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10.1 幂的运算
第10章 整式的乘法与除法
知识点
同底数幂的乘法
知1－讲
1
1. 同底数幂乘法的运算性质的推导
一般地，设m，n 都是正整数，
am·an= (a·a·…·a)·(a·a·…·a)
=a·a·…·a
=am+n。
m个a
n个a
(m＋n) 个a
知1－讲
2. 同底数幂乘法的运算性质
(1)文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
(2)符号语言：
am·an=am+n(m，n 为正整数)。
指数相加
底数不变
知1－讲
3. 运算性质的运用
(1)同底数幂乘法的运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用；
(2)同底数幂乘法的运算性质既可正用也可逆用，逆用时am+n=am·an(m，n 都是正整数)。
知1－讲
特别提醒
1. 同底数幂乘法的运算性质只有在底数相同时才能使用，计算时底数不变，指数相加。
2. 不同底数要先化成相同底数。
知1－练
例 1
计算：
(1)108×102； (2)x7·x；
(3)an+2·an-1； (4)-x2·(-x)8；
(5)(x-y)3·(y-x)4； (6)an+1·an-2·a2n+1。
单个字母的指数为1
~~
解题秘方：运用同底数幂乘法的运算性质进行计算。
知1－练
解：(1)108×102=108+2=1010。
(2)x7·x=x7+1=x8。
(3)an+2·an-1=an+2 +n-1=a2n+1。
(4)-x2·(-x)8= -x2·x8= -x10。
(5)(x-y)3·(y-x)4=(x-y)3·(x-y)4=(x-y)7。
(6)an+1·an- 2·a2n+1=an+1+n- 2 +2n+1=a4n。
知1－练
延伸拓展
在幂的运算中常用到的两种变形：
①(-a)n=
②(a-b)n=
知1－练
光的传播速度大约是3. 0×105 km/s。如果一束光线从地球向火星发射，大约需要20 min 才能到达火星，求此时火星距离地球大约多少千米。
例 2
解题秘方：根据“路程= 速度× 时间”可以求出此时火星与地球的大约距离。
知1－练
解：3. 0×105×60×20=3. 0×105×(1. 2×103)=3. 6×108 (km)。
答：此时火星距离地球大约3. 6×108 km。
技巧点拨
用科学记数法表示的两个数相乘时，常把10n看作底数相同的幂参与运算，而把其他部分看作常数参与运算，然后将两者相乘或直接表示为科学记数法的形式。
知1－练
知2－讲
知识点
积的乘方
2
1. 积的乘方的运算性质的推导： 一般地，设m 是正整数，
(ab)m=(ab)·(ab)·…·(ab)
=(a·a·…·a)·(b·b·…·b)
=ambm。
m 个ab
m 个a
m 个b
知2－讲
2. 积的乘方的运算性质
(1)符号语言：(ab)m=ambm(m 为正整数)。
(2)文字语言：积的乘方等于各因数乘方的积。
3. 运算性质的运用
(1)积的乘方的运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时ambm=(ab)m(m 为正整数)；
(2)积的乘方的运算性质的推广: (abc)m=ambmcm(m为正整数)。
知2－讲
特别提醒
1. 在进行积的乘方时，要把底数中的每个因数分别乘方,不要漏掉任何一个因数。
2. 底数为积的形式，和的形式不能用，即(a+b)m≠am+bm (m为正整数)。
知2－练
计算：
(1)(2x)3； (2)(-2ab)5； (3)(-3xy)4。
解题秘方：运用积的乘方的运算性质进行计算。
例 3
知2－练
解：(1)(2x)3= 2 3·x3=8x3。
(2)(- 2ab)5=(- 2)5·a5·b5= - 32a5b5。
(3)(- 3xy)4=(- 3)4·x4·y4=81x4y4。
警示误区
运用积的乘方的运算性质计算时，对每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数应连同它的符号一起乘方，系数是-1时不可忽略。
知2－练
知2－练
用简便方法计算：
例 4
知2－练
解题秘方：(1)观察该式的特点可知本题需利用乘法的结合律并逆用积的乘方的运算性质求解；(2)82026=82025×8 ，故该式逆用同底数幂的乘法的运算性质和积的乘方的运算性质求解。
知2－练
知2－练
解：(2)原式= -0. 125 2025×8 2025×8
= -(0. 1 2 5×8)2025×8
= -12025×8
= -8。
方法点拨
底数互为倒数的两个幂相乘的方法：
指数相同时，直接逆用积的乘方的运算性质进行计算；指数不同时，先通过逆用同底数幂的乘法的运算性质将其化为指数相同的幂，然后通过逆用积的乘方的运算性质将其转化为先将底数相乘、再乘方的形式，从而简化运算。
