资源简介

专题十七 解直角三角形（综合测试）——中考数学一轮复习备考
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图,在中,,,,则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图楼梯示意图,,,米.则楼梯高度的长为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则的值为( )
A. B. C. D.
4.在中,,均为锐角,且有,则是( )
A.直角(不等腰)三角形 B.等边三角形
C.等腰(不等边)三角形 D.等腰直角三角形
5.如图,A、B分别为反比例函数,图象上的点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图,某数学兴趣小组测量一棵树的高度,在点A处测得树顶C的仰角为,在点B处测得树顶C的仰角为,且A,B,D三点在同一条直线上.若树高米,则点A,B之间的距离为( )
A.米 B.米 C.米 D.16米
7.直线与y轴相交,所成的锐角的正切值为,则k的值为( )
A. B. C. D.无法确定
8.如图,一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为,水平飞行m千米后到达点B处,又测得标志物P的俯角为,那么此时飞机离地面的高度为( )
A.千米 B.千米
C.千米 D.千米
9.在锐角中,于点D,若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，在菱形中，，E是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
11.如图所示,二次函数的图象与x轴负半轴相交于A、B两点,是二次函数图象上一点,且为等边三角形,则a的值为( )
A. B. C. D.
12.如图(1),在矩形中,,点N是对角线上一定点,点M沿边从点A运动到点D,连接,,设,.图(2)是y关于x的函数图象,则图(2)中的函数图象最低点的纵坐标m的值是( )
A. B. C.6 D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在中,,,,那么______.
14.如图,正方形的两边、分别在x轴、y轴上,点在边上,则的余弦值是________.
15.如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形.如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么.的正切值是________.
16.在中，，，的面积为，则的度数为____________.
17.数学兴趣小组进行探究性学习时,把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中,幻方的四个顶点E,F,G,H分别落在矩形的边,,,上,顶点M落在矩形内,通过测量发现顶点M到的距离为,并测得,通过探究求出了这个幻方(阴影部分)的面积为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷,便于社区居民休憩.如图,在侧面示意图中,遮阳篷长为5米,与水平面的夹角为,且靠墙端离地高为米,当太阳光线与地面的夹角为时,求阴影的长.(结果精确到米；参考数据：,,)
19.（8分）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长.
20.（8分）2024年,中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线,即火爆全球,反映了中国文化的对全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔,也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔.某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动,并写出如下报告：
课题 测量四门塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
测量过程 如图②,测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后,飞行至点B处,在点B处测得塔顶D的俯角为,然后沿水平方向向左飞行至点C处,在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为
说明 点A,B,C,D,E均在同一竖直平面内,且点A,E在同一水平线上,.结果精确到1m.(参考数据：,,)
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；
(2)求四门塔的高度.
21.（10分）如图,坡的坡度为,坡面长26米,,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米,参考数据：).
(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为,则此时平台的长为多少米？
(2)坡前有一建筑物,小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°,在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°,点B、C、A、G、H在同一平面内,点C、A、G在同一条水平直线上,问建筑物高为多少米？
22.（12分）【问题提出】在等腰中,,,点D为中点,以点D为顶点作,使,角的两边分别交,于点E,F,连接,探究点D到所在直线的距离.
【问题探究】
(1)当点E和点A重合时,如图2,请你直接写出点D到所在直线的距离：______(用含的式子表示)；
(2)当点E、点F都不和点A重合时,如图1,经探究发现和相似,请你证明：；
(3)在(2)的条件下,你能猜想此时点D到所在直线的距离(用含的式子表示)吗？请写出你的猜想并写出证明过程.
23.（13分）如图1,在中,,,为锐角,且.动点P从点A出发,沿边向点C运动,连接,将绕点P逆时针旋转得到线段.
(1)点B到的距离为；
(2)当时,求的长；
(3)如图2,当时,求的值；
(4)若点P的运动速度为每秒1个单位长,直接写出点Q在区域(含边界)内的时长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：∵在中,,,,
∴.
故选：B.
2.答案：A
解析：∵,
∴,
在中,,米,
∴米,
故选：A.
3.答案：A
解析：连接,
,,,
,
∴,即为直角三角形,
,
故选：A.
4.答案：B
解析：,
,得,则；
,得,则,
∴
∴
是等边三角形。
故选B.
5.答案：C
解析：过点A作轴于点N,过点B作轴于点M,如图所示：
∵A、B分别为反比例函数,图象上的点,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
又∵,
,
∴,
∴设,则,故,
故.
