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作业13　圆周运动的实例分析
　［分值：100分］
1~7题每题7分，共49分
考点一　汽车通过拱形桥问题
1.(多选)(2023·成都市高一期中)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时(　　)
A.汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力
B.汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力
C.汽车的向心加速度方向竖直向下
D.汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大
2.(2023·遂宁市第二中学高一期中)如图，一汽车过拱形桥，汽车质量为2×103 kg，拱形桥的半径为100 m，当汽车行驶到拱形桥的最高点时速度为10 m/s，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.10% B.110% C.100% D.90%
考点二　圆锥摆问题
3.(2023·四川自贡市高一期末)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在悬点A处，另一端与一小球相连。现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动。测得A至小球球心的距离为L，A、O之间的距离为H。已知当地重力加速度为g，则小球的运动周期T为(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
4.(2024·内江市高一期中)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示。当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为(重力加速度为g)(　　)
A.R= B.R=
C.R= D.R=
考点三　交通工具转弯问题
5.(2023·四川绵阳市高一期中)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)
A.仅减小弯道半径
B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内外轨道的高度差
D.仅适当减小内外轨道平面的倾角
6.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为(　　)
A.50 m B.100 m
C.150 m D.200 m
考点四　离心运动
7.(多选)(2023·内江市高一月考)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是(　　)
A.脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B.水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大
C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D.靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好
8~10题每题9分，11题13分，共40分
8.(多选)(2023·江西高一期中)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A.汽车的速率为
B.汽车的速率为
C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
9.(2023·山东青岛市高一期中)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度大于，g为重力加速度，则(　　)
A.这时内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.这时铁轨对火车的支持力等于
C.这时铁轨对火车的支持力小于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
10.(2023·四川成都市高一期末)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A.A的线速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
11.(13分)(2023·成都市高一期中)在用高级沥青铺设的高速公路上，为了行驶安全，汽车的实际速度总是会根据路况来适当调整。已知汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，试分析：
(1)(3分)若某段水平弯道的半径为120 m，且弯道路面是水平的，求汽车过弯不发生侧滑的最大速率；
(2)(5分)为减少事故发生，某水平弯道的路面设计为倾斜，其弯道半径为120 m，弯道路面的倾斜角度为37°，要使汽车通过此水平倾斜弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过该弯道时的规定速度大小；
(3)(5分)现有一段在竖直面内的圆拱形路面，其半径为120 m，要使汽车在通过最高点时不飞离路面，求汽车通过圆拱形路面最高点时的最大速率。
　(11分)
12.(多选)(2023·四川遂宁市高一期中)如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在Q上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向成30°角(图中P位置)。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动。细线与竖直方向成60°角(图中P'位置)。两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断正确的是(　　)
A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变
B.小球运动的角速度变大
C.细线所受的拉力之比为2∶1
D.小球向心力大小之比为3∶1
答案精析
1.AD　［汽车通过凹形桥的最低点时，汽车的向心加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根据牛顿第三定律可知，汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力，汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故选A、D。］
2.D　［在最高点对汽车受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为×100%=90%，故A、B、C错误，D正确。］
3.A　［设轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故选A。］
4.B　［
鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图：
根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：
mgtan θ=m，化简得：R=。故选B。］
5.B　［设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内外轨均不受挤压时，有mgtan θ=m，解得v=，故可知当速度增大时，应增大弯道半径，A错误，B正确；根据前面分析，当速度增大时，应增大θ可避免外轨受损；而当减小内外轨道的高度差时，θ减小，减小内外轨道平面的倾角时，θ也减小，故不能达到避免转弯时外轨受损效果，C、D错误。］
6.A　［汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，解得最小转弯半径为R==50 m，故选A。］
