过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在椭圆C上，且，求的面积.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（八）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
已知集合，，则 （ ）
“且”是“”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
设函数是上的减函数，则有 （ ）
已知函数，则的 （ ）
最小正周期为，最大值为 最小正周期为，最大值为2
最小正周期为，最大值为 最小正周期为，最大值为2
直线被圆截得的弦长为 （ ）
复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在 （ ）
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
已知数列为等差数列，为其前n项和，，则 （ ）
2 7 14 28
已知向量，，，若，则 （ ）
2
在展开式中的系数为24，则实数a的值为 （ ）
1 2
分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论不正确的是 （ ）
事件A与事件B互斥 事件A与事件B互相独立
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，，且，则_________.
若函数是上的偶函数，则的值为_________.
若，则_________.
若，是第三象限角，则_________.
已知是等比数列，若1是的等比中项，4是的等比中项，则_________.
表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为_________.
经过圆上一点且与圆相切的直线的一般式方程为_________.
已知抛物线的准线方程为，则实数_________.
解答题（每小题8分，共24分）
设函数是偶函数，是奇函数且，求与的解析式.
在中，是方程的两根，，求a的值.
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的右焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且长轴的右端点与左焦点的距离为，求椭圆的标准方程.
证明题（每小题6分，共12分）
求证：.
已知点，，，求证：.
综合题（共10分）
已知向量，，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的最小值为4，求m的值.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（九）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
已知集合，，则 （ ）
下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
和 和
和 和
下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是 （ ）
已知，，则的值为 （ ）
4 10 40 14
已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为 （ ）
若为等比数列，且，，则 （ ）
4
在空间中，下列说法正确的是 （ ）
若表示直线，其中，则
若表示平面，其中，则
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，，也就是谁先胜三局，比赛就结束，胜三局者算胜出. 若甲胜出，则所有可能的对局结果（不考虑比分）种数为 （ ）
9 10 11 12
若的二项展开式中的第5项为常数项，则 （ ）
5 6 7 8
体育用品商店购进一批篮球，每个100元，售价为130元，每星期可卖出80个. 商家决定降价促销，根据市场调査，每降价5元，每星期可多卖出20个，当商家每星期的销售利润最大时，售价应定为 （ ）
110元 115元 120元 125元
填空题（每小题3分，共24分）
已知不等式的解集为，则b的值为_________.
将写成分数指数幂的形式为_________.
在中，，，，则的面积为_________.
若样本数据的样本均值为4，则样本方差为_________.
已知向量，，则_________.
在平面直角坐标系中，点到直线的距离为_________.
已知圆柱的轴裁面是面积为8的正方形，则圆柱的体积为_________.
若随机事件A的概率为0.4，则其对立事件的概率为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
已知数列是递增的等差数列，是方程的根，求的通项公式.
已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求时，的表达式.
已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程.
证明题（每小题6分，共12分）
已知，求证：.
如图，在正三棱锥中，求证：.
综合题（共10分）
已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最小值及对应的值.2025河南省职教高考—最后冲刺模拟卷（十）
数 学
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
设全集，集合，，则
（ ）
已知函数，则 （ ）
3
已知对数函数在上是减函数，则实数a的取值范围是 （ ）
已知是方程的两个根，则 （ ）
1 2 5 6
已知向量，，且，则实数x的值为 （ ）
9 4
在复数集中，方程的解为 （ ）
某城市要在占地3250亩的荒山上建造森林公园，2016年春季开始植树100亩，以后每年春季都比上一年多植树50亩. 要将荒山全部绿化，需到______年春季. （ ）
2025 2026 2027 2028
双曲线的离心率为 （ ）
2 3 4
在空间中，“两条直线互相垂直”是“两条直线相交”的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
抛掷一颗质地均匀的骰子和一枚质地均匀的硬币各一次，记“骰子向上的点数是5”为事件A，“硬币正面向上”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是 （ ）
填空题（每小题3分，共24分）
不等式的解集为_________.
函数的值域是_________.
已知，则_________.
已知是等差数列，且和是方程的两个根，则与的和是_________.
已知向量，，则_________.
的展开式中含的项的系数是_________.
已知一个球的大圆的面积为，则球的体积为_________.
甲、乙两位同学下象棋，甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则甲、乙两人下成平局的概率为_________.
解答题（每小题8分，共24分）
若一元二次不等式的解集为，求实数a的取值范围.
已知圆心为C的圆经过和，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程.