故选：C.
6.答案：B
解析：由题意得：,,
在中,,
,
在中,,
,
,
米,
故选：B.
7.答案：C
解析：∵直线与y轴相交所成的锐角的正切值为,
即,
又∵直线与y轴相交于点A,
∴
∴
∴,即或
将或分别代入中,解得：
.
故答案为C.
8.答案：A
解析：作交于点C,
,,
,即：,
故选：A.
9.答案：B
解析：如图所示,
,,
则令,
,.
在中,
,
同理可得,.
过点C作的垂线,垂足为E,
则,
.
在中,
,
.
故选：B.
10.答案：C
解析：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，
四边形是菱形，
，，
，
设，
E是的中点，
，
，
，，
，
，
故选：C.
11.答案：B
解析：过点Q作,垂足为D,
∵为等边三角形,
∴,,,
∴Q为二次函数的顶点,
∵,
∴,
∴,
,
,
将Q,A,B代入解析式得
解得：
故选：B.
12.答案：A
解析：由图2,当时,M与D重合,
∴
∴
此时
∴,
∴
如图,作B点关于的对称点E,连接,交于点P,作,垂足为H,
∴,
,
当点M与点P重合时,此时最小,
在矩形中,,
∴,
∴,
,
∴
∴
故选：A
13.答案：8
解析：在中,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案为：8.
14.答案：
解析：四边形是正方形,
,,
点在边上,
,,
,
的余弦值是,
故答案为：.
15.答案：/
解析：设，，则，
，，
，
即
整理得：，
变形得：，
令，则，
原始，
解得，，
，
（舍去），
.
16.答案：或
解析：分两种情况讨论：①当是锐角时，如图①，过点B作于点H.，，，，.②当是钝角时，如图②，过点B作，交CA的延长线于点H.同理，，，.综上所述，的度数为或.
17.答案：40
解析：∵,
∴设,,
∴,
根据题意得：,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
延长交的延长线于点K,过点M作,如图所示：
同理得：,
∴,,
∴,
∴阴影部分小正方形的边长为：,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴
根据题意得：四边形为矩形,
∴,
∴,
∴,
解得：,
∴阴影部分小正方形的边长为：,
面积为：,
故答案为：40.
18.答案：米
解析：过A作于T,于K,如图：
在中,
(米),(米),
,
四边形是矩形,
米,(米),
在中,
,
米,
(米),
阴影的长约为米.
19.答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：E是的中点，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2），
，
在中，，，
，
E是的中点，，
，
四边形为平行四边形，
，
在中，由勾股定理得.
20.答案：(1)34米
(2)15米
解析：(1)由题意可知：,
在中,,,
则,
答：无人机从点B到点C处的飞行距离为；
(2)如图②,延长交的延长线于点F,
则四边形为矩形,
∴,
设,则,
在中,,
则,
∴,
在中,,
∵,
∴,即,
解得：,
答：四门塔的高度约为.
21.答案：(1)7米
(2)建筑物高约为米
解析：(1)∵坡的坡度为,坡面长26米,D为的中点,
∴,,
∴,
∴,,
∵,
∴,而,
∴,,
∴(米)；
则平台的长为7米；
(2)过点D作,垂足为P.
在中,,
同理可得：,
在矩形中,,,
在中,,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴(米),
答：建筑物高约为米.
22.答案：(1)
(2)见解析
(3),见解析
解析：(1),,D为中点,
,,,
,
,
,
点D到线段的距离即为的长,
,
；
故点D到所在直线的距离为：；
故答案为：.
(2)证明：,
,
,
；
(3)点D到所在直线的距离为；
证明：作于点M,于点N,
,
,
,
又,
,
,
,
,
,即点D到所在直线的距离为.