7.AC　［脱水过程中，衣物随洗衣机一起转动，开始时做离心运动随后紧贴筒壁，A正确；水滴依附在衣服上的附着力是一定的，当水滴做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误；由F=mω2R可知，加快脱水筒转动角速度，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，C正确；由F=mω2R可知，靠近中心的衣物与四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圆周运动的半径较小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脱水效果差，D错误。］
8.BC　［由受力分析可知汽车在B点时有mg-mg=，解得汽车的速率v=，A错误，B正确；汽车在A点时，有N-mg=，解得N=，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为，C正确，D错误。］
9.D　［火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好提供需要的向心力时，有mgtan θ=m，解得此时火车的速度正好是v0=，当火车转弯的速度大于，需要的向心力增大，而重力与支持力的合力不变，所以合力小于需要的向心力，外轨就要对火车产生一个向里的力，所以此时外轨对外侧车轮轮缘有挤压，选项A错误；当内外轨没有挤压力时，火车受重力和轨道的支持力，其中N=，当外轨对火车有沿轨道平面向下的作用力时，可以把这个力分解为水平和竖直向下两个分力，相当于重力变大，所以支持力变大，即大于，选项D正确，B、C错误。］
10.D　［因为两座椅A、B均绕着圆盘轴做圆周运动，故角速度ωA=ωB，假设圆盘转动的角速度很大，则A、B均会被甩起来，由于绳长相等，可知A做圆周运动的半径小于B的半径，由v=ωr可知A的线速度比B的小，故A错误；又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B错误；由F向=ma向，可知<，对座椅进行受力分析，如图所示，拉力和重力的合力提供A、B做圆周运动的向心力，则有F向=mgtan θ，可知悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B小，故C错误；由T=，结合牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，故D正确。
］
11.(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s
解析　(1)若过弯道不发生侧滑，则路面对汽车的最大静摩擦力提供向心力，根据题意有mg=m
解得v1=20 m/s
(2)若过弯道不产生侧向摩擦力，则支持力沿水平方向的分力提供向心力
水平方向：Nsin 37°=m
竖直方向：Ncos 37°=mg
联立解得v2=30 m/s
(3)要求汽车在最高点不飞离路面，则速度最大时应是重力恰好提供向心力，即mg=m
解得v3=20 m/s。
12.BD　［设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L，小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有T=，向心力F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则细线拉力T增大，角速度ω增大。对Q，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力，细线拉力T增大，则静摩擦力变大，故A错误，B正确；开始时细线的拉力T1==，增大为60°后的拉力T2==2mg，所以=，故C错误；开始时小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大为60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正确。］4　圆周运动的实例分析
［学习目标］　1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥、旋转秋千的运动及受力，会寻找实际问题中向心力的来源(重难点)。2.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
一、汽车通过拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
桥或路面 对汽车的 支持力 　　　　　=m，N=G-m 　　　　　=m，N=G+m
汽车对桥 或路面的 压力 N'=N=G-mG
处于超重 还是失重 状态 　　　　 　　　　
讨论 v增大，N'　　　　　；当v增大到时，N'=0 v增大， N'　　　　
例1　(2023·四川绵阳市高一期中)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径R1=20 m，最高点为A点；凹弧的半径R2=50 m，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车的特技演员驶过桥面，设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg，行驶过程中可将车和演员视为质点，取g=10 m/s2，忽略空气阻力。试求：
(1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
(2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小。
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二、“旋转秋千”
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型。如图所示，在一根长为l的细线下端系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。
(1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供的？
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(2)“旋转秋千”细线与中心轴的夹角α与什么因素有关(设小球的质量为m，角速度为ω，线长为l)？
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例2　(多选)(2023·四川绵阳市高一期中)长度L=0.5 m的细线，拴一质量m=2 kg的小球(不计大小)，另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α=37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是 (　　)
A.细线的拉力大小为16 N
B.小球运动的角速度为5 rad/s
C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s
D.小球的向心力大小为15 N
例3　(2023·四川自贡市高一期中)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则下列说法正确的是 (　　)
A.A球的角速度大于B球的角速度
B.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
C.A球运动的周期小于B球运动的周期
D.A球的线速度大于B球的线速度
三、火车转弯
火车轨道和车轮轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示，
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
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(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？
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1.铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=　　　　　，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。
2.若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度。