已知函数.
（1）求的定义域；
（2）当成立时，求x的取值范围.
证明题（每小题6分，共12分）
若等比数列中，，公比，为数列的前n项和，求证：.
如图，若直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点D是侧棱的中点. 求证：平面BCD.
综合题（共10分）
在锐角三角形ABC中，内角的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷1答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. C
7. A
8. B
9. A
10. B
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19. 要使有意义：
对数的底数且，解得且.
真数，因式分解得 ，解得或.
综合可得的取值范围是.
20. 因为焦点在轴上的椭圆标准方程为，点在椭圆上，所以.
点在椭圆上，代入椭圆方程，即 .
移项得，解得 .
由，可得.
根据椭圆离心率公式，则.
21. 设，（题目未给向量坐标，假设已知）.
因为与互相垂直，所以 .
展开得，即 .
把、的坐标代入向量模长公式，以及数量积公式，解关于的方程求出的值.
四、证明题
22. 函数的定义域为，关于原点对称.
计算：因为，所以.
则，分子分母同乘得.
所以函数为奇函数.
23. 在直棱柱中：
因为底面ABCD是正方形，所以 .
直棱柱中底面ABCD，底面ABCD，所以 .
又，平面，平面，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面.
五、综合题
24.（1）已知，根据余弦定理 .
将变形为，代入余弦定理得 .
因为，所以.
（2）已知，，三角形面积公式.
由（1）知，代入面积公式得 .
即，解得 .
再根据余弦定理，把，，代入可得：
，所以.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷2答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. D
2. D
3. A
4. A
5. B
6. B
7. B
8. B
9. D
10. B
二、填空题
11.
12.
13.
14. 14
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19. 已知，。
先计算；
。
则。
20.
（1）设，则。因为是偶函数，所以。当时，，那么，所以时，。
（2）；。
21. 设圆的圆心坐标为，半径为。
因为圆心在直线上，所以 ①；
圆与轴相切，则 ②；
圆经过点，则 ③。
将②代入③得，展开，即 ④。
由①得，代入④得，
展开，即，
因式分解，解得或。
当时，，，圆的标准方程为；
当时，，，圆的标准方程为。
四、证明题
22. 证明：
左边
根据二倍角公式，，
则原式
分子分母同时提取得
再提取公因式得
约分可得右边。
所以得证。
23. 证明：
因为平面ABC，平面ABC，所以。
又因为，即。
，平面SAC，平面SAC，
根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面SAC。
因为平面SAC，所以。
又因为，，平面SBC，平面SBC，
根据直线与平面垂直的判定定理，所以平面SBC。
五、综合题
24.
（1）证明：由题意得：两边同时取倒数得。
所以，又，则。
所以是以为首项，为公差的等差数列。
（2）由（1）知。
则。2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷3答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. A
2. D
3. A
4. C
5. A
6. A
7. C
8. B
9. A
10. A
二、填空题
11.
12. 6
13. 1
14.
15. -1
16.
17. 1
18.
三、解答题
19. 因为一元二次不等式无解.
当时，不等式化为，有解，不符合题意.
当时，要使不等式无解，则二次函数的图象开口向上且与轴最多有一个交点，即.
由得，即 .
对于方程，.
所以的解为或，又，所以 .
综上，实数的取值范围是.
20. 已知，，.
由余弦定理，可得，即 .
又因为，所以，即 .
用减去，可得，则.
所以的面积.
21. 因为是偶函数，是奇函数，且 ①.
所以，又，，则 ②.
① + ②得，所以.
四、证明题
22. 已知，由正弦定理（为外接圆半径），可得，.
则，即，所以 .
即，则或 .
当时，，是等腰三角形；当时，，是直角三角形.
所以是等腰三角形或直角三角形.
23. 因为在平面ABD内的射影恰好落在AB上，所以平面ABD.
因为平面ABD，所以.
在矩形ABCD中，，，则，所以.
又因为沿BD折起，所以.
在中，，所以，即.
因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
五、综合题
24. （1）双曲线经过点，则，双曲线方程为，其左焦点，左顶点，上顶点.
直线AB的方程为，即.
点到直线AB的距离，又，则.
，两边平方可得 .
，令，则 .
，移项可得，两边再平方 .
，即，化简得.
令，，，（舍去）或，即，.
所以双曲线的方程为.
（2）双曲线的焦点坐标为，所以椭圆中.
设椭圆的方程为，其一条渐近线方程为，则，即.