23.答案：(1)8
(2)或10
(3)2
(4)
解析：(1)过点B作,
在,,,
∴,
∴B到的距离为8；
(2)∵,
∴,
在中,,
在中,
当P在D点下方时：,
当P在D点上方时：；
综上：或10；
(3)过点P作,延长交的延长线于点F,
∵,
∴,
∴,
∵旋转,
∴,,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴设,,则：,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴；
(4)当点Q在上时,则：,
由(1)知：,
∴,
∴秒；
当点Q在上时,过点B作,过点Q作,则：,
由(1)知：,则：,
∴,
同法(3)可得：,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴秒,
∴点Q在区域(含边界)内的时长为秒.专题十七 解直角三角形（基础训练）——中考数学一轮复习备考合集
1.如图是一把圆规的平面示意图.使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆(弧).已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是( )
A. B. C. D.
2.“儿童放学归来早,忙趁东风放纸鸢”,小明周末在龙潭公园草坪上放风筝,已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为(如图所示,假设拉线是直的,小明身高忽略不计),则风筝离地面的高度可以表示为( )
A. B. C. D.
3.如图,为方便行人过天桥,市政府在10米高的天桥两端修建斜道,设计斜坡的坡度,则斜坡的长度是( )米
A.30 B. C.40 D.
4.如图,在的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若，则( )
A. B. C. D.
6.如图,菱形ABCD的周长为,,垂足为E,,则下列结论正确的有( )
①；
②；
③菱形面积为；
④.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.如图,在中,,,是的平分线,交于点D,若,则的长是( )
A.2 B. C. D.4
8.如图,是半圆O的直径,点C,D在半圆上,,连接,,,过点B作,交的延长线于点E.设的面积为,的面积为,若,则的值为( )
A. B. C. D.
9.平放在地面上的三角形铁板的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得为,为,边的长为,边上露出部分的长为,铁板边被掩埋部分的长是_______.
10.计算：_____.
11.在中,对角线AC,BD相交于点O.若,,,则的面积是______.
12.如图,矩形的边上有一点P,且,,以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段,线段于点E,F,连接,则______.
13.2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序.中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律.如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上.
(1)求的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？
14.如图，在中，，点D在延长线上，且，过点D作射线.
(1)求作：，使得点E落在射线上，且(保留作图痕迹，不写作法，不必证明)；
(2)连接，求.
答案以及解析
1.答案：A
解析：过点O作，垂足为C，
，，
，，
在中，，
，
圆规能画出的圆的半径长度为，
故选：A.
2.答案：A
解析：如图,过点A作于C,
在中,,
则(米),
故选：A.
3.答案：B
解析：在中,,米,坡度,
∴,即,
∴(米),
故选：B.
4.答案：C
解析：过点A作的垂线,垂足为M,
因为每个小正方形的边长均为1,
则由勾股定理得,
,
.
在中,
.
故选：C.
5.答案：C
解析：12个相似的直角三角形，
，
，
，
，
，
，…
，
故选C.
6.答案：C
解析：∵菱形ABCD的周长为,
∴.
∵,垂足为E,
,
∴,,.
∴菱形的面积为：.
连接BD,
∵在三角形BED中,,,
∴
∴①②③正确,④错误；
∴结论正确的有三个.
故选C.
7.答案：B
解析：在中,
,,
,
是的平分线,
,
,
在中,
,
在中,,
,
故选：B.
8.答案：A
解析：如图,过C作于H,
∵,
∴,
∵,即,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
设,则,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴；
故选A.
9.答案：
解析：由题意可知：三角形是直角三角形,则在直角三角形中,,
,
.
故答案为：.
10.答案：
解析：.
故答案为.
11.答案：24
解析：作于E,如图所示∶
∵四边形ABCD是平行四边形,,,
∴,,,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴点E与点C重合,
∴,,
∴,
∴平行四边形ABCD的面积；
故答案为24.
12.答案：
解析：如图,过点E作于点M,
,,
,
又,
,
,
,
故答案为：.
13.答案：(1)的度数为；
(2)海监船继续向正东方向航行是安全的.
解析：（1）如图，过点P作于点D，
由题意得，，，
，
故的度数为；
（2）由（1）可知，
（海里）
在中，（海里），
，
海监船继续向正东方向航行是安全的.
14.答案：(1)见解析；
(2)
解析：(1)作可得，
所以，就是所求作的三角形.
(2)由(1)知，，，
.
，，
.
.
.
在中，，
.专题十七 解直角三角形（拔高训练）——中考数学一轮复习备考
1.在中,,都是锐角,且,,则的形状是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
2.如图,某停车场入口的栏杆从水平位置绕点O旋转到的位置.已知米,若栏杆的旋转角,则栏杆端点A上升的垂直距离为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.如图,在中,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交于点F,交于点E,分别以点E,F为圆心,大于长为半径作弧,两弧在的内部交于点G,作射线交于点D.若,,则的长为( )
A. B.1 C. D.2
4.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个正方形的顶点叫做格点,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,与相交于点P,则的值为( )
A.2 B. C.3 D.
