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绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟试题
注意事项
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，
1.已知集合A={x|-2A.{x|-1B.{x|-2C.{x|-2D.{x|-12.已知x(1+i)=i,则|x|=
A
R号
e号
D.1
3.已知向量m=(a,2,1),n=(2,一1,1)，若(m一n)⊥n,则a=
经
B.4
c
D.5
4已知0a<管，0Kp<受，且cos(e+)-
，sina-B)=-8,则tan2a=
5
A碧
B器
c碧
n器
5已知函数f(x)=h2二z十ax在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为
A.(-∞，-2)
B.(-0∞，-2]
C.(-2,十∞)
D.[-2,+∞)
6.已知正四棱柱ABCD-A1B1C,D,中，AA1=2AB=4,则AC与平面B1CD1所成角的正弦
值为
A号
B号
c号
|数学·调研卷I第1页（共4页）
7.已知函数f(x)=3sin.2x一cosx,则函数f(x)在区间[一π，2]上的零点个数为
A.3
B.4
C.5
D.6
8.已知任意正实数x,y满足f(x)一f(y)>f(x一y),∫(1)=2，则下列结论中一定正确的是
A.f(10)>30
B.f(20)>40
C.f(10)<100
D.f(20)<1000
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知某学校的数学考试成绩X服从正态分布N(90,52),则下列说法正确的是
参考数据：若X~N(u,o2),则P(u-o≤X≤u+o)=0.6827,P(μ-2a≤X≤u十26)=
0.9545,P(u-3o≤X≤+3o)=0.9973.
A.若P(X≥2+1)=P(X≤m-1),则m=60
B.P(X≥95)>0.2
C.P(X<100)>0.95
D.P(8510.已知函数f(x)=e2r一2ax一1，则下列说法正确的是
A.若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=2x,则a=1
B.若a=1,则函数f(x)在(0，十∞)上单调递增
C.若a>e2,则函数f(x)在[1，十∞)上的最小值为a一alna一1
D.若f(x)≥0，则a=1
11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊
的有价值的艺术美.在Oxy平面上，把与定点F1(一a,0),F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)
的动点的轨迹称为双纽线，则下列说法正确的是
A.双纽线的图象关于原点对称
B.双纽线的方程为(x2十y2)2=a2(x2-y2)
C.双纽线上任意一点到坐标原点O的距离都不超过√2α
D.若直线y=kx与双纽线只有一个公共点，则实数k的取值范围为（一∞，一1]U[1,十∞）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知函数fc)为奇函数，函数g女)=fxa十十2)为偶函数，则实数a的值为
3.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的上、下顶点分别为A,B,第一象限点P在E上，
△ABP是等腰三角形，且其外接圆面积为16πa2,则直线PB的斜率为
14.已知实数a,b,c∈{1,2,3,4,5,6}，则a≤b≤c的概率为
|数学·调研卷I第2页（共4页）数学参考答案及评分细则
命卷意图
本套试卷是为了测试学生对高中阶段数学学科所学知识的掌握程度和解决问题的能力
而设计的。试卷内容涵盖了高中学习阶段数学学科的主干知识，旨在全面评估学生的学和思维能力，适合高三复习使用。
1.立足数学核心素养
本套试卷涵盖了数学的六大核心素养一一数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数
学运算和数据分析，确保全方位考查学生的数学能力。例如，第6题通过对直线与平面所成