又，将代入可得，，，.
所以椭圆的方程为，即.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷4答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. C
2. A
3. C
4. D
5. D
6. A
7. C
8. A
9. A
10. B
二、填空题
11.
12.
13.
14. 35
15.
16.
17.
18.
三、解答题
19. 要使函数有意义，则.
解不等式，即，解得或.
又，即.
所以函数的定义域为.
20. 设椭圆的标准方程为（焦点在轴）或（焦点在轴）.
已知椭圆上一点到两焦点的距离之差为，即，所以（为长半轴长），则.
设半焦距为，因为椭圆焦点已知（题目未明确给出焦点坐标，假设焦点在轴上，焦点为），根据，由焦点坐标可求出的值，进而求出 .
则椭圆的标准方程为（将的值代入）.
21. （1）已知，，，由正弦定理可得：
.
（2）由余弦定理可得：
，即.
整理得，因式分解得，解得或（边长不能为负舍去），所以.
四、证明题
22. 设这三个向量分别为，，，已知，且它们之间的夹角均为.
则，同理，.
计算
.
所以，即.
23. 因为平面BAC，平面BAC，所以.
又，，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为平面PAC，所以.
又，，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.
因为平面PBC，所以.
因为，，平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.
因为平面AEF，所以.
五、综合题
24. （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
已知，则.
，根据等差数列求和公式可得：
，化简得，即.
联立，两式相加得，解得，则，所以.
因为，，根据等比数列通项公式可得：
，整理得，因式分解得，因为，所以，则.
（2）.
.
根据等差数列求和公式可得.
根据等比数列求和公式可得.
所以.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷4答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. C
2. D
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. C
9. D
10. A
二、填空题
11. -6
12. 2025
13.
14. -3或2
15.
16.
17.
18. 160
三、解答题
19. 由，因为指数函数单调递减，所以，即，因式分解得，解得.
20. 等比数列的前项和公式为.已知，，则，即，，解得.
.
21.
（1）恰有一人命中分两种情况：甲命中乙没命中，概率为；乙命中甲没命中，概率为.所以恰有一人命中的概率为.
（2）两人各投球次都不命中的概率为.所以至少有次命中的概率为.
四、证明题
22. 因为，已知，所以，移项可得，即.因为A,B是三角形内角，所以，那么，即，所以为等腰三角形.
23. 取中点，连接EF，DF.
因为为BC中点，为中点，在正方体中，易知且，又为中点，所以，且，，所以且，则四边形EFDG是平行四边形，所以.
又平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面 .
五、综合题
24.
（1）圆的圆心坐标为，半径.
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径.
根据点到直线的距离公式（此处，，，，），则，即，或，解得或.
（2）直线的斜率为，与其垂直的直线斜率乘积为，所以所求直线斜率为.
当时，联立，将代入圆方程得，展开，，，，解得，，切点为，则所求直线方程为，即.
当时，联立，将代入圆方程得，展开，，，，解得，，切点为，则所求直线方程为，即 .综上，经过切点且与直线垂直的直线方程为.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷6答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. C
2. C
3. A
4. C
5. B
6. B
7. A
8. B
9. B
10. D
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15. 32
16. 400
17.
18.
三、解答题
19. 因为为纯虚数，则实部，且虚部.
由，即，解得或.
当时，；
当时，（舍去）.
所以.
20. 因为，则，；，则，.
所以.
21. 由，因式分解得，解得或.
把代入得；把代入得.
设直线的方程为，将，代入可得，
两式相减得，把代入得.
所以直线的方程为.
四、证明题
22. 设，则
.
因为，所以，，则，即.
所以函数在区间上是增函数.
23. 因为ABCD为矩形，所以.
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
根据面面垂直的性质定理，可得平面PAB.
因为平面PAB，所以.
五、综合题
24.
（1）已知，，.
.
根据二倍角公式，可得；根据二倍角公式，可得.
所以.
（2）根据正弦函数的周期公式（是前面的系数），对于，，所以最小正周期.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷7答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. A
2. D
3. A
4. C
5. D
6. A
7. D
8. A
9. B
10. C
二、填空题
11. 8
12.
13. 或
14.
15.
16. 或1
17. 或
18.
三、解答题
19. 因为一元二次不等式的解集为，所以，且，2是方程的两根.
由韦达定理可得， ，则，.
不等式可化为，两边同时除以（，不等号变向）得，因式分解得，解得或.
20. 已知，，.