5.如图,在中,,,,延长到点D,使,连接.利用此图,可算出的值是( )
A. B.2 C. D.
6.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树.小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约( )m.（结果精确到1m）（参考数据：，，）
A.22 B.21 C.20 D.19
7.如图所示，在矩形中，，点M，N分别在边，上.连接，将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处.则的值是( )
A.2 B. C. D.
8.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形(如图所示),连结并延长交于点I,若,则的值为( )
A. B. C. D.
9.在中，，，，则的长为___________.
10.在平面直角坐标系中,点A,B均在抛物线上,,且轴,已知,则______.
11.三角形中,,,,则值为____________.
12.如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值为________.
13.小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片,,将沿着折叠,使得点A落在边上的点F,和交于点G.
(1)如图1,若点F恰好是的中点,他发现,则__________.
(2)如图2,当时,求证：,并求出k的值.
(3)当时,,则__________.
14.2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办,活动方开辟出了两条经典路线.如图是两条跑步路线的平面示意图,已知终点C在起点A的东北方向.路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B,再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D,再沿正北方向的步道跑1800米即可到达终点C.(参考数据：,,)
(1)求的长度；(结果精确到1米)
(2)某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动,小轩选择路线①,他的平均速度为80米/分钟,小鹏选择了路线②,他的平均速度为90米/分钟,若两人同时出发,请通过计算说明谁会先到达终点？(结果精确到0.1)
答案以及解析
1.答案：C
解析：∵,,
∴,,
∴,
∴的形状是锐角三角形.
故选：C.
2.答案：A
解析：如图,过点A′作于H,
由题意得米,
在中,,,
∴栏杆端点A上升的垂直距离米,
故选：A.
3.答案：C
解析：如图所示,过点D作于点H,
在中,,,
∴,
根据作图可得是的角平分线,
∴
设,
∵
∴
解得：
故选：C.
4.答案：A
解析：如图,连接交于点F,
∵四边形是正方形,
,,,,
,
根据题意,,
,,
,
,
,
,
,
在中,,
,
,
故选：A.
5.答案：A
解析：在中,,
,
,
,
,
,
在中,,
故选：A.
6.答案：C
解析：过点C作，垂足为D，过点C作，垂足为E，
由题意得：，，米，
斜坡的坡度，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，，
解得：，
米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
（米），
这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C.
7.答案：A
解析：连接交于点F，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线对称，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
8.答案：B
解析：如图：作于M,
由题意可得：,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
设,,则,,
∵四个直角三角形全等,
∴,
∵中间为正方形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得：或(不符合题意,舍去),
∴,
故选：B.
9.答案：5
解析：设，
，
，即：，解得：，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，
，
故答案为：5.
10.答案：或
解析：设与y轴的交点为D,
点A,B均在抛物线上,,且轴,
,
,,
,,
,
,
,
,
故答案为：或.
11.答案：105°或15°
解析：本题分两种情况：
①如图①时,AD为BC边上的高.
由,,得,
,
∵,
∴,
∴；
②如图②时,AD为BC边上的高.
由,,得,
,
∴,
∵,
∴,,
∴.
故答案为105°或15°.
12.答案：
解析：如图，过点D作于H，过点C作于M.
，
，
，
设，，
，
，
或（舍弃），
，
，，，
（等腰三角形两腰上的高相等），
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：.
13.答案：(1)1
(2)证明见解析,
(3)
解析：(1)∵点F是的中点,
∴,
∴,
故答案为：1；
(2)如图,过点F作于点H,
设,
∵折叠,
∴垂直平分,
∴,,
在中,,
∴,,
∴,
在中,,
∴,,
∵为等腰直角三角形,
∴,,
∴为等腰直角三角形,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
(3)由(2)可知：,
∴,
即：,
故答案为：.
14.答案：(1)的长度约为3477米
(2)小鹏会先到达终点
解析：(1)如图,过点D作于点E,
由题意,得,,米
在中,(米).
在中,(米)
(米).
答：的长度约为3477米；
(2)如图,过点A作交的延长线于点F,
由题意,知,
由(1)知米,
在中,米
在中,米,
米
(米)
在中,(米),
小轩走路线①需要的时间为：(分钟).
小鹏走路线②需要的时间为：(分钟).
,小鹏会先到达终点.

展开更多......

收起↑