知2－练
知3－讲
知识点
幂的乘方
3
1. 幂的乘方的运算性质的推导 一般地，设m，n 都是正整数，
(am)n=am·am·…·am
=am+m+…+m
=amn。
n 个m
n 个am
知3－讲
2. 幂的乘方的运算性质
(1)符号语言：(am)n=amn(m，n 为正整数)。
(2)文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3. 运算性质的运用
(1)幂的乘方的运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时a mn=(a m)n =(a n)m(m，n 都为正整数)；
(2)幂的乘方的运算性质的推广：［(am)n］p=amnp(m，n，p都为正整数)。
知3－讲
特别解读
幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：
1. 幂的乘方是几个相同的幂相乘的积，其结果是底数不变，指数相乘；
2. 同底数幂的乘法的结果是底数不变，指数相加。
知3－练
计算：(1)［(-x)3］4； (2)［(x-2y)3］4；
(3)(-a2)3； (4)x2·x4+(x2)3。
例 5
解题秘方：利用幂的乘方的运算性质进行计算。
知3－练
解：(1)［(-x)3］4=(-x)3×4=(-x)12=x12。
(2)［(x- 2y)3］4=(x- 2y)3×4=(x- 2y)12。
(3)(-a2)3=(- 1)3·(a2)3= -a6。
(4)x2·x4+(x2)3=x6+x6= 2x6。
方法点拨
在幂的运算中，如果遇到混合运算，则应按先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序计算。
知3－练
知4－讲
知识点
同底数幂的除法
4
1. 同底数幂除法的运算性质的推导
方法1：一般地，设a ≠ 0，m，n 为正整数，并且m>n。
am÷an== a·a·…·a=am-n。
方法2：因为除法是乘法的逆运算，由am-n·an=am，可以得到同底数幂除法的运算性质：am÷an=am-n (a ≠ 0，m，n 为正整数，且m>n)。
m 个a
n 个a
(m-n)个a
知4－讲
2. 同底数幂除法的运算性质
(1)文字语言：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
(2)符号语言：
am÷an=am-n(a ≠ 0，m，n 为正整数，m>n)。
指数相减
底数不变
知4－讲
3. 运算性质的运用
(1)运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即am÷an÷ap=am-n-p(a ≠ 0，m，n，p 为正整数，并且m>n+p)；
(2)同底数幂的除法的运算性质既可以正用，也可以逆用，逆用时am-n=am÷an(a ≠ 0，m，n 为正整数，并且m>n)。
知4－讲
特别提醒
1. 运用同底数幂的运算性质的关键是看底数是否相同，若相同，则可以直接利用公式运算。
2. 底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0。
3. 同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除。
知4－练
计算：
(1)(-x)8÷(-x)4； (2)(x-y)7÷(y-x)5；
(3)(-x)7÷x2÷(-x)3； (4)(m-n)8÷(n-m)3÷(n-m)2。
例 6
解题秘方：同底数幂相除，底数不变，指数相减。底数不相同要先化为同底数幂再计算。
解：(1)原式=(-x)8- 4=(-x)4=x4。
(2)原式=(x-y)7÷［-(x-y)5］= -(x-y)7- 5= -(x-y)2。
(3)原式= -x7÷x2÷(-x3)=x7÷x2÷x3=x7- 2 - 3=x2。
(4)原式=(n-m)8÷(n-m)3÷(n-m)2=(n-m)8-3-2=(n-m)3。
知4－练
知4－练
方法点拨
1. 底数互为相反数的偶次幂相等，奇次幂仍然互为相反数，即：(a-b)2n=(b-a)2n，(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1。
2. 计算同底数幂的除法直接运用运算性质；底数互为相反数的幂相除，先化为同底数幂，然后再按照运算性质计算。
知4－练
某种液体中每升含有1012 个有害细菌，某种杀虫剂1 滴可杀死109 个此种有害细菌。现要将这种2 L 液体中的有害细菌杀死，要用多少滴这种杀虫剂？
例 7
解题秘方：解题的关键是找到所求量与已知量之间的关系。
解：因为液体中每升含有1012 个有害细菌，