(1)当v=v0时，轮缘　　　　　侧压力。
(2)当v>v0时，轮缘受到　　　　　　　的挤压力，　　　　　易损坏。
(3)当v1.汽车在水平弯道上转弯时，由什么力提供向心力？在保证安全行驶的情况下，最大速度是多少？
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2.高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。
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例4　如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法不正确的是 (　　)
A.该弯道的半径r=
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an=gtan θ
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体沿圆周运动的　　　　　方向飞出或　　　　　圆心而去的运动。
2.物体做离心运动的原因
合外力提供的向心力　　　　　　　或　　　　　　　。
3.离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定(如图所示)。
(1)当F合=0时，物体沿　　　　　方向做　　　　　　　　　；
(2)当0(3)当F合=mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做　　　　　　　；
(4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做　　　　　。
4.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的　　　　　；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过　　　　　。
例5　(2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是 (　　)
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
答案精析
一、
G-N　N-G　失重　超重　减小　增大
例1　(1)750 N　(2)1 800 N
解析　(1)摩托车通过凸弧最高点A时，由牛顿第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N
(2)摩托车通过凹弧最低点B时，由牛顿第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N
由牛顿第三定律可知，车对桥面的压力大小等于桥面对车的支持力大小，为1 800 N。
二、
(1)细线的拉力和重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。
(2)如图所示，设匀速圆周运动的半径为r
F合=mgtan α，r=l·sin α
由牛顿第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α
则cos α=
由此可以看出，细线与中心轴的夹角与“旋转秋千”的角速度和线长有关，而与小球的质量无关。
例2　BD　［细线的拉力大小为F==25 N，A错误；根据牛顿第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正确；小球运动的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s，C错误；向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N，D正确。］
例3　D　［以小球为研究对象，对小球受力分析，由牛顿第二定律有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半径较大，则A的角速度较小，根据周期T=，可知A的周期较大，故A、C错误；小球受到的支持力N=，由于两球的质量m与角度θ相同，可知筒壁对A、B两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对筒壁的压力相等，故B错误；根据牛顿第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半径较大，则A球的线速度大于B球的线速度，故D正确。］
三、
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
(2)如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和设计的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供。
梳理与总结
1.
2.(1)不受　(2)外轨向内　外轨　(3)内轨向外　内轨
讨论交流
1.汽车在水平弯道转弯时，由静摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。
2.路面有一定的倾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，减小车辆与路面间的摩擦力，避免转弯速度较快时发生侧滑。
例4　C　［依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，
有mgtan θ=man=m
解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为
an=gtan θ，r=
即v=
显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。］
四、
1.切线　远离
2.消失　不足
3.(1)切线　匀速直线运动　(2)离心运动
(3)匀速圆周运动　(4)近心运动
4.(1)脱水筒　(2)限定的值
例5　B　［当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会做离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。］(共63张PPT)
DIERZHANG
第二章
4　圆周运动的实例分析
1.会分析火车转弯、汽车过拱形桥、旋转秋千的运动及受力，会寻找实际问题中向心力的来源(重难点)。
2.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害。
学习目标
一、汽车通过拱形桥
二、“旋转秋千”
三、火车转弯
课时对点练
四、离心运动
内容索引
汽车通过拱形桥
一
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
桥或路面对汽车的支持力 =m，N=G-m =m，N=G+m
汽车对桥或路面的压力 N'=N=G-mG
G-N
N-G
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
处于超重 还是失重 状态 ______ ______
讨论 v增大，N' ；当v增大到时，N'=0 v增大，N'_____
失重
超重
减小
增大
　(2023·四川绵阳市高一期中)某旅游景点新建的凹凸形“如意桥”的简化图如图所示，该桥由一个凸弧和一个凹弧连接而成，凸弧的半径R1=20 m，最高点为A点；凹弧的半径R2=50 m，最低点为B点。现有一剧组进行拍摄取景，安排一位驾驶摩托车的特技演员驶过桥面，设特技演员与摩托车总质量为m=150 kg，行驶过程中可将车和演员视为质点，取g=10 m/s2，忽略空气阻力。试求：
例1
(1)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凸弧最高点A时，桥面对车的支持力大小；
答案　750 N
摩托车通过凸弧最高点A时，由牛顿第二定律有mg-N1=m，解得N1=mg-m=150×10 N-150× N=750 N
(2)当摩托车以v=10 m/s的速率到达凹弧最低点B时，车对桥面的压力大小。
答案　1 800 N
摩托车通过凹弧最低点B时，由牛顿第二定律有N2-mg=m，解得N2=mg+m=150×10 N+150× N=1 800 N
由牛顿第三定律可知，车对桥面的压力大小等于桥面对车的支持力大小，为1 800 N。
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“旋转秋千”
