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河南省2024-2025学年中等职业学校三年级3月联考
数 学
（本试卷满分100分）
考生注意：
所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效.
选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内）
设是两个非空集合，且，则“”是“”的（ ）
充分条件 必要条件 充要条件 不充分也不必要条件
若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
已知函数，该函数是（ ）
奇函数，且在上是减函数 奇函数，且在上是减函数
偶函数，且在上是增函数 偶函数，且在上是增函数
已知点在奇函数的图像上，则下列也在该函数图像上的点是（ ）
已知，则的集合可表示为（ ）
已知平行四边形ABCD的三个顶点，，，则（ ）
过点，且被圆截得的弦长最大的直线l的方程是（ ）
在等差数列中，前3项和为12，前6项和为30，则该数列前9项和为（ ）
54 48 60 72
已知，则（ ）
4 9 13
二项式展开式中，各项系数的和为（ ）
1 2025
填空题（每小题3分，共24分）
已知集合，，且，则m的值为_________.
已知函数，且，则a的取值范围是_________.
已知函数在上是偶函数，则m的值为_________.
求值：_________.
设复数z在复平面内对应的点为Z，若，则点Z的轨迹方程为_________.
已知等轴双曲线的焦距为4，则该双曲线的标准方程为_________.
计算：_________.
在2025年哈尔滨亚洲冬季运动会的某项比赛中有两支代表队参赛，中国队获胜的概率为，两队平局的概率为，则中国队不输的概率是_________.
解答题（每小题8分，共24分）
2024年12月4日，联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会通过评审，决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录. 春节期间我们有放烟花的习俗，有一种礼花的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼花在地面点火升空，并在最高点处引爆求从点火升空到引爆所需要的时间.
已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求：
（1）直线l在x轴上的截距；
（2）计算弦长的值.
在中，角的对边分别为，，.
（1）判断的形状；
（2）求的面积.
证明题（每小题6分，共12分）
已知，，. 求证：.
已知向量，，求证：的最大值为3.
综合题（共10分）
在正四棱锥中，.
（1）求PB与平面ABCD所成的角；
（2）求正四棱锥的体积.河南省 2024-2025 学年中等职业学校三年级 3 月联考
数学参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.A 7.C 8.A 9.D 10.B
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11. 1 12.(2,4) 13.5 14. 6 15. 2 + 2 = 4
2
2
16.
2
= 1
2

2
= 1 17.2024 7或 18.
2 2 2 2 2025 10
三、计算题（每小题 8 分，共 24 分）
19.解法一：
∵ 在二次函数 = 5 2 + 20 中， = 5 , = 20……3分
2 2
∴ 当 = = 20 = 4 5时，
2 2× 5
= × 16 + 80 = 40 m ……7分
2
2
即 从点火升空到引爆所需要的时间为 4s ……8分
解法二：
5
由二次函数 = 2 + 20 得
2
5 5 5
= ( 2 8 ) = ( 2 8 + 16 16) = 4 22 2 2 + 40
∴ 当 = 4时， = 40
即 从点火升空到引爆所需要的时间为 4s
20.解：
(1).由抛物线 2 = 4 得，2 = 4
∴ = 1
2
即 抛物线的焦距 ( 1,0) ……1分
∵ 直线 : y = 2 + 过点 ( 1,0)
∴ 2 × 1 + = 0
解得 = 2
∴ 直线 的方程为：y = 2 + 2 ……2分
令 y = 0，得 = 1 ……3分
∴ 直线 在 轴上的截距为 1 ……4分
(2).设 A 1, 1 , ( 2, 2)
y = 2 + 2 ①
解
2 = 4 ②
把①代入②得 2 + 3 + 1 = 0 ……5分
∴ 1 + 2 = 3， 1 2 = 1 ……6分
∴ AB = 1 + 22 3 2 4 = 5
即 弦长|AB|的值为 5. ……8分
y = 2 + 2 = 3+ 5 = 3 5①
方法二：解 得 1 2 或 2 2
2 = 4 ② 1 = 1+ 5 2 = 1 5
A( 3+ 5 , 1 + 5) B( 3 5即 ， , 1 5)
2 2
∴ AB = ( 3 5 3+ 5 )2 + [ 1 5 1+ 5 ]2 = 5
2 2
21.解：
(1).在 中，∵ > > ∴ > > ……1分
∵ = 3, = 2, = 19
2 2 2
∴ 由余弦定理得 cos = + = 9+4 19 = 6 = 1 ……2分
2 2×3×2 12 2
∵ 为三角形的内角
∴ = 2 ……3分
3
即 为钝角三角形 ……4分
(2). (1) = 2 由 得 ，所以 sin = sin 2 = 3 ……5分
3 3 2
∵ = 3, = 2
∴ 1 1 = = × 3 × 2 ×
3 = 3 3 ……7分
2 2 2 2
即 3 3的面积为 ……8分
2
四、证明题（每小题 6 分，共 12 分）
22.证明：
∵ = log2024 2025 =
1 log 2025 > 1 log 2024 = 1 ……1分
2 2024 2 2024 2
= log 2024 = 1 12025 log2025 2024 < log
1
2025 2025 = ……2分2 2 2
= 2025
1
2024 = 20242025 > 20240 = 1 ……3分
> 1 1即 ， < ， > 1
2 2
又∵ = log2024 2025 < log2024 2024 = 1
∴ 1 < < 1 ……5分
2
∴ > > ……6分
23.证明：
∵ = , , = ( 2, 2)
∴ = ， = ， = + = ( ) ……2分

∵ = = +
= +

= ( ) ……4分

∴ 当 = 时， 有最大值 5 4 × ( 1) = 3 ……5分

即 | |的最大值为 3. ……6分
五、综合题（10 分）
24.解：
(1)连接 , 交于 ，连接
在正四棱锥 中，PO ⊥平面
∴ 为 在平面 上的射影
∴ ∠ 为 与平面 所成的角 ……1分
∵ 在正方形 中， = 2
∴ = 2 2，即 = 2 ……2分
在 Rt 中， = 2， = 2，∠ = 90°
∴ cos∠ = 2 ……3分
2
∵ 0° < ∠ < 90°
∴ ∠ = 45° ……4分
即 与平面 所成的角为45° ……5分
(2) 在 Rt 中， = 2， = 2，∠ = 45°
∴ = 2 ……6分
在正方形 中， = 2
∴ = 4 ……7分
∴ =
1 =
1 × 4 × 2 = 4 2 ……9分
3 3 3
4 2
即 四棱锥 的体积为 . ……10分
3

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