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2024-2025学年福建省南平市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足：若，则( )
A. B. C. D.
6.过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：与圆：，则以下结论正确的是( )
A. 若过点与圆相切的直线有且只有条，则
B. 若直线过点，且平分圆的周长，则的方程为：
C. 若圆与圆有且只有条公切线，则
D. 若，则圆与圆的公共弦长为
10.设为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则以下结论正确的是( )
A. B. 数列是单调递增数列
C. D. 当取最大值时，或
11.已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于，两点记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是( )
A. B. 以为直径的圆与相切
C. D. 的面积为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知直线：与：平行，且过点，则与间的距离为______．
13.已知双曲线：，点在上，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知等比数列的公比，且，．
求数列的通项公式；
记，数列的前项和为，证明：．
15.本小题分
已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切．
求圆的方程；
若经过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
在三棱锥中，平面平面，，，，点是棱的中点，点在棱上，且．
求证：；
若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的大小．
17.本小题分
已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为．
求的标准方程；
若的左，右顶点分别为，，过点作斜率不为的直线，与交于两个不同的点，．
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
18.本小题分
对于数列，若存在常数，对任意，恒有，则称数列是数列．
已知数列的通项公式为，证明：数列是数列；
已知是数列的前项和，，证明：数列是数列；
若数列，都是数列，证明：数列是数列．
参考答案
1.
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14.解：由题意可得，
解得或，
当时，又由，可得舍；
当时，由，可得，，满足题意，
所以；
证明：由知，，所以，
所以，
因为，所以．
15.解：法一：因为在直线上，所以为切点，
过点与垂直的直线为，
联立得，圆心，，
故圆的标准方程为．
法二：因为圆心在直线上，所以设圆心为，
设圆的方程为，
则依题意可得，，
解得，
所以圆心，半径，
即圆的标准方程为．
由可得圆心，半径，
由得圆心到直线的距离为，
(ⅰ)当过点的直线斜率不存在时，则直线方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意；
(ⅱ)当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程，即，
由圆心到该直线的距离，
可得，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或．
16.解：证明：由，是棱的中点，得．
又平面平面，平面平面，且平面；
所以平面，平面，
得．
取中点，，，知，点，
即为中点，又是棱的中点，，则，，
所以平面，平面，
所以．
连接，则由，及是线段的中点，得，
由知，平面，
如图以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
四棱锥的体积为，且，，
，解得，
是线段的中点，，
得，，，，，，．
所以，，
设平面的一个法向量为，
则取，
可得；
由知平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则，
因为，
所以平面与平面的夹角为．
17.解：设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的左，右焦点分别为，，
所以，
因为椭圆的离心率为，
所以，
联立，
解得，
则，
故椭圆的标准方程为；
因为直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
因为，，且，
所以，
解得，
则直线的方程为，
即或；
(ⅱ)证明：由椭圆的定义知，，
所以，，
所以．
因为，
所以
则为定值．
18.证明：因为，所以，
所以，
所以
，所以为数列；
因为，
当时，，两式相减得，
所以；
当时，，所以，所以；
所以是首项与公比都为的等比数列，
所以，
所以
故
，
因此数列是数列；
若数列，是数列，则存在正数，，对任意，
有；．
注意到
同理，
设，，
则有，
所以．
所以数列是数列．
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