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第2课时 平行四边形对角线的性质
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A知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图18-1-14, ABCD 的对角线AC，BD交于点 O，下列结论一定成立的是( )
A. OA=OB B. OA⊥OB
C. OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2. 如图18-1-15,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点 O.若 AD=5,AC=10,BD=6,则△BOC的周长为 ( )
A.13 B.16 C.18 D.21
3. 在 ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是 ( )
A.2C.14. 如图18-1-16, ABCD的周长为16,对角线AC,BD 交于 点 O, 且 △ABO 的周长 比△BCO的周长多2,则AB的长为 ( )
A.3 B.5 C.7 D.9
5. 如图18-1-17,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,且 AC+BD=14,CD=4,则△OCD的周长为 .
6. [一题多解] 如图18-1-18,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点 O,E,F分别为OD,OB 上的点,且DE=BF,连接CE,AF.
求证：CE=AF.(用两种方法解答)
知识点 2 平行四边形的面积
7. 如图18-1-19,O为 ABCD对角线的交点,△AOB 的面积为 3,则 ABCD 的面积为
8. 如图18-1-20,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,AD=12,AC=26,则 ABCD的面积为 .
B规律方法综合练 训练思维
9. 如 图 18-1-21,□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD,过 点 O 作OM⊥AC,交 AD 于点 M.如果△CDM 的周长为8，那么□ABCD的周长是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.20
10. 如 图 18-1-22, 在 △ABC中,AB=BC=10,AC=12,D 是BC 边上任意一点，连接AD,以 AD,CD 为邻边作 ADCE,连接DE,则 DE长的最小值为
11.如图 18-1-23,已知∠AOB,OA=OB,点 E 在 OB 上,且四边形 AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由.
12.如图18-1-24,在 ABCD 中,点M,N分别在边 BC,AD上,且AM∥CN,对角线 BD 分别交 AM,CN 于点 E,F.
求证:BE=DF.
C拓广探究创新练 提升素养
13. [创新意识] 探究:如图18-1-25①,在□AB-CD中,AC,BD 交于点O,过点O 的直线交AD于点 E,交 BC 于点 F.
(1)求证:四边形 AEFB 与四边形DEFC 的周长相等；
(2)直线 EF 是否平分□ABCD 的面积 试说明理由；
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园ABCD，园中有一口水井 P，如图②，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井(即点 P在两块地的分界线上)，请你帮助张大爷把菜园分开.
1. C 2. A 3. B 4. B 5. 11
6. 证明：方法一：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OD=OB,OC=OA.
∵DE=BF,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF.
在△COE 和△AOF中
∴△COE≌△AOF(SAS),∴CE=AF.
方法二：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠CDE=∠ABF.
在△CDE和△ABF中 ∴△CDE≌△ABF(SAS),∴CE=AF.
7. 12 8. 120 9. C 10. 9.6
11. 解:如图,OP 是∠AOB 的平分线.
理由:∵四边形AEBF是平行四边形,∴AP=BP.
又∵OA=OB,∴OP是∠AOB的平分线.
12. 证明:连接AC交BD 于点O,如图.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵AM∥CN,∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,
∴BO-OE=DO-OF,即BE=DF.
13. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF.
在△OAE和△OCF中
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF,
∴AB+AE+EF+BF=CD+CF+EF+DE,即四边形 AEFB与四边形DEFC 的周长相等.
(2)直线 EF平分□ABCD的面积.理由如下:
∵四边形 ABCD是平行四边形，
由(1)可知△OAE≌△OCF,
,即直线 EF 平分□ABCD的面积.
(3)连接AC，BD交于点O，作直线OP，则直线OP 两侧的四边形面积相等，如图所示.

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