二
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型。如图所示，在一根长为l的细线下端系一质量为m的小球，将小球拉离竖直位置，使悬线与竖直方向成α角，给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线旋转形成一个圆锥面，这种装置叫作圆锥摆。
(1)小球做匀速圆周运动的向心力是由什么力提供的？
答案　细线的拉力和重力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。
(2)“旋转秋千”细线与中心轴的夹角α与什么因素有关(设小球的质量为m，角速度为ω，线长为l)？
答案　如图所示，设匀速圆周运动的半径为r
F合=mgtan α，r=l·sin α
由牛顿第二定律得mgtan α=mω2·l·sin α
则cos α=
由此可以看出，细线与中心轴的夹角与“旋转秋千”的角速度和线长有关，而与小球的质量无关。
　(多选)(2023·四川绵阳市高一期中)长度L=0.5 m的细线，拴一质量m=2 kg的小球(不计大小)，另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α=
37°，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是
A.细线的拉力大小为16 N
B.小球运动的角速度为5 rad/s
C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s
D.小球的向心力大小为15 N
例2
√
√
细线的拉力大小为F==25 N，A错误；
根据牛顿第二定律得mgtan 37°=mω2r，又r=Lsin 37°，得ω=5 rad/s，B正确；
小球运动的线速度大小为v=ωr=1.5 m/s，C错误；
向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N，D正确。
　(2023·四川自贡市高一期中)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则下列说法正确的是
A.A球的角速度大于B球的角速度
B.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
C.A球运动的周期小于B球运动的周期
D.A球的线速度大于B球的线速度
例3
√
以小球为研究对象，对小球受力分析，由牛顿第二定律
有mgtan θ=mrω2，解得ω=，因A的半径较大，则A
的角速度较小，根据周期T=，可知A的周期较大，故A、C错误；
小球受到的支持力N=，由于两球的质量m与角度θ相同，可知筒壁对A、B两球的支持力相等，由牛顿第三定律可知，两球对筒壁的压力相等，故B错误；
根据牛顿第二定律可得mgtan θ=m，解得v=，因A的半径较大，则A球的线速度大于B球的线速度，故D正确。
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火车转弯
三
火车轨道和车轮轮缘以及火车转弯的示意图如图甲、乙所示，
(1)如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？
答案　如果铁路弯道的内、外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使轨道和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，如图丙所示。试从向心力的来源角度分析为什么要这样设计？
答案　如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力，从而减轻轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和设计的行驶速度，确定内外轨的高度差，使火车转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力来提供。
1.铁路弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ=m，如图所示，则v0=___________，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)。
梳理与总结
2.若v0为火车不受轨道侧压力的临界速度。
(1)当v=v0时，轮缘 侧压力。
(2)当v>v0时，轮缘受到 的挤压力， 易损坏。
(3)当v不受
外轨向内
外轨
内轨向外
内轨
1.汽车在水平弯道上转弯时，由什么力提供向心力？在保证安全行驶的情况下，最大速度是多少？
讨论交流
答案　汽车在水平弯道转弯时，由静摩擦力提供向心力。由μmg=m得vm=。
2.高速公路转弯处和场地自行车比赛的赛道，路面往往有一定的倾斜度。说说这样设计的原因。
答案　路面有一定的倾斜度，可以由重力和支持的合力提供部分向心力，减小车辆与路面间的摩擦力，避免转弯速度较快时发生侧滑。
　如图所示，在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时火车的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在平面的倾角为θ，则下列说法不正确的是
A.该弯道的半径r=
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D.当火车以规定的行驶速度转弯时，向心加速度大小为an=gtan θ
例4
√
依题意，当内、外轨均不会受到轮缘的挤压时，由重力和支持力的合力提供向心力，有mgtan θ=man=m
解得火车的向心加速度大小及该弯道的半径为
an=gtan θ，r=
即v=
显然规定的行驶速度与火车质量无关，故A、B、D正确；
当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供火车所需向心力，则外轨将受到轮缘的挤压，故C错误。
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离心运动
四
1.定义：做圆周运动的物体沿圆周运动的 方向飞出或 圆心而去的运动。
2.物体做离心运动的原因
合外力提供的向心力 或 。
切线
远离
消失
不足
3.离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定(如图所示)。
(1)当F合=0时，物体沿 方向做 ；
(2)当0(3)当F合=mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做 ；
(4)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做 。
切线
匀速直线运动
离心运动
匀速圆周运动
近心运动
4.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的 ；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机。
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能过高；在公路弯道，车辆不允许超过 。
脱水筒
限定的值
　 (2022·宜宾市高一期末)在水平公路上行驶的汽车，当汽车以一定速度运动时，车轮与路面间的最大静摩擦力恰好等于汽车转弯所需要的向心力，汽车沿如图所示的圆形路径(虚线)运动，当汽车行驶速度突然增大，则汽车的运动路径可能是
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
例5
√
当汽车行驶速度突然增大时，最大静摩擦力不足以提供其需要的向心力，则汽车会做离心运动，即汽车的运动路径可能沿着轨迹Ⅱ，故选B。
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课时对点练
五
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 AD D A B B A AC BC
题号 9 10 12
答案 D D BD
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答案
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12
11.