角的考查，体现了对数学核心素养中直观想象和数学运算的考查；第14题通过对一组数据概
率的考查，体现了对数学核心素养中数据分析和数学运算的考查。
2.考查基本方法和基本知识点
本套试卷以全面考查学生的双基为出发点，涵盖了高中数学的重要知识点，且都是对基
本知识的考查，例如，第9题，考查了正态分布的应用；第13题，考查了圆锥曲线的基本性质，
第17题，考查了立体几何中的外接球问题和二面角等，都是高中阶段的基本知识和方法。
3.命制试题亮点
本套试卷中的第8,11题是整套试题的亮点题目，其中第8题考查在函数不等式的基础
上，研究特例函数（数列）的问题，以递推数列为基础，考查学生对新颖问题的探索与认知能
力，考查学生在新背景、新问题、新知识下的辨别能力；第11题考查新定义下的曲线问题，让
学生在给出定义的基础上，依靠自己的学习能力和分析能力得到该曲线的相关性质，旨在考
查学生的应变能力和学习能力。
题号
3
4
5
6
7
6
9
10
11
答案
C
A
0
D
0
C
9
ACD
BCD
ACD
1.C解析：根据题意，AUB={x一22.B解析：根据题意，之(1+i)=,所以之=1十=
(1+i)(1-i)
√(》+(-放选B
3.A解析：根据题意，m一n=(a-2,3,0),由(m-n)⊥n,得(m一n)·n=0,即(a一2,3,0)·
(2,-1,1)=0,即2a-2)+3×(-1)=0,解得a=子，故选A
4D解析：根据题意a+8c0,a一BE(-5,）os(a+8)=号，所以sna十B)-言m(a一)=
数学·调研卷I答案第1页（共8页）
所以cosa-g)-0则cos2a=ms[a+e)+a-g]=osa+p)csa-8》-sna+Bg)·
5
sma-)=号×号专x×(-)-所以tam2a-需放选D
5.D解折：根据题意，函数f(x)的定义域为x0nx-h2-x+a则fx)-士+2品ta≥0又2+2-2(+2)x+2-0
+1+2+2)≥2，当且仅当=2号2即x=1时等号成立，所以2+a≥0，解得a≥
一2，故选D.
6.D解析：根据题意，可得AC=2√2，分析可知点A到平面B,CD1的距离为点C,到平面B,CD1的
距离的2倍，设点C到平面B,CD,的距离为h,利用等体积法，V:4m=Ve5 ，即号×h×号×
32×2反-号×4X2×2×2,解得h-专，所以点A到平面B,CD,的距离为号，所以AC与平面
8
B,CD,所成角的正弦值
22=3,故选D
322
7.C解析：根据题意，函数f(x)=3sin2x一cosx在区间[一π，2]上的零点等价于函数M(x)=
sin2x与N(x)=
30sx的交点个数，画出两个函数图象如图所示，可得零点个数为5，故选C,
M(x)=sin 2x
N(x)cosx
2π
2元
4π
5π
2众
3
3
3
8.B解析：根据题意，f(x)-f(y)>f(x一y),即f(x)>f(x一y)+f(y),又f(1)=2,所以f(2)>
f(1)+f(1)=4,f(3)>f(2)+f(1)>6,…,f(n)>f(n-1)+f(1)>2m,所以有f(10)>20,
f(20)>40,故选项A不一定正确，选项B正确；此公式没有明确函数关系的上界，所以选项C,D
错误.
9.ACD解析：对于A,根据正态分布的对称性可知，2m十1十m一1=2×90，解得m=60,故选项A正
确；对于B,P(X≥95)=1-0,6827=0.15865，故选项B错误：对于C,P(X<10)=1-1-0,9545-
2
2
0.9725,故选项C正确；对于D,P(852
2
选ACD.
10.BCD解析：f(x)=e2-2a.x-1,则f'(x)=2e2-2a,对于A,因为曲线y=f(x)在点(0，
f(0))处的切线方程为y=2x,所以有f'(0)=2,即2一2a=2,解得a=0,故选项A错误；对于B,若
a=1,则f(x)=2e-2=2(e2-1),由f'(x)>0可得x>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
故选项B正确；对于C,f'(x)=2e一2a,当a>e2时，函数f(x)在(1，ln√a)上单调递减，在
(ln√a,十o∞)上单调递增，故f(x)mm=f(ln√a)=a-2aln√a一1=a-alna一l,故选项C正确；
|数学·调研卷I答案第2页（共8页）

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