由余弦定理可得，即 .
又因为，所以，即 .
用减去，可得，则.
所以的面积.
21. 因为是等差数列，所以
.
由等差数列求和公式，可得.
四、证明题
22. 函数的定义域为，关于原点对称.
对于任意，有.
所以是定义在上的奇函数.
23. 因为，，所以.
因为，，所以.
又，平面PCD，平面PCD，
根据直线与平面垂直的判定定理，可知平面PCD.
因为平面PCD，所以.
五、综合题
24.
（1）椭圆可化为，其焦点坐标为.
设椭圆的标准方程为，因为椭圆过点，所以，又，根据，可得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，由椭圆定义可得.
在中，由余弦定理可得，，则.
把代入可得，解得.
所以的面积.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷8答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. D
2. A
3. D
4. B
5. A
6. D
7. C
8. C
9. D
10. C
二、填空题
11. 0或
12.
13. 5
14.
15. 1或
16.
17.
18.
三、解答题
19. 因为是偶函数，是奇函数，且 ①，所以，又，，则 ②.
① + ②得，所以.
① - ②得，所以.
20. 因为，是方程的两根，由韦达定理得，.
由余弦定理，，，则，所以.
21. 设椭圆方程为，右焦点，短轴端点，.
因为右焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，则.
又长轴的右端点与左焦点的距离为，且，即.
所以，，，.
椭圆的标准方程为.
四、证明题
22. .
因为，所以，则，.
原式.
23. 已知，，，则，.
，所以，即.
五、综合题
24.
（1）已知，，.
.
.
根据正弦函数周期公式（是前面的系数），，所以最小正周期.
（2）因为，的最小值为，的最小值为，则，，解得.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷9答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. C
2. C
3. C
4. C
5. A
6. A
7. C
8. B
9. D
10. B
二、填空题
11. -2
12.
13.
14. 题目信息不全，无法作答
15. 题目信息不全，无法作答
16.
17.
18. 0.6
三、解答题
19. 由，因式分解得，解得或.
因为数列是递增的等差数列，，是方程的根，所以，.
设等差数列的公差为，则，即，.
，所以.
20. 设，则.
因为当时， ，所以.
又因为是奇函数，所以（）.
21. 椭圆可化为，焦点坐标为.
设双曲线方程为（，），则， .
因为双曲线过点（题目中该点坐标缺失），将点坐标代入双曲线方程，再联立，可求出，的值，进而得到双曲线的标准方程.
四、证明题
22. 由诱导公式，，，.
则，分子分母同时除以（，因为，所以 ）得.
把代入得，得证.
23. 取AB中点，连接PD，CD.
因为三棱锥是正三棱锥，所以，.
则，.
又，平面PCD，平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知平面PCD.
因为平面PCD，所以.
五、综合题
24. （1）
已知，，若，根据两向量平行的坐标关系：若，平行，则.
可得，即，
进一步变形为，所以.
因为，所以.
（2）
已知，根据向量数量积的坐标运算公式：若，，则.
可得，将其变形为，根据两角和的余弦公式，
这里，，则.
因为，所以.
根据余弦函数在上的单调性，在上单调递减，在上单调递增.
所以当，即时，取得最小值.
此时取得最小值.
综上，（1）；（2）的最小值为，对应的值为.2025职教高考—数学最后冲刺模拟卷10答案
（本试卷题目已规范，但是答案未校正，可能有错误，仅供参考）
一、选择题
1. A
2. A
3. B
4. A
5. A
6. B
7. B
8. B
9. D
10. C
二、填空题
11.
12.
13.
14. -2
15. 5
16. 40
17.
18. 0.5
三、解答题
19. 对于一元二次不等式的解集为，当时，不等式变为，解集不为；当时，要使解集为，则，解得 .
20. 设圆的圆心坐标为，半径为.因为圆经过和，且圆心在直线上，则，解方程组得，，，所以圆的标准方程为.
21.
（1）要使有意义，则，即，解得，所以的定义域为.
（2）由，即，因为对数函数在上单调递增，所以，，解得.
四、证明题
22. 等比数列的通项公式，
前项和，得证.
23. 在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，点是侧棱的中点.
，，，
所以，则 .
又，直三棱柱中，，所以平面，
平面，所以.
，所以平面BCD.
五、综合题
24.
（1）由余弦定理得，已知，所以，因为是锐角三角形，所以.
（2）由余弦定理，，，，
即，解得.
所以的面积.

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