(1)20 m/s　(2)30 m/s　(3)20 m/s
考点一　汽车通过拱形桥问题
1.(多选)(2023·成都市高一期中)公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时
A.汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力
B.汽车对凹形桥的压力小于汽车的重力
C.汽车的向心加速度方向竖直向下
D.汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大
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基础对点练
√
√
答案
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12
汽车通过凹形桥的最低点时，汽车的向心加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律可得N-mg=m，解得N=mg+m，根据牛顿第三定律可知，汽车对凹形桥的压力大于汽车的重力，汽车的速度越大，对凹形桥面的压力越大，故选A、D。
答案
2.(2023·遂宁市第二中学高一期中)如图，一汽车过拱形桥，汽车质量为2×103 kg，拱形桥的半径为100 m，当汽车行驶到拱形桥的最高点时速度为10 m/s，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为(重力加速度g取10 m/s2)
A.10% B.110% C.100% D.90%
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12
在最高点对汽车受力分析有mg-N=m，解得N=18 000 N，汽车对桥的压力大小占自身重力的百分比为×100%=90%，故A、B、C错误，D正确。
√
答案
考点二　圆锥摆问题
3.(2023·四川自贡市高一期末)如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在悬点A处，另一端与一小球相连。现使小球在水平面内绕O点做匀速圆周运动。测得A至小球球心的距离为L，A、O之间的距离为H。已知当地重力加速度为g，则小球的运动周期T为
A.2π B.2π
C.2π D.2π
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√
答案
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12
设轻绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ=mr，r=Htan θ，解得T=2π，故选A。
答案
4.(2024·内江市高一期中)鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力，如图所示。当翼面与水平面成θ角并以速率v匀速水平盘旋时的半径为(重力加速度为g)
A.R= B.R=
C.R= D.R=
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答案
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12
鹰在高空中盘旋时，对其受力分析，如图：
根据翼面的升力和其重力的合力提供向心力，得：
mgtan θ=m，化简得：R=。故选B。
答案
考点三　交通工具转弯问题
5.(2023·四川绵阳市高一期中)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是
A.仅减小弯道半径
B.仅增大弯道半径
C.仅适当减小内外轨道的高度差
D.仅适当减小内外轨道平面的倾角
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√
答案
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12
设轨道平面与水平面的夹角为θ，当内外轨均不受挤压时，有mgtan θ
=m，解得v=，故可知当速度增大时，应增大弯道半径，A错误，B正确；
根据前面分析，当速度增大时，应增大θ可避免外轨受损；而当减小内外轨道的高度差时，θ减小，减小内外轨道平面的倾角时，θ也减小，故不能达到避免转弯时外轨受损效果，C、D错误。
答案
6.如图所示，一汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h。已知水面能对汽艇提供的径向阻力最大为重力的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，若要使汽艇安全转弯，则最小转弯半径为
A.50 m B.100 m
C.150 m D.200 m
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√
答案
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12
汽艇转弯时仪表盘上显示速度为36 km/h，即10 m/s，径向阻力最大为重力的0.2倍，则f=0.2mg，根据圆周运动公式，径向阻力提供向心力，即f=，解得最小转弯半径为R==50 m，故选A。
答案
考点四　离心运动
7.(多选)(2023·内江市高一月考)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是
A.脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B.水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大
C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D.靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好
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12
√
√
答案
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11
12
脱水过程中，衣物随洗衣机一起转动，开始时做离心运
动随后紧贴筒壁，A正确；
水滴依附在衣服上的附着力是一定的，当水滴做圆周运
动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，B错误；
由F=mω2R可知，加快脱水筒转动角速度，水滴做圆周运动所需的向心力将增大，会使更多水滴被甩出去，脱水效果会更好，C正确；
由F=mω2R可知，靠近中心的衣物与四周的衣物的角速度相同，靠近中心的衣物做圆周运动的半径较小，所需的向心力更小，水滴更不容易被甩掉，脱水效果差，D错误。
答案
8.(多选)(2023·江西高一期中)周日，一同学和父母一起自驾外出游玩，途中某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，该同学乘坐的汽车(视为质点)以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的。已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是
A.汽车的速率为
B.汽车的速率为
C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为
1
