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2024－2025学年九年级数学上期期中测试卷
一、单选题
1．二次根式中x的取值范围是( )
A．x≥6 B．x≤6 C．x＜6 D．x＞6
2．点(6,－5)关于x轴对称的点的坐标在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．用配方法解方程,下列变形正确的是( )
A．＝16 B．＝91 C.＝34 D．＝109
4．下列计算正确的是( )
A. B． C. D．
5．关于x的一元二次方程的根的情况是(　　)
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程只有一个实数根 D．方程没有实数根
6.我县开展老旧小区改造,2022年投入此项工程的专项资金为1000万元,2023、2024年投入资金一共为3440万元,设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x,根据题意,可列方程为( )
A．1000＝3440 B．1000＋1000＝3440
C．1000＋1000＝3440 D．10001000＝3440
7．如图,已知△OAB与△是相似比为1:2的位似图形,点O为位似中心,若△OAB内一点P(x,y)与△内一点是一对对应点,则点的坐标为( )
A．(－x,－y) B．(－2x,－2y) C．(－2x,2y) D．(2x,－2y)
(第7题) (第10题)
8．已知m,n是方程的两根,且,则a的值为( )
A．－5 B．5 C．－3 D.3
9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.若是一元二次方程的两个根,且求m的值( )
A．－1 B. 1 C．－2 D．2
10．如图,在△ABC中,AB＝8,BC＝12,点D,E分别是边AB,AC的中点,点F是线段DE上的一点,连接AF,BF,若∠AFB＝90°,则线段EF的长为( )
A． 4 B. C．2 D.1
二、填空题
11．化简: ．
12．已知,则＝ . .
13．如图,∥∥,AB＝,DF＝10,那么DE＝ .
14．当ab＜0时,化简的结果是 ．
15．请阅读下列材料:问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y＝2x,所以x＝,把x＝代入已知方程,得:＋－1＝0.化简,得:故所求方程为:.这种利用方根根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的倒数,则所求方程为 .
三、解答题
16.计算:
(1)－＋; (2).
17.解下列方程:
(1) (2)
18.已知x＝,y＝,求和的值.
19.已知关于x的方程
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两根为,,当时,求m的值.
20.某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品,出售价格经过两个月的调整,从每件50元上涨到每件72元,此时每月可售出180件商品:
(1)求该商品价格的平均月增长率;
(2)因某些原因,商家需尽快将这批商品售出,决定降价出售,经过市场调查发现:售价每降低1元,每个月多卖出10件,则商家在降价的同时,为保证每月的利润达到6000元,应将售价定为多少元
21.如图,网格的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,点A、B、C的坐标分别为 A(1,2)、B(3,1)、C(2,3)
(1)以原点0为位似中心,在第三象限内画一个△ABC,使它与△ABC位似,且相似比为2:1,并写出点的坐标;
(2)画出与△ABC关于y轴对称的△,并写出点的坐标·
22.如图,MN经过△ABC的顶点A,MN∥BC,AM＝AN,MC交AB于D,NB交AC于E,连结DE.
(1)求证:△ADE∽△ABC
(2)如果DE＝1,BC＝3,求MN的长.
23.如图①,P为△ABC所在平面上一点,且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)如果点P为锐角三角形ABC的费马点,且∠ABC＝60°.
①求证:△ABP∽△BCP
②若PA＝3,PC＝4,求PB的长.
(2)已知锐角三角形ABC,分别以4B、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD,CE和BD相交于P点.如图②.
①求∠CPD的度数;
②求证:P点为△ABC的费马点.
参考答案
一、单选题
1．B
2．A
3．A
4．B
5．A
6．D
7．B
8．C
9．A
10．C
二、填空题
11．－3
12．
13．4
14．－b
15．
三、解答题
16．(1)解:原式3＝
(2)解:原式＝××＝8
17.(1)解:,
(2)解:,＋3
18.∵x＝,y＝,∴x＋y＝,xy＝,∴＝－3xy＝,＝＝2
19.(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴m≠0且Δ＞0,即－4m＞0,解得m＞－且m≠0
(2)∵方程的两根为,,∴,,∵,∴,∴－2＝,解得:m＝2,m＝－2(舍去),∴m＝2.
20.(1)设该商品平均每月的价格增长率为m,50＝72.解得,＝－2.2(舍去).答:该商品平均每月的价格增长率为20%
(2)依题意,得＝6000,解得:,∵商家尽快将这批商品售出,所以取60,答:x为60时该商品每月的利润可达到6000元.
21.(1)如图所示,的坐标为(－2,－4)
(2)如图所示,的坐标为(－1,2)
22.解:(1)证明:∵MN∥BC,∴∠DAM＝∠DBC,∠DMA＝∠DCB,∴△DAM∽△DBC∴同理:,∵AM＝AN,∴＝＝,∵∠BAC＝∠DAE∴△ADE∽△ABC
(2)∵△ADE∽△ABC,DE＝1,BC＝3,∴＝,∵AM＝AN＝,∴MN＝3
22.解:DE∥BC,DE＝,应用:连结BD,∵E,F分别是边AB,AD的中点,∴EF∥BD,BD＝2EF＝4,∴∠ADB＝∠AFE＝45°,∵BC＝5,CD＝3,∴,∴∠BDC＝90°,∴∠ADC＝135°,拓展证明:如图,取DC的中点H,连结MH,NH∵M,H分别是AD,DC的中点,∴MH∥AC且MH＝AC,同理可得NH∥BD且NH＝BD,∴∠EFC＝∠HMN,∠EGF＝∠ECF,∴∠HMN＝∠HNM,∴MH＝NH,∴AC＝BD
23.(1)①∵∠ABC＝60°∴∠PBA＋∠PBC＝60°∵P为锐角△ABC的费马点∴∠APB＝∠BPC＝120°
∴∠PAB＋∠PBA＝60°∴∠PAB＝∠PBC∴△ABP∽△BCP ②∵△ABP∽△BCP∴∴＝PA·PC＝12,∴PB＝2
(2)如图(2),设AC,BD的交点为F.①∵ABE,△ACD均为正三角形∴AE＝AB,AC＝AD,∠EAB＝∠CAD＝∠ACD＝60°∴∠EAB＋∠BAC＝∠BAC＋∠CAD即∠EAC＝∠BAD∴△EAC≌△BAD∴∠ECA＝∠BDA∵∠AFD＝∠CFP∴∠CPD＝∠CAD＝60°②∵△AFD∽△PFC∴,∵∠AFP＝∠CFD∴△AFP∽△DFC∴∠APF＝∠ACD＝60°∴∠CPA＝∠CPD＋∠APF＝120°,∠APB＝180°－∠APF＝120°∴∠BPC＝120°,∴∠BPC＝∠CPA＝∠APB＝120°从而点P为△ABC的费马点.

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