所以2 L 液体中的有害细菌有2×1012 个。
又因为杀虫剂1 滴可杀死10 9 个此种有害细菌，
所以要用2×1012÷109= 2×103= 2000(滴)这种杀虫剂。
知4－练
知4－练
方法点拨
两个用科学记数法表示的数据a1×10n1与a2×10n2相除，先将a1与a2 相除，再将10n1与10n2运用同底数幂的除法的运算性质相除，最后将它们的结果相乘。
知5－讲
知识点
零指数幂和负整数指数幂
5
1. 零指数幂
一般地，规定：a0= 1(其中a ≠ 0)。
即任何不等于零的数的0 次幂都等于1。
注意：
(1)底数a 不等于零，若a=0，则零的零次幂没有意义。
(2)底数a 可以是任何不等于0 的数或式子。如50=1 ，(a+b)0=1(a+b ≠ 0)等。
知5－讲
特别提醒
零指数幂在同底数幂除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况。
知5－讲
2. 负整数指数幂
一般地，规定：a-p= (a ≠ 0，p 是正整数)。
即不等于零的数的-p(p 是正整数)次幂等于这个数的p
次幂的倒数。
知5－讲
特别解读
1. a-p与ap互为倒数，即a-p·ap=1。
2. a-p= 可变形为a-p·ap=1 或 =ap。
知5－练
计算：
(1)(-7. 23)0； (2)(3. 14-π)0； (3)-2 0250； (4)10-2；　
(5)(-2)-3； (6)0. 5-2；　 (7)3a-2。
例 8
解题秘方：对于零指数幂，利用a0= 1(其中a ≠ 0)计算即可；对于负整数指数幂，先将其化为正整数指数幂的倒数，再利用正整数指数幂的运算性质进行计算。
知5－练
知5－练
易错点拨
1. 应用零指数幂运算时，首先要确定其底数不等于0，否则不能使用公式a0=1(a ≠ 0)计算。
2. 只要底数不为0而指数为0，不论底数有多么复杂，其结果总是1。
3. 在进行有关负整数指数幂的计算时，一定要弄清楚底数，避免出现类似3a- 2= 这样的错误。
知6－讲
知识点
整数指数幂
6
引入零指数和负整数指数后，原有的幂的运算性质中指数
的范围可以推广到整数，即
am·an=am+n (m，n 为整数)； am÷an=am-n (m，n 为整数)；
(am)n=amn(m，n 为整数)； (ab)m=ambm(m 为整数)。
知6－练
计算：
(1)2-2×23÷2-1； (2)(5×103)-2；
(3)6x-2·(2x-2y-1)-3； (4)(-2a-2)3b2÷2a-8b-3；
例 9
解题秘方：利用整数指数幂的运算性质计算即可。
知6－练
知6－练
方法点拨
整数指数幂的计算方法：
可以直接运用整数指数幂的运算性质计算，也可以先利用负整数指数幂的定义，把负整数指数幂都转化为正整数指数幂再进行计算。
知7－讲
知识点
绝对值小于1 的非零数的科学记数法
7
绝对值小于1 的非零数可以记作a×10-n 的形式，其中
1 ≤｜a｜＜ 10 ，n 是正整数。
特别警示：(1)a 是整数位数只有一位的数；
(2)用科学记数法表示绝对值小于1 的非零数时不要改变原数的正、负号；
(3)要掌握小数与科学记数法的相互转化方法。
知7－讲
特别解读
n等于原数中第1个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)。
知7－练
用科学记数法表示下列各数。
(1)0. 000 04； (2)-0. 034； (3)0. 000 000 45。
例 10
解题秘方：用科学记数法表示绝对值小于1 的非零数时，一般形式为a×10-n，其中1 ≤｜a｜<10 ，n 为左起第一个不为0 的数字前面的0 的个数。
知7－练
解：(1)0. 000 0 4 = 4×10- 5。
(2)-0. 0 3 4 = - 3. 4×10- 2。
(3)0. 000 000 4 5 = 4. 5×10-7。
知7－练
方法点拨
每个绝对值小于1的非零数中左起第一个非零的数字前面有几个0，在用科学记数法表示时10 的指数就是负几。
知7－练
把下列用科学记数法表示的数还原。
(1)7. 2×10-5； (2)-1. 5×10-4。
例 11
解题秘方：(1)n= 5 ，7. 2 的7 前面有5 个0(包括小数点前面的那个0)；(2)n=4，-1. 5 的1 前面有4 个0(包括小数点前面的那个0)。
知7－练
解：(1)7. 2×10- 5=0. 000 0 7 2 。
(2)-1. 5×10- 4= -0. 000 1 5 。
知7－练
技巧点拨
把±a×10-n还原成原数时，只需把a的小数点向左移动n位。
幂的运算
幂的
运算
关键点
同底数幂的乘法
积的乘方
幂的乘方
同底数幂的除法
零指数幂
负整数指数幂
应用
底数与指
数的变化
科学记数法

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