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能力综合练
√
√
答案
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11
12
由受力分析可知汽车在B点时有mg-mg=，
解得汽车的速率v=，A错误，B正确；
汽车在A点时，有N-mg=，解得N=，由牛顿第三定律可知，汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为，C正确，D错误。
答案
9.(2023·山东青岛市高一期中)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度大于，g为重力加速度，则
A.这时内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.这时铁轨对火车的支持力等于
C.这时铁轨对火车的支持力小于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
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√
答案
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12
火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好提
供需要的向心力时，有mgtan θ=m，解得此时
火车的速度正好是v0=，当火车转弯的速度大于，需要的向心力增大，而重力与支持力的合力不变，所以合力小于需要的向心力，外轨就要对火车产生一个向里的力，所以此时外轨对外侧车轮轮缘有挤压，选项A错误；
答案
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12
当内外轨没有挤压力时，火车受重力和轨道的支
持力，其中N=，当外轨对火车有沿轨道平面
向下的作用力时，可以把这个力分解为水平和竖直向下两个分力，相当于重力变大，所以支持力变大，即大于，选项D正确，B、C错误。
答案
10.(2023·四川成都市高一期末)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是
1
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12
A.A的线速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
√
答案
1
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12
因为两座椅A、B均绕着圆盘轴做圆周运动，故角速度ωA=ωB，
假设圆盘转动的角速度很大，则A、B均会被甩起来，由于绳
长相等，可知A做圆周运动的半径小于B的半径，由v=ωr可知
A的线速度比B的小，故A错误；
又由a=ωr2知，A的向心加速度一定小于B的向心加速度，故B错误；
由F向=ma向，可知<，对座椅进行受力分析，如图所示，拉力和重力的合力提供A、B做圆周运动的向心力，则有F向=mgtan θ，可知悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B小，故C错误；
答案
1
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12
由T=，结合牛顿第三定律可知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，故D正确。
答案
11.(2023·成都市高一期中)在用高级沥青铺设的高速公路上，为了行驶安全，汽车的实际速度总是会根据路况来适当调整。已知汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，试分析：
(1)若某段水平弯道的半径为120 m，且弯道路面是水平的，求汽车过弯不发生侧滑的最大速率；
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12
答案　20 m/s
答案
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11
12
若过弯道不发生侧滑，则路面对汽车的最大静摩擦力提供向心力，根据题意有mg=m
解得v1=20 m/s
答案
(2)为减少事故发生，某水平弯道的路面设计为倾斜，其弯道半径为120 m，弯道路面的倾斜角度为37°，要使汽车通过此水平倾斜弯道时不产生侧向摩擦力，求汽车通过该弯道时的规定速度大小；
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12
答案　30 m/s
答案
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11
12
若过弯道不产生侧向摩擦力，则支持力沿水平方向的分力提供向心力
水平方向：Nsin 37°=m
竖直方向：Ncos 37°=mg
联立解得v2=30 m/s
答案
(3)现有一段在竖直面内的圆拱形路面，其半径为120 m，要使汽车在通过最高点时不飞离路面，求汽车通过圆拱形路面最高点时的最大速率。
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12
答案　20 m/s
要求汽车在最高点不飞离路面，则速度最大时应是重力恰好提供向心力，即mg=m
解得v3=20 m/s。
答案
12.(多选)(2023·四川遂宁市高一期中)如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端固定在Q上，下端拴一个小球。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向成30°角(图中P位置)。现使小球在更高的水平面上做匀速圆周运动。细线与竖直方向成60°角(图中P'位置)。两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列判断正确的是
A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变
B.小球运动的角速度变大
C.细线所受的拉力之比为2∶1
D.小球向心力大小之比为3∶1
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11
12
尖子生选练
√
√
答案
1
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，
细线的长度为L，小球做匀速圆周运动时，由重力和
细线的拉力的合力提供向心力，则有T=，向心力
F=mgtan θ=mω2Lsin θ，得角速度ω=，使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则细线拉力T增大，角速度ω增大。对Q，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力，细线拉力T增大，则静摩擦力变大，故A错误，B正确；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
开始时细线的拉力T1==，增大为60°
后的拉力T2==2mg，所以=，故C错误；
开始时小球的向心力F1=mgtan 30°=mg，θ增大为60°后的向心力F2=mgtan 60°=mg，所以=，故D正确。
返回
答案

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