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2.5.1　椭圆的标准方程
课标要求　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决相关问题.
3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
一、椭圆的定义
1.思考　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
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2.填空　如果F1，F2是平面内的两个________，a是一个常数，且2a____|F1F2|，则平面内满足________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的________，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的________.
温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
3.做一做　设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
二、椭圆的标准方程
1.思考　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
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2.填空　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
焦点 ____________ ____________
焦距 |F1F2|＝____
a，b，c的关系 ____________
温馨提示　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在哪个轴上.
3.做一做　已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为________.
题型一　椭圆的定义的理解
例1 点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
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思维升华　定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
训练1 如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.射线
题型二　求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
(3)经过点P，Q.
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思维升华　确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
训练2 (1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0，4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________.
题型三　椭圆定义的简单应用
例3 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.
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思维升华　由椭圆上的点、两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要充分理解题意，分析条件，经常利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
训练3 已知椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.
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【课堂达标】
1.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于B(0，2)，且·＝4＋4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.
2.5.1　椭圆的标准方程
知识探究
一、1.提示　椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，并且该常数大于两点F1，F2之间的距离.
2.定点　＞　|PF1|＋|PF2|＝2a　焦点　焦距
3.D
二、1.提示　＋＝1(a＞b＞0).
2.(－c，0)，(c，0)　(0，－c)，(0，c)　2c　c2＝a2－b2
3.＋＝1
题型剖析
例1　解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为
(x－3)2＋y2＝64，
圆心为(3，0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，
所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M以两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆.
训练1　B　[连接EA，∵CD垂直平分AB，
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r＞|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.]
例2　解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴∴
∴所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆的定义知，
2a＝＋
＝2，即a＝，
又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0).
依题意，有解得
由a＞b＞0，知不符合题意，故舍去.
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
依题意，有解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
则解得
∴所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
训练2　(1)D　[由题意可得解得
故椭圆的方程为＋＝1.]
(2)＋＝1　[依题意，c＝4，且焦点在y轴上，
又∵2a＝10，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9，
故所求的椭圆方程为＋＝1.]
例3　解　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2，
∴c＝＝1.又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.①
在△F1PF2中，由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°
＝8－4.
训练3　解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝.
所以△PF1F2的面积
S＝·|PF1|·|F1F2|＝××2＝.
课堂达标
1.B　[将4x2＋ky2＝4化为标准方程x2＋＝1.
∵一个焦点坐标为(0，1)，∴－1＝1，∴k＝2.]
2.C　[由已知得F(c，0)，A(a，0)，B(0，2)，
∴·＝(c，－2)·(a，－2)＝ac＋4＝4＋4，
∴
解得a2＝8，b2＝4，c2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1.]
3.解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，
由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，
即a＝.
由|PF1|＞|PF2|知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴.
在Rt△PF2F1中，
4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝，
∴c2＝，
∴b2＝a2－c2＝.
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为
＋＝1或＋＝1.(共53张PPT)
第二章 2.5　椭圆及其方程
2.5.1　椭圆的标准方程
课标要求
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决相关问题.
3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
一、椭圆的定义
提示　椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，并且该常数大于两点F1，F2之间的距离.
2.填空　如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a____|F1F2|，则平面内满足______________________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的______.
＞
|PF1|＋|PF2|＝2a
焦点
焦距
温馨提示
(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.
(2)定值必须大于两定点的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
3.做一做　设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
√
1.思考　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
二、椭圆的标准方程
2.特殊的空间向量
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
2c
c2＝a2－b2
温馨提示
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在哪个轴上.
3.做一做　已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为____________.
题型剖析
题型一　椭圆的定义的理解
例1
点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，
圆心为(3，0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M以两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆.
思维升华
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是
训练1
√
连接EA，∵CD垂直平分AB，
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r＞|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.
题型二　求椭圆的标准方程
例2
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
思维升华
确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
训练2
√
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0，4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为________________.
题型三　椭圆定义的简单应用
例3
思维升华
由椭圆上的点、两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要充分理解题意，分析条件，经常利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
训练3
课堂达标
1.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
√
由已知得F(c，0)，A(a，0)，B(0，2)，
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
课时精练
一、基础巩固
√
√
√
√
4.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a＝2时，点P的轨迹不存在
B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
√
当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，
B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
√
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，得a＝2，
48
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
基础巩固
√
二、综合运用
∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
7
由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
13.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
三、创新拓展
14.已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.
设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120°)，
解得mn＝12，课时精练24　椭圆的标准方程
(分值：100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分，共25分
1.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
16 18
20 不确定
2.椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是(　　)
(0，±) (±，0)
(0，±) (±，0)
3.“1充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
当a＝2时，点P的轨迹不存在
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
5.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形 等腰直角三角形
6.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程为________.
7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________.
8.已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.
9.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)已知＝，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
10.(10分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，a＝，过F1作直线交椭圆于A，B两点，求△ABF2的周长C.
二、综合运用
选择题每小题5分，共5分
11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)
± ±
± ±
12.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________.
13.(15分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3).若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程.
三、创新拓展
14.(15分)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积.
课时精练24　椭圆的标准方程
1.B　[△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，所以周长为10＋8＝18.]
2.C　[化为标准方程为＋＝1，
∵m＜n＜0，
∴－m＞－n＞0.
∴焦点在y轴上，且c＝＝.
∴焦点坐标是(0，±).]
3.B　[当方程＋＝1表示椭圆时，必有
所以14.AC　[当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.]
5.B　[由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，
∴|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形.]
6.＋＝1　[由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，得a＝2，
∴椭圆方程化为＋＝1.
将A代入，得＋＝1，解得b2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1.]
7.＋x2＝1　[由已知2a＝8，2c＝2，
得a＝4，c＝，
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.]
8.48　[依题意a＝7，b＝2，c＝＝5，
|F1F2|＝2c＝10，由于PF1⊥PF2，
∴由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝100.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝100，
即196－2|PF1|·|PF2|＝100.
解得|PF1|·|PF2|＝48.]
9.解　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知2a＝26，即a＝13，又＝，
所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
10.解　如图所示，由题意知，A，B两点在椭圆上，且a＝，
故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝3，|BF1|＋|BF2|＝2a＝3，
∴△ABF2的周长为
C＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝6.
11.D　[∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，
∵点P在椭圆上，
∴＋＝1，
即y2＝，∴y＝±.
∴点M的纵坐标为±.]
12.7　[由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.]
13.解　设所求椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0).
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，
∴F1(－5，0)，F2(5，0)，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
14.解　(1)依题意知|F1F2|＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
且2a＝4，2c＝2，
∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，
则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120°)，
解得mn＝12，
∴S△PF1F2＝mnsin∠F1PF2
＝×12sin 120°＝3.

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