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10.2 整式的乘法
第10章 整式的乘法与除法
知识点
单项式与单项式相乘
知1－讲
1
1. 单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2. 单项式与单项式相乘的步骤
(1)确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；
(2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式。
知1－讲
特别提醒
1. 单项式与单项式相乘的结果仍为单项式；
2. 只在一个单项式中含有的字母，计算时不要遗漏；
3. 单项式乘单项式法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用。
例 1
计算：
解题秘方：利用单项式乘单项式的法则进行计算。
知1－练
知1－练
知1－练
方法点拨
1. 单项式的运算中，乘方运算应用积的乘方和幂的乘方，乘法运算应用单项式乘单项式的运算法则，加、减法运算应用合并同类项。
2. 在运算时，既要关注运算顺序，又要注意每种运算所运用的运算法则。
知2－讲
知识点
单项式与多项式相乘
2
1. 单项式乘多项式法则
单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加。
用字母表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc。
知2－讲
2. 单项式与多项式相乘的几何解释
如图1 0. 2 - 1，大长方形的面积可以表示为m(a+b+c)，也可以将大长方形的面积视为三个小长方形的面积之和，即ma+mb+mc。所以m(a+b+c)=ma+mb+mc。
知2－讲
特别解读
1. 单项式与多项式相乘，实质上是利用分配律将其转化为单项式与单项式相乘。
2. 一个不为零的单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
知2－练
例 2
解题秘方：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
知2－练
知2－练
警示误区
1. 单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘。
2. 在单项式乘多项式的计算过程中，当多项式的某项为1或-1时，不能漏乘。
3. 最后运算的结果要写成省略括号的和的形式。
知3－讲
知识点
多项式与多项式相乘
3
1. 多项式乘多项式法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
用字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。
知3－讲
2. 多项式与多项式相乘的几何解释
如图1 0. 2 - 2，大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积看成4 个小长方形的面积之和，即am+an+bm+bn. 所以(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。
知3－讲
特别解读
1. 多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式的乘积之和的形式。
2. 多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。
3. 计算结果一定要注意合并同类项。
例 3
解题秘方：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项。
知3－练
知3－练
警示误区
此处切忌犯如下错误：
(3x+2)(2x-3)
=3x·2x+2×(-3)
=6x2-6。
~~~~~~~~~
方法点拨
(x+a)(x+b)型的
多项式乘法，直接用
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
计算更简便。
~~~~~~~
知3－练
另解：可以将x2-2x+4看成一个整体，利用分配律计算：
(x+2)(x2-2x+4)
=x(x2-2x+4)+2(x2-2x+4)
=x3-2x2+4x+2x2-4x+8
=x3+8。
~~~~~~~~~~
知3－练
教你一招：多项式与多项式相乘，为了做到不重不漏，可以用箭头法标注求解，如计算(x- 2y)(5a- 3b)时，可作标注：(x- 2y)(5 a- 3b)，根据箭头指示，即可得到x·5a，x·(- 3b)，(- 2y)·5a，(- 2y)·(- 3b)，把各项相加，继续求解即可。
先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)，其中
x=-1，y=2。
例 4
解题秘方：两组多项式先分别相乘，并将第二组多项式乘多项式的结果先用括号括起来，再去括号、合并同类项，最后代入求值。
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解：原式=x2+3xy-2xy-6y2-(2x2-8xy-xy+4y2)
=x2+xy-6y2-(2x2-9xy+4y2)
=x2+xy- 6y2- 2x2+9xy- 4y2
= -x2+10xy-10y2。
当x= -1，y= 2 时，
原式= -(- 1)2+10×(- 1)×2 -10×22= - 61 。
知3－练
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方法点拨
在多项式乘法与加减法相结合的混合运算中，通常先算出相乘的结果，再进行加减运算，运算中要特别注意括号的运用和符号的变化，当两个多项式相减时，通常先用括号将后一个多项式括起来，再去括号、进行合并同类项，这样可以避免运算结果出错。
整式的乘法
单项式乘多项式
单项式乘
单项式
多项式乘多项式
转化
法